【优化方案】高考数学总复习 第5章§5.1数列的概念与简单表示法精品课件 理 北师大

§5.1数列的概念与简单表示法

§5.1数列的概念与简单表示法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的___．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称____；an是数列的第n项，也叫数列的____．双基研习•面对高考基础梳理项首项通项2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__an其中n∈N＋递减数列an＋1__an常数数列an＋1＝an有限无限><3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为_________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列______就是这个数列．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与__之间的函数关系可以用一个式子表示成_______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．N＋或它的有限子集函数值an＝f(n)n思考感悟数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？1．(教材习题质检)已知数列{an}的通项公式为an＝29－9n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(

)A．20

B．11C．－2 D．－7答案：C课前热身答案：D3．(2011年宿州质检)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于(

)A．7

B．8C．9 D．17答案：A5．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2011＝______；a2018＝______.答案：0

1考点探究•挑战高考考点突破考点一数列的通项公式根据据数数列列的的前前若若干干项项写写出出数数列列的的一一个个通通项项公公式式．．解解决决这这一一题题型型的的关关键键是是通通过过观观察察、、分分析析、、比比较较去去发发现现项项与与项项之之间间的的关关系系，，如如果果关关系系不不明明显显，，应应该该将将项项作作适适当当变变形形或或分分解解，，让让规规律律突突现现出出来来，，便便于于找找到到通通项项公公式式；；同同时时还还要要借借助助一一些些基基本本数数列列的的通通项项及及其其特特点点．．例1【思路路点点拨拨】由所所给给数数列列前前几几项项的的特特点点，，归归纳纳出出其其通通项项公公式式，，注注意意项项与与项项数数的的关关系系，，项项与与前前、、后后项项之之间间的的关关系系，，通通项项公公式式的的形形式式并并不不唯唯一一．．【失误误点点评评】在解解决决有有关关通通项项公公式式的的问问题题时时易易在在以以下下环环节节出出错错：：(1)项数数搞搞错错；；(2)由归归纳纳法法求求通通项项时时，，只只满满足足前前几几项项，，而而不不能能满满足足所所有有的的情情况况．．变式式训训练练1根据据下下面面各各数数列列前前几几项项的的值值，，写写出出数数列列的的一一个个通通项项公公式式．．解：：(1)符号问题可通通过(－1)n或(－1)n＋1表示．其各项项的绝对值的的排列规律为为：后面的数数的绝对值总总比它前面数数的绝对值大大6，故通项公式式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．(2)这是一个分数数数列，其分分子构成偶数数数列，而分分母可分解成成1×3,3××5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是是两个相邻的的奇数的乘积积，经过组合合，则所求数数列的通项公公式为考点二由递推关系求通项公式递推公式是给给出数列的一一种方法，根根据递推公式式，写出数列列的前几项，，可以根据前前几项的构成成，找出数列列的基本规律律，归纳出数数列的通项公公式；或将递递推公式变形形，推导出数数列的通项公公式．例2(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．(4)由已知，an>0，在递推关系系式两边取对对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列．．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.【规律小结】(1)数列递推关系系形如an＋1＝an＋f(n)，其中{f(n)}的前有限项可可求和．此种种类型的数列列求通项公式式时，常常是是相邻两项作作差，然后对对差式求和，，这是求通项项公式的一种种重要方法．．(2)数列递推关系系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的前n项的乘积容易易化简．此数数列求通项公公式一般采用用累乘法．考点三由Sn求an例3已知下面各数数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.【解】(1)a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由于a1也适合此式，，因此an＝4n－5(n∈N＋)．【失误点评】在解答过程中中易忽视n＝1时，a1＝S1，而直接利用用an＝Sn－Sn－1求an的情况，导致致此种错误的的原因是没有有熟练掌握数数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系或或粗心大意．．1．数列的单调调性：若an＋1>an，则{an}为递增数列，，若an＋1<an，则{an}为递减数列，，否则为摆动动数列或常数数列．2．周期性：若若an＋k＝an对n∈N＋(k为常数)成立，则{an}为周期数列．．对于一些数数列，若通项项无法求出时时，可考虑其其周期性．3．有界界性：：若{an}满足：：|an|≥M或|an|≤M，则称称{an}为有界界数列列，并并能求求出数数列中中的最最大项项或最最小项项．考点四数列的函数特性例4【名师点点评】(1)数列是是一类类特殊殊的函函数，，解题题时注注意函函数与与方程程思想想的应应用，，以及及转化化思想想也是是解题题的常常用方方法．．(2)数列的的单调调性是是高考考常考考内容容之一一，有有关数数列最最大项项、最最小项项、数数列有有界性性问题题均可可借助助数列列的单单调性性来解解决，，判断断单调调性时时常用用①作差法法，②作商法法，③结合函函数图图像等等方法法．方法感感悟方法技技巧1．求数数列通通项或或指定定项．．通常常用观观察法法(对于交交错数数列一一般用用(－1)n或(－1)n＋1来区分分奇偶偶项的的符号号)；已知知数列列中的的递推推关系系，一一般只只要求求写出出数列列的前前几项项，若若求通通项可可用归归纳、、猜想想和转转化的的方法法．(如例1)3．已知知递推推关系系求通通项：：这类类问题题的要要求不不高，，但试试题难难度较较难把把握．．一般般有三三种常常见思思路：：(1)算出前前几项项，再再归纳纳、猜猜想；；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形形式通通常转转化为为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待待定系系数法法求出出λ，再化化为等等比数数列；；(3)逐差累累加或或累乘乘法．．(如例2)4．创新新内容容：体体现新新情境境，体体现与与其它它知识识的交交汇．．(如例4)1．数列列是一一种特特殊的的函数数，即即数列列是一一个定定义在在非零零自然然数集集或其其子集集上的的函数数，当当自变变量依依次从从小到到大取取值时时所对对应的的一列列函数数值，，就是是数列列．因因此，，在研研究函函数问问题时时既要要注意意函数数方法法的普普遍性性，又又要考考虑数数列方方法的的特殊殊性．．失误防防范2．根据据所给给数列列的前前几项项求其其通项项时，，需仔仔细观观察分分析，，抓住住其几几方面面的特特征：：分式式中分分子、、分母母的各各自特特征；；相邻邻项的的联系系特征征；拆拆项后后的各各部分分特征征；符符号特特征，，应多多进行行对比比、分分析，，从整整体到到局部部多角角度观观察、、归纳纳、联联想．．3．数列列的图图像是是一系系列孤孤立的的点．．由数列列的递递推关关系求求数列列的项项或通通项公公式是是高考考的热热点，，题型型以选选择、、填空空题为为主，，也可可能作作为一一步出出现在在解答答题中中，属属较难难题目目，旨旨在考考查学学生分分析问问题、、解决决问题题的能能力．．考查查基本本知识识的同同时又又注重重考查查等价价转化化、函函数与与方程程、分分类讨讨论等等思想想方法法．预测2012年仍将将以考考查递递推关关系式式为主主，重重点考考查学学生的的运算算能力力与逻逻辑推推理能能力．．考情分析考向瞭望•把脉高考真题透透析例(2)数列的的通项项公式式、前前n项和公公式都都是关关于正正整数数n的函数数，要要善于于从函函数的的观点点认识识和理理解数数列问问题．．数列列的通通项公公式的的求解解是历历年高高考的的重点点和热热点，，该题题中的的累加加法实实际上上也是是推导导等差差数列列通项项公式式的一一种方方法．．关于于正整整数n的对应应函数数，使使其取取最值值的点点就在在离单单调区区间分分界点点距离离最近近的那那两个个点中中取得得，代代入检检验便便可确确定最最值．．名师预测测2．已知数数列{an}的通项公公式是an＝n2＋Kn＋2，若对于于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则则实数K的取值范范围是()A．K>0B．K>－1C．K>－