三、梁弯曲的内力、变形、应力

目录TOC\o"1-5"\h\z引言 2一杆件受拉压的内力、应力、变形 21.1轴向拉压的内力、轴力图 2轴向拉压杆横截面上的应力 5轴向拉压杆横截面上的变形 7圣维南原理 91.5工程结构实例分析 11二圆轴扭转 152.1、 扭转的力学模型及ANSYS建模 152.2、 圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩 扭矩 152.3、 圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 15横截面上的切应力 15极惯性矩与抗扭截面系数 15三、 梁弯曲的内力、变形、应力 20梁的弯曲内力、变形 20弯曲应力 27工程实例： 31四、 压杆稳定 354.1、 压杆稳定的概念 354.2、 临界压力 354.3、 三类压杆的临界载荷 364.4、 压杆稳定性计算 364.5工程实例4 38引言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE水平。本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2） 对重要知识点的典型例题通过ANSYS进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。（3） 对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。一杆件受拉压的内力、应力、变形轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。在轴向外力作用下，杆件横截面上唯一的内力分量是轴力FN轴向拉压杆件的受力特点：作用于杆件上的合外力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的延长或缩短。对如图1-1a所示的两端受轴向外力F作用的杆件，用一假想平面沿任意横p截面将杆截为两段，由任一部分的平衡方程YF=0，可求得截面上的轴力F=F （如图1-1b）Np

图1-1一般规定拉伸的轴力为正，压缩的轴力为负。例1.1试用Ansys绘制图1-2a所示杆件的轴力图。（设a=1m）.图1-2a解：水平方向受力平衡得：F二8kNP3根据平衡方程及杆的各段的轴力方程得到如下理论值：F二6kNN1F二—12kN F=—4kNN2 N3下面用ANSYS进行绘图计算：有限元模型如图1-2b，绘制轴力图如图1-2c。SEP23200820:01:12AN■T1TL19£00816:01:£1图AN■T1TL19£00816:01:£1Lim3TPJE33STEP=1SITE：=1TIl-IE=15F0XLSruXLMIN=-12000ELEM=ZMrtZi=6000ELEM=14000£00060004000£0006000-120LIIJ -8000 -4000 0-10000-6000-2000l-2c杆件的轴力图从上图可以读取AB段横截面上的轴力为红色区域，值为6000N；从左向右BC段蓝色区域轴力为T2000N；CD段绿色区域轴力值为-4000N。可见理论值与通过ANSYS计算得到的值相同。轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的内力分量只有轴力F，而轴力F是截面上轴向NN分布内力的合力，即F二JbdANA由于外力合力的作用线与杆轴重合(图l-3a)，材料又是均匀连续的，则有试验结果表明，对于细长杆，在离加力端一定距离的大部分区域，其横截面在杆件变形后仍保持平面，杆件各纵向线段的伸长都相等这表明横截面上只有正应力且是均匀分布的，如图1-3b所示。于是F二JbdA二bANAV_1—i■■i图1-3可得轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式b=InA正应力与轴力具有相同的正负符号，即受拉的应力为正，受压的为负。例1.2：三角架结构尺寸及受力如图1-4a所示。其中F=22.2kN，钢杆BD的直P径d=25.4mm，钢杆CD的横截面面积A二2.32x103mm2。试用ANSYS求BDBDCD与CD的横截面上的正应力。 、解:BD杆横截面积：3.14x(25.4x10「3)2{=5.064506x10-4m；CD杆横截面积：2.32x103x10-6m二2.32x10-3m;E=2.1x1011Pa

图1-4首先用杆单元建模如图l-4c所示：图1-4cANSYS模型理论值：根据平衡方程及应力的计算公式得a二62.0MPa;BDa二9.75MPaCD用ANSYS分析的应力图为1-4d所示；ANSYS分析结果:

3TEP=1■T1JL£0SOO；:；3EK=.6£i：iE+i3TEP=1■T1JL£0SOO；:；3EK=.6£i：iE+i：i8SITE=1TI!-IE=11ELEMEWT30L1JTIONSA]<L I：NOAUG]DE-EC=.194:258SHU=-.9-57E+i：i7图l-4d三角架的应力图BD杆横截面上的应力b二0.61991E+08BDCD杆横截面上的应力b二-0.95690E+07CD轴向拉压杆横截面上的变形实验表明，杆件在轴向拉力或压力作用下，杆件沿轴线方向将发生伸长或缩短，而在杆件的横向也同时发生缩短或伸长，如图1-5a,b所示。I耐 （b?图1-5杆沿轴线方向的变形称为轴向变形或纵向变形。拉压杆的胡克定律口=黑，式中的比例系数E为材料常数’称为弹性模量。由实验测定。EA称为抗拉（压）刚度。

例1・3如图1-6a所示的受多个力作用的等直杆，横截面面积A500mm2，材料的弹性模量E=200GPa,试求杆件总的纵向变形量。6kN8kN 5kN/>图1-6a解：用杆单元画出受力图模型：1ELEMENTS1ELEMENTSSEPZ3ZOOSZl:39:4Z图1-6bANSYS模型图用ANSYS画出轴力图；TIEIE=13FUXLLILI50ijijTIEIE=13FUXLLILI50ijij从上图得出结果：F二6000NF =-2000N F二3000N；NABNBCNCD理论值为:F=6理论值为:F=6kNNABF =-2kNNBCF=3kN；NCD图1-6d图1-6d杆的变形图ANSYS分析的变形结果：M=0.65000E-04(m)。理论值为: Al=6.5x10-3mm1.4圣维南原理对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的尺寸有关。下面用为一个100mm,宽为30mm的长方形钢板（），两端受到集中载荷F=-1000N、F=1000N；试用ANSYS分析应力分布情况。12F]=1000N F2=1000N1-7a结构简图1DISPLACEMEilT5TEF=LEUB=1TIME=1图l-7c1DISPLACEMEilT5TEF=LEUB=1TIME=1图l-7c变形前后比较图1-7d板在集中力作用下应力分布云图1.5工程结构实例分析例题1.5.1：以等截面板为研究对象建立有限元分析模型，定性讨论其变形与应力分布情况。其ANSYS模型及变形图如（al、bl,a2、b2a3、b3）所示。al杆受拉模型al杆受拉模型b1杆受压模型a2杆受拉变形前后a2杆受拉变形前后a2杆受压变形前后HODALSOLUTIONSTEP=1SUB=1TIME=11J3WII：AUG：IR3Y3=0HODALSOLUTIONSTEP=1SUB=1TIME=11J3WII：AUG：IR3Y3=0Dt-E<=.406E-073MN=.10IE-093t-E<=.406E-07.lOrE-094(0E-0t909E-0*.18rE-07 .27rE-07 .3611：-07.13SE-0? .tt$E-07 .n$E*0? .40CE-0?a3杆受拉变形前后位移图1-8b3杆受压变形前后位移例1.5.2用ANSYS求解如图1-9a所示桁架结构的节点位移、支座反力和每根杆内的应力。其中E=200000N/mm2，杆的横截面积A=3250mm2。图1-9a分析过程如下：图1—9bANSYS模型图分析过程如下：图1—9bANSYS模型图表1-1桁架节点位移图1-9d节点位移图节点UXUYUSUM10.00000.00000.000023.5810-4.13505.470130.89525-7.75327.804741.7905-8.27018.461752.6857-7.75328.205260-4.13504.135073.58100.00003.5810表1-2支座反力节点FXFY10.34925E-090.56000E+0670.56000E+06图1-9e桁架应力分布表1－3各杆的应力单元应力单元应力单元应力单元应力1-99.4794-99.472701049.736249.73650.00008-99.47211-99.479399.479699.472999.479圆轴扭转2・1、扭转的力学模型及ANSYS建模构件特征 等圆截面直杆。受力特征 外力偶矩的作用面与杆件轴线垂直。变形特征 杆件各横截面绕杆轴作相对转动。2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩 扭矩传动轴的转速、传递的功率与外力偶矩之间的关系为PM=9545 (N-m)rn扭矩 杆件受扭时，横截面上的内力偶矩，用T表示。扭矩的正负号规定 用右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面的为负背离截面的为正。扭矩图 表示圆杆个截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。2.3、 圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件(1)横截面上的切应力TTTT=p T=p= ImaxIWppt

它的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。(2)极惯性矩与抗扭截面系数实心圆截面TOC\o"1-5"\h\z兀 兀I= D4, W=一D3p32 t16空心圆截面兀 兀D4 兀D3I= (D4-d4)=一(1-a4), W=——((1-a3)p32 32 t16''

式中，D式中，⑶圆周扭转的强度条件 T=―<[T]maxWt(4)强度计算的三类问题强度校核 T=—<[T]maxWt截面设计 W>—由W计算Dt [T] t许用载荷计算 M<[T] 由T计算Mee2.4、圆轴扭转变形的有限元计算1、左端固定、右端受主动力矩的薄壁圆轴的扭转变形的有限元分析。2-1a、b、c分别是有限元分析模型、变形图、应力分布云图。图2-la有限元分析模型图NOLAL30L1TTI01T3TEP=131JE=1TIME=11J31TM l：«U&：lP.3V3=0SEP26£008NOLAL30L1TTI01T3TEP=131JE=1TIME=11J31TM l：«U&：lP.3V3=0SEP26£0081：3:40:34D(-E<=.459E-06SEC：=.45!?E-06.1i：i2E-06 .204E-i：it： .SOfE-tif .40；5E-i：it：.510E-0? .152E-I16 .255E-06 _257E-i：i6 .459E-06图2-1b变形图图2-lc应力分布云图2、左端固定、右端受主动力矩的实心圆轴的扭转变形的有限元分析。2-2a、b、c分别是有限元分析模型、变形图、应力分布云图。TIME=1IT31JM(AUG]TIME=1IT31JM(AUG]图2-2a实心圆轴扭转变形有限元分析模型图1NODAL3UL1JTIUNSTEP=131JE：=1P.3T3=0Dt-E■:=.H：i.5E-06SE-E<=_li：i.5E-06.299E-07 .465E-U? .698E-07 .92i：iE-0?.Ht；E-ii7 .249E-0? .5S1E-0? .S14E-U? .105E-iit；niuju-shimin图2-2b变形图1NODAL30L1JTI0N3TEP=131JE=13TEP=131JE=1TIME=117:ID:393EQU I：AUG)IiE-EC=_H：i.5E-06SECT=£；:；.0.5f：图2-2c应力分布云图3、左端固定、右端受主动力矩的实心矩形截面长轴的扭转变形的有限元分析。2-3a、b、c分别是有限元分析模型、变形图、应力分布云图。ELEMENTS叮ANSYSELEMENTS叮ANSYSOCT3ZOOS19:40:14AN□CT8SOOS19:44:：AN□CT8SOOS19:44:：391ITODAL30L1JTION3TEP=1SUE=1TIt-IE=11J31JM i：S.VG；iR3Y3=0Dt-E<=.：367E-063t-E<=.：367E-06.815E-0? .lESE-Ot； .244E-0E.815E-0? .lESE-Ot； .244E-0E； .SEEE-OC.4i：i?E-i：i? .liiE-tif ,2i：i4E-i：it： .i；:；5E-i：it： .ifTE-Ot：图2-3b变形图ANOCT；32DOSANOCT；32DOS19:21:-502-3c应力分布云图ITUHALSOLUTION3TEP=1SUE=1TIHE=13EQU (S.U&；IDtr<=.367E-I：I63[DT=.74.5E-D63EK=8546三、梁弯曲的内力、变形、应力3.1梁的弯曲内力、变形作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种形式的变形称为弯曲变形，以弯曲变形为主的杆件称为梁。当作用于杆件上所有的外力都在纵向对称面内时，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。剪力：梁的弯曲内力称为剪力，它是与横截面相切的分布内力的合力。弯矩：是与横截面垂直的分布内力的合力偶矩。剪力方向：截面的左段对右段向上相对错开时，横截面上的剪力规定为正，反之为负。弯矩方向：在横截面处弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩规定为正，反之为负。弯曲变形用挠度和转角来定义。下面分别以悬臂梁和简支梁在集中载荷和均布载荷作用为例做出剪力图、弯矩图、绘制梁的变形曲线图。3.1、图3-1a所示的悬臂梁，自由端受集中力F20kN作用，绘制梁的剪力图和弯矩图，以及梁的变形图。图图3-1a悬臂梁用梁单元建立ANSYS模型，分析过程如下：1ELEMENTS1ELEMENTSANSYSSEPZ3ZOOSZl:57:.56图3-1bANSYS模型图AMriCT-LTH.U>咖PX--L":!!!■4・rira-LD-H"LILG1-L图3-1c悬臂梁受集中载荷剪力图图3-1d悬臂梁受集中载荷弯矩图图3-1e悬臂梁挠曲线图3-1f悬臂梁转动变形图3.2、悬臂梁受到均布载荷作用，绘制内力图与变形图图3-2a矩形悬臂梁均部载荷分析过程如下：1E-NANSYSSEP£4£00811:0-5:03图3-2b模型图3-2c矩形悬臂梁剪力图图3-2d矩形悬臂梁弯矩图图3-2e矩形悬臂梁挠度曲线图3-2f矩形悬臂梁转动变形3.3、简支梁（图3-3a所示）受到均布载荷的剪力图和弯矩图?=!5kN/m凹川川1川川inwi图3-3aE-NUPOTPRESIS000ANSYSSEPZ4Z00813:35:57图3-3b模型图图3-3e挠度曲线图3-3fROTY转动变形图例3-1用ANSYS做下图的剪力图和弯矩图。矩形截面高b=0.25m,宽h=0.4m,弹性模量E=2.1lOliPa。并求出梁的最大弯矩、最大挠度及右端转角。图3-4a分析过程与结果如下：图3-4b分析模型(l)剪力图和弯矩图：

图3-4d弯矩图ANSYS分析计算结果梁的最大正弯矩发生在E点，M 二10000N-m。最小弯max矩在B点M=-20000N-mmin图3-4e挠度图ANSYS分析计算结果得梁的最大挠度：UY=-0.44176E-03。梁右端转角0D=0.38083E-04。与理论结果相同。3.2弯曲应力由以上对剪力和弯矩的定义可知，弯矩M只与横截面上的正应力有关，而剪力只与剪应力有关。下面讨论弯曲受力杆件的正应力和剪应力的分布规律。1、纯弯曲和横力弯曲梁的横截面上只有正应力而无剪应力，这种情况称纯弯曲；既有正应力又有剪应力称为横力弯曲。2、纯弯曲时的正应力变形几何关系：(p+y)d0-pd0y£= =—pd0 p物理关系c=E£=E—p(3)静力关系

M=JZbdA二0, ③yJyJybdA=—Jy2dA=EIM二Z P PAA(4)梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。3、横力弯曲时的正应力(1)最大正应力发生于弯矩最大的横截面上，且离中性轴最远处Myb = maxmaxmax Iz令 W二厶称为抗弯截面系数ymaxMb =maxmaxW(2)抗弯截面系数W的计算①截面是高为h,宽为b的矩形bh3W=万2②截面是直径为d的圆形_12_W=万2②截面是直径为d的圆形nd4_64_nd322③变曲的刚度条件Mb= max<[b]maxW(4)弯曲剪应力①矩形截面梁QS*T_ z—Ibz其中S*_JydA为横截面部分面积对中性轴的静矩，Q为横截面上的剪力,z1A1

b为截面宽度，I为整个截面对中性轴的惯性矩。z圆形截面梁一般性结论3QS圆形截面梁一般性结论T= z-max2Ibz4QT=max3兀R2TmaxQ——maxTmaxQ——maxS*maxIb例3—2某II型截面的外伸梁，其受力、尺寸及截面形心C的位置如图3-5a、b所

示，已知截面对形心轴z的惯性矩为I，试求梁内最大拉应力和最大压应力的大z小及其位置。F=1KN,a=10mm,I=54.106cm4,E=207Gpa,A=2167.7mm2,l=30mm。z2.5E图3-5a2.5E图3-5a、b分析过程如下：1ELEMENTS1ELEMENTSOCT9ZOO819:53:27图3-5c分析模型图3-5d图3-5d弯矩图作弯矩图如图3-5d所示。最大正弯矩发生在D截面,Md=°75FL最大负弯矩发生在B截面由于截面不对称于中性轴，MB|=FL由于截面不对称于中性轴，且iMlnMD，故梁内的最大压应力发生在B截面的下边缘，其值为b=maxM卜2ab=maxB= =0.036964GPa而梁内的最大拉应力是发生在D截面的下边缘还是在B截面的上边缘处，这需要通过计算来确定。G)=M1maxBIzz( \M・2a 1.5Fla心丿=D=1maxD I I

zz比较以上两个计算结果，可知梁内的最大拉应力发生在D截面的下边缘处,其值为b ：0.0277233GPa1max I通过ANSYS用beam54单元求解得到最大拉应力q通过ANSYS用beam54单元求解得到最大拉应力q二0.23103E-01,最大压应1max力q=-0.36964E-01,与理论之相比，最大压应力相同，最大拉应力有一的ymax误差。图3-5e为其有限元计算的应力分布云图NOD^l50L1JTIONSTEP=2SUE；=1TIME=23EQU I：AUG：ID!D：=_.514E-04=_.572E-06SID：=_£80E+07ANOCT92008£0:13:14934|：|£?图3-5e应力分布云图3.3工程实例：门式钢架的受力分析如图3-6a所示，门式钢架均布载荷q作用，其柱高L1，横梁长L2,柱和梁均采用钢材制作，弹性模量为E,泊松比为卩，并且已知柱与梁的截面形式。具体参数如下q=200N/m,E=2.1x101iPa，卩=0.3，L仁5m，L2=10m，h=0.4m，b=b=0.2m，t=t=0.02m，t=0.01m；1 2 1 2 3求解：在均布载荷q下门式钢架的剪力、最大弯矩、最大转角，绘出弯矩图以及变形图。qL1rvv1rvvvvvvv“vvTvvv“ifcL2AD1L7/// 7777图3-6a分析过程与结果如下：ANSYS-zooPortalEraneanalysis1ELEMENTSSEP24ZOOS17:13:13'-1.5.5..556' '-111.111' '-66.667' £22-177.778 -133.333 -8S.889 -44.444 0图3-6b有限元分心模型图图3-6c剪力图表3—1ANSYS分析计算所得各单元剪力值:单元剪力单元剪力1187.84111000.002187.8412800.003187.8413600.004187.8414400.005187.8415200.006—187.841607—187.8417—200.008—187.8418—400.009—187.8419—600.0010—187.8420—800.00图3-6d弯矩图从弯矩图上分析:最大弯矩在15,16单元处，其值为：M=1876.0Nmaxm。表3—2ANSYS分析计算所得各节点转角:节点转角节点转角节点转角1-0.12418E-04230.12901E-0435-0.64788E-0520.0000240.12839E-0436-0.83559E-053-0.44791E-05250.12293E-0437-0.99911E-0540.73197E-06260.11324E-0438-0.11324E-0450.32155E-05270.99911E-0539-0.12293E-0460.29715E-05280.83559E-0540-0.12839E-04120.0000290.64788E-0541-0.12901E-04130.12418E-04300.44200E-0514-0.29715E-05310.22403E-0515-0.32155E-0532-0.34836E-1816-0.73197E-0633-0.22403E-05170.44791E-0534-0.44200E-05最大转角发生在23号节点处：9 =0.12901E-04。max四、压杆稳定4.1、压杆稳定的概念承受轴向压缩的杆件（压杆），当载荷F较小时，杆在F力作用下保持直线形状的平衡，即使外界作用一个微小的侧向干扰力使其暂时发生轻微弯曲，但干扰力解除后他仍将恢复原直线形状，这种能恢复原有状态的平衡是稳定平衡。当压力F增大到一定数值时，如果再作用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，在干扰力消除后不能恢复原有的直线状态、压杆原有直线形状下的平衡是不稳定的。压杆丧失直线形状的平衡而变为曲线平衡，称之为压杆的失稳，也称为屈曲。失稳是细长压杆破坏的主要原因之一。4.2、临界压力使压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力称为临界压力，记为F。cr计算细长压杆临界力的欧拉公式为厂兀2EIF= cr（卩莎式中：E——压杆材料的弹性模量；I——压杆在是问方向横截面的