全称量词与存在量词【新教材】人教A版高中数学必修同步讲义

第一章集合与常用逻辑用语全称量词与存在量词【课程标准】1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.通过学过的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.．【知识要点归纳】1.全称量词与存在量词（1）全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称命题含有的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“”（2）存在量词与特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃特称命题含有的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“”【经典例题】例1将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假．(1)所有实数的平方都是正数；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；(4)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；(5)有些整数是偶数例2判断下列量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.(4)有的集合中不含有任何元素．(5)存在对角线不互相垂直的菱形．例3已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．例4．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．例5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．下列命题含有全称量词的是A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数2．若命题“任意，“是真命题，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，3．下列命题中为真命题的是A．， B．， C．， D．，4．下列命题中是真命题的是A．， B．， C．若，则”的逆命题 D．若，则”的逆否命题二．填空题（共2小题）5．设，，若是真命题，则实数的取值范围是．6．命题，，若是真命题，则实数的取值范围为三．解答题（共1小题）7．设命题，，命题，．若，都为真命题，求实数的取值范围．

当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．下列命题含有全称量词的是A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数【分析】直接根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解即可．【解答】解：：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；：方程有实数解，不是全称量词命题；：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选：．【点评】本题考查全称量词命题和存在量词命题的判断，属于基础题．2．若命题“任意，“是真命题，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【分析】利用不等式恒成立，通过判别式小于等于0，列出不等式求解即可．【解答】解：依题意，△，解得．故选：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，属于基础题．3．下列命题中为真命题的是A．， B．， C．， D．，【分析】利用命题的真假对每个选项判断，全称特称量词命题定义判断即可．【解答】解：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，常见的存在量词还有：“有些”，“有一个”，“对某个”，“有”表示存在量词，用符号的“彐”表示，特称命题的定义．、，，△，错误．、，，，△，错误．、，，时，错误．、，，，正确．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断，全称特称量词命题判断即可．是基础题．4．下列命题中是真命题的是A．， B．， C．若，则”的逆命题 D．若，则”的逆否命题【分析】直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果．【解答】解：对于选项，对于，为假命题．故错误，对于选项当时，逆命题不成立．对于选项：若“，则”为假命题，故逆否命题为假命题．故选：．【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，不等式的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二．填空题（共2小题）5．设，，若是真命题，则实数的取值范围是，．【分析】由含参不等式恒成立问题，得：，等价于△，解不等式即可得的取值范围．【解答】解：若，，是真命题，则△，解得；故的取值范围是：；故答案为：，．【点评】本题考查了全称量词及全称命题、含参不等式恒成立问题，属于简单题．6．命题，，若是真命题，则实数的取值范围为【分析】由含参不等式恒成立问题，得：，，等价于①当时，，显然恒成立，②当时，由题意有：，解得：，得解．【解答】解：当是真命题时，即：，，①当时，，显然恒成立，②当时，由题意有：，解得：，综合①②得：实数的取值范围为：，故答案为：．【点评】本题考查了全称量词及全称命题、含参不等式恒成立问题，属简单题．三．解答题（共1小题）7．设命题，，命题，．若，都为真命题，求实数的取值范围．【分析】分别求