随机模拟讲义-2022年高一下学期人教A版必修概率

随机模拟(教师独具内容)课程标准：了解随机模拟的含义，会利用随机模拟的方法估计概率．教学重点：1.随机数的概念.2.用随机模拟的方法估计概率．教学难点：用随机模拟方法估计概率的实质．核心素养：1.通过随机数的概念的学习过程发展数学抽象素养.2.通过用随机模拟的方法来估计概率发展数学建模素养.应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面．()(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．()(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．()2．做一做(1)利用抛掷硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛掷两次，则出现的随机数之和为3的概率为()\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)(2)已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币6次恰有4次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每6个随机数作为一组，代表这6次抛掷的结果．经随机模拟试验产生了如下10组随机数：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101据此估计，抛掷这枚硬币6次恰有4次正面朝上的概率为____.题型一随机数产生的方法例1要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？[跟踪训练1]某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？题型二利用随机模拟法估计概率例2(1)盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：①任取一球，得到白球；②任取三球，都是白球．(2)天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．[跟踪训练2](1)袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，直到第二次就停止的概率为()\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751据此估计乙获胜的概率约为____.1．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每____个数字为一组()A．1 B．2C．9 D．122．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为()A． B．C． D．3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是____.4．某种心脏手术，成功率为，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为____.5．一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．一、选择题1．下列不能产生随机数的是()A．抛掷骰子试验B．抛硬币C．计算器D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A． B．C． D．4．采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率．先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A． B．C． D．二、填空题5．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“向上点数的和是6的倍数”的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示向上的点数是1,2,3,4,5,6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上点数的和是6的倍数？____(填“是”或“否”)．6．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中选出4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4人，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是____.7．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟试验的方法估计某选手投掷飞镖的情况，先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101111011101010100100011111110000011010001111011100000101101据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为____.三、解答题8．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为.现用随机模拟的方法估计4天中至少有2天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，以4个随机数为一组，代表4天中的天气情况，经随机模拟产生如下40组随机数：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343据此，你能估计出4天中至少有2天下雨的概率吗？一份测试题包括6道选择题，每题四个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)随机模拟(教师独具内容)课程标准：了解随机模拟的含义，会利用随机模拟的方法估计概率．教学重点：1.随机数的概念.2.用随机模拟的方法估计概率．教学难点：用随机模拟方法估计概率的实质．核心素养：1.通过随机数的概念的学习过程发展数学抽象素养.2.通过用随机模拟的方法来估计概率发展数学建模素养.应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面．()(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．()(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)利用抛掷硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛掷两次，则出现的随机数之和为3的概率为()\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)(2)已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币6次恰有4次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每6个随机数作为一组，代表这6次抛掷的结果．经随机模拟试验产生了如下10组随机数：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101据此估计，抛掷这枚硬币6次恰有4次正面朝上的概率为____.答案(1)A(2)eq\f(3,10)题型一随机数产生的方法例1要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？[解]解法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．解法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(1,25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们很快就得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．随机数产生的方法比较方法抽签法用计算器或计算机产生优点保证机会均等操作简单，省时、省力缺点耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性由于是伪随机数，故不能保证完全等可能[跟踪训练1]某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？解要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001,0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推.题型二利用随机模拟法估计概率例2(1)盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：①任取一球，得到白球；②任取三球，都是白球．(2)天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．[解](1)用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．①步骤：(ⅰ)利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数为n；(ⅱ)统计这n组数中小于6的组数为m；(ⅲ)任取一球，得到白球的概率估计值是eq\f(m,n).②步骤：(ⅰ)利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数为a；(ⅱ)统计这a组数中，每个数字均小于6的组数为b；(ⅲ)任取三球，都是白球的概率估计值是eq\f(b,a).(2)利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：70325632564586314248656778517782684612256952414788971568321568764244586325874689433157896145689432154786335698412589634125869765478232274168相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．[跟踪训练2](1)袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，直到第二次就停止的概率为()\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751据此估计乙获胜的概率约为____.答案(1)B(2)eq\f(11,30)解析(1)由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13,43,23,13,13，共5组，故所求的概率为P＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).(2)相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为eq\f(11,30).1．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每____个数字为一组()A．1 B．2C．9 D．12答案B解析由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为()A． B．C． D．答案B解析易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为eq\f(5,20)＝.3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是____.答案eq\f(1,b－a＋1)解析[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是eq\f(1,b－a＋1).4．某种心脏手术，成功率为，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为____.答案解析由10组随机数，知4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝eq\f(2,10)＝.5．一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．解用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的都是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq\f(2,20)＝.一、选择题1．下列不能产生随机数的是()A．抛掷骰子试验B．抛硬币C．计算器D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体答案D解析D项中，出现2的概率为eq\f(1,3)，出现1,3,4,5的概率均是eq\f(1,6)，则D项不能产生随机数．其他项均能产生随机数．故选D.2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法答案B解析用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A． B．C． D．答案A解析两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个．它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10个，因此所求的概率为eq\f(10,20)＝.4．采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率．先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A． B．C． D．答案D解析因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－eq\f(5,20)＝，故选D.二、填空题5．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“向上点数的和是6的倍数”的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示向上的点数是1,2,3,4,5,6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上点数的和是6的倍数？____(填“是”或“否”)．答案否解析16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则向上点数的和是1＋6＝7，不表示向上点数的和是6的倍数．6．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中选出4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4人，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是____.答案选出的4人中，只有1个男生解析用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3女．7．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟试验的方法估计某选手投掷飞镖的情况，先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：10111101110101010010001111111000001101000111