高二物理竞赛课件：运动学

坐标系的运用一维（直线）运动直角坐标系“自然”坐标系极坐标系

相对运动运动学平动Translation（直线运动和曲线运动）选取参考点（原点）O；作位置矢量（矢径）r(用r=r(t)详尽描述质点的运动情况）位移：（矢量）Or(t)r(t+t)r(t)S

速度、速率

平均速度（Averagevelocity)平均速率(Averagespeed)当limt0，瞬时速度，瞬时速率

瞬时速度(Instantaneous)

瞬时速率瞬时速度是以轨道的切向为其指向，其大小为瞬时速率。平均速度与平均速率之间不存在明确关系。

加速度vABv+vvvv+v描述质点运动速度v变化的快慢。

平均加速度（acceleration)

瞬时加速度方向的改变矢量速度的变化具有加速度大小的改变

运动学问题（一）微分微分积分积分需初始条件矢量表示的优点：给定了参考系时，与选择的坐标形式无关，便于作一般性的定义陈述和关系式推导。然而，在做具体计算时，必须根据问题的特点选择适当的坐标系。

坐标系的运用ΔΔ

坐标系的运用一维（直线）运动位置、速度、加速度可用标量处理。

位置速度加速度对于匀加速运动，a为常数tvOt0txBAv~tBtvOtAv0atv0t

1/2at2v~t例：静水中的小船，在停止划浆以后，继续向前滑行。以岸为参考系来研究小船的运动。取固定于岸的坐标轴；原点在停浆时小船的位置上，以小船的划行方向为正方向。已知，试分析其运动情况。解：请作出x~t,v~t,a~t图线请思考：已知，求解运动情况。解：分离变量得例：已知其中。又知初始条件t=0时,x0=A。求质点在各个时刻的位置与加速度。解：

简谐振动：振幅圆频率初相位周期频率

f=1/T圆频率

相位OAxx相位的物理意义：决定质点在一个周期中的位置——正如月相（初一、十五…）xyVaI:X>0V<0a<0II:X<0V<0a>0III:X<0V>0a>0IV:X>0V>0a<0IIIIVIIIVa由参考圆上P点的水平投影及其V,a的x分量可以判断简谐振动的速度、加速度的方向。直角坐标系

矢量及其分量yxzAO矢量A用分量表示：矢量A的相加：直角坐标系矢量对标量参数的求导运算：yxzAO

质点的位置轨道的参数方程式：轨道方程：详尽地描述了质点（相对于参考系）的运动情况。轨道是曲面（x,y)=0与曲面（y,z)=0的交线。

质点的速度与速率微分法：积分法：速率：速度：

质点的加速度微分法：积分法：加速度大小：

共172张，第8张

例

共172张，第8张

例

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例

共172张，第9张anat“自然”坐标系质点在平面上沿曲线运动的轨迹是已知的。xAttyOAAnn

选择“原点”O，

弧长S为平面自然坐标，

n,t分别为法向和切向矢量（不是恒矢量），

方向+，-人为约定。对于任一矢量A：anat加速度：a(t)速度：v(t)总是沿切向ABvv+vddS

切向加速度at当limt0，的极限指向为v的指向，即轨道的切向。

vvv+v

法向（向心）加速度an当limt0，的极限指向与法线平行，指向轨道的内侧。

为轨道切向的时间变化率极限为轨道的弯曲程度，即曲率。其倒数为曲率半径R。“以圆代曲”vvv+vABvv+vddS极坐标系极轴AiAAj极点径向横向矢量A用径向和横向分量表达：（在同一地点）矢量的相加：极轴dA极点Bdrd1rd2rd1r=id

d2r=j

d

质点的位置轨道的参数方程式：轨道方程：位置矢量（径矢）：

质点的速度矢径的方向含在i中,i不是恒量！

质点的速度(另一种推导）速度：矢量对标量参数的求导运算：d速率：积分法：

质点的加速度极坐标系中径向与横向是随地点而异的。位置：速度：加速度：只有径向分量向心加速度科里奥利加速度单位质量的角动量例2（p61)：有一质点在半径为R的圆周上以匀速v0作圆周运动，用极坐标系表述质点的速度和加速度。v0极轴极点Ov0极轴极点O数学方法：曲径通幽物理方法：直观简洁练习：试在直角坐标系中求解匀速圆周运动的加速度。例4（p30)：水平直轨道上有一辆小车，轨道的O点正上方有一滑轮，通过滑轮以匀速v0收绳，小车被绳拉着在轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为的瞬时，小车的速度v多大？Ov0v?解1：把v0看为合速度，v为分速度。v0v1v2解2：考虑v0的同时考虑方向的变化v0v1v2u1u0u2把矢量向某个方向投影时，就必须就另一投影也作交代。解3：把v0看为分速度，v为合速度。v0vu0解4：利用几何约束关系Ov0Hlx研究对象物体的速度为合速度；研究对象物体的加速度为合加速度（合力）。负号代表什么？小车的加速度多大？解5：利用极坐标系v0v极轴极点中间过程似乎多余，直接由第一式可以得到结果。究竟如何解？解6：利用极坐标系v0v极轴极点H

相对运动在实际问题中常以一个参考系变换到另一个参考系。因此，需研究参考系之间的变化关系。（两个参考系具有共同的时间变量t)

相对V、A若K1和K2坐标系中坐标轴始终保持平行，则：

运动叠加原理一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的迭加。迭加性亦是运动的一个重要特性。O2PK2系r2O1RK1系r1例：玩具车的速度与加速度。一小孩自B点手拉绳的一端沿人行道的边缘以恒定速度u行走，小车放在粗糙的水平街面上。求当绳与人行道成角时，小车的速度与加速度。设绳长为l，绳始终处于拉直状态。提示：小车只能沿绳的方向运动。解：lPBuv=?PBB’P’C’求加速度：lPBuvPB-uvv’考虑相对运动，P相对于B作圆周运动v’=v–uP点的加速度：

一半径为R的圆环在水平面内以匀角速度绕圆周上的一点P作逆时针方向的转动。圆周上的M点有一个甲虫相对于圆环以恒定的相对速率沿圆周爬行,，运动方向同为逆时针方向。当M点（甲虫）运动到与圆心O的连线OM与OP成以下两个相对位置时，分别求M点的速度与加速度：

(1)OM与OP在一条直线上；

(2)OM与OP相互垂直。

例：解1：极坐标

解2：相对运动

解3：相对运动

解4：OABCMRaw如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻当绳BA段与OB之间夹角为a时，杆的角速度为w,求此时物块M的速率。例：解：设ＡＢ长为l2007复赛1.

一块长为L=1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧的上端,弹簧的下端与地面固定连接.平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出),从而只能在竖直方向运动.平板与弹簧构成的振动系统的振动周期为T=2.00s.一小球B放在一光滑的水平平台上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h=9.80m。平板静止在其平衡位置。小球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度u0，使它从水平台面抛出。已知小球与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计.要使小球与平板PQ发生一次碰撞,而且只发生一次碰撞,u0的值应该在什么范围内?(g=9.8m/s2)LhBu0解：设第一次落点距离板左端x1,第二次落点距离第一次落点x2,

2007复赛2.图示为用三根刚性细杆连成的平面连杆结构图.AB杆和CD杆可分别绕过A,D的垂直于纸面的固定轴转动,A,D两点位于同一水平线上.BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动.当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时,AB杆处于竖直位置,BC与CD杆都与水平方向成45度角,已知AB杆的长度为l,BC和CD杆的长度由图给定.求此时C点的加速度.ACBD450450llvcv’CABD450450llvBvBC解1：解2：ACBDjq练习：一个