《金新学案》高考数学总复习 9.7空间距离课件 文 大纲人教

第7课时空间距离1．点到直线、平面的距离(1)由点向直线作

，这点与垂足间的距离是点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段．(2)从平面外一点引这个平面的

，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．(3)(B)点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d＝

.垂线垂线2．直线和平面、平面和平面的距离(1)一条直线和一个平面平行，这条直线上

到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离．作用：直线和平面的距离的定义将线面距转化为点面距，也给出了求直线到平面的距离的方法．(2)两个平行平面的公垂线和公垂线段：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的

，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做两个平行平面的

．任一点公垂线公垂线段(3)两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的

叫做两个平行平面的距离．(4)夹在两个平行平面间的平行线段

．(5)(B)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d＝

.平面α∥平面β，平面α的法向量为n，点M∈α，P∈β，平面α与平面β间的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d＝

.长度相等3．异面直线的距离(1)异面直线的公垂线和两条异面直线都

的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能是异面直线，因此和两条异面直线都垂直的直线有无数条(它们彼此互相平行)，但是和两条异面直线都垂直且相交的直线却有且只有一条．(2)两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的

的长度叫做两条异面直线的距离．(B)异面直线的距离的向量公式设向量n与两条异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d＝

.垂直且相交公垂线段1．已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则(

)A．c≤b≤a

B．c≤a≤bC．a≤c≤bD．b≤c≤a答案：

A2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1.线段A1D1的中点M到AB的距离为(

)答案：C3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(

)答案：

D4．在边长为a正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线，AB与A1D的距离为________．答案：5．如图，已知点E是棱长为2的正方体AC1的棱长AA1的中点，则点A到平面EBD的距离等于________．答案：求异面直线的距离，利用定义法，一般应先找出两异面直线的公垂线段，再通过解三角形求解．

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O、M分别是BD1、AA1的中点．(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．解析：(1)连结OA、OA1.O点是BD1的中点，所以O是正方体的中心，所以OA＝OA1.又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OM⊥AA1，连结MD1，BM，则可得MB＝MD1，同理由O点为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线．(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是异面直线线AA1与BD1所成的角．连结B1D1，在Rt△BB1D1中[变式训练]1.设PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA＝2，则PA与BC的距离是________；点P到BC的距离是________．答案：一般找出(或作出)过此点与已知知平面垂直的的平面，利用用面面垂直的的性质，过该该点作出平面面的垂线，进进而计算；也也可以利用“三棱锥体积法法”直接求距离；；有时直接利利用已知点求求距离比较困困难时，可以以把点到平面面的距离转化化为直线到平平面的距离，，从而“转移”到另一点上去去求“点到平面的距距离”．(2009·江西卷)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩矩形形，，PA⊥平面面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，，AC为直径的的球面交交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角角的大小小；(3)求点N到平面ACM的距离．．解析：方法一：：(1)证明：依依题设知知，AC是所作球球面的直直径，则AM⊥MC.又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥AM.所以AM⊥平面PCD.所以平面面ABM⊥平面PCD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，则M是PD的中点，，方法二：：(1)同方法一一．(2)如图所示示，建立立空间直直角坐标标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)：设平面ACM的一个法向量量n＝(x，y，z)，[变式训练]2.如图，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面面角M－DE－A为30°.(1)证明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的长，并求点点C到平面MDE的距离．解析：(1)证明：如图，，连结CD.∵AC＝BC，D为AB的中点，∴AB⊥CD，又C1C⊥平面ABC，∴AB⊥C1D，又A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.(2)过点A作CE的平行线，交交ED的延长线于F，连接MF.∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，又AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE，∵MA⊥平面ABC，∴MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，此两类题目实实质是相同的的，都是转化化成点到平面面的距离来求求解，求距离离的一般步骤骤是：“一作”：即先作出表表示距离的线线段；“二证”：即证明所作作的线段符合合题目的要求求，为所求线线段；“三计算”：即将所求线线段放置在三三角形中，通通过正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等积法求求取．如图，在直三三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，D、E、F分别是AB、AA1、CC1的中点，P是CD上的点．(1)求证：直线线PE∥平面A1BF；(2)求直线PE与平面A1BF的距离．解析：(1)证明：如图图，连结DE、CE，(2)由(1)可知，直线线PE与平平面面A1BF的距距离离等等于于两两平平行行平平面面EDC与A1BF的距距离离，，即即点点A1到平平面面EDC的距距离离，，亦亦点点A到平平面面EDC的距距离离，，设设点点A到平平面面EDC的距距离离为为h，又CD⊥AB，面面A1ABB1⊥面ABC，且平平面面A1ABB1∩面ABC＝AB.∴CD⊥面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED为直角三角形形．由VA－EDC＝VE－CAD，[变式训练]3.如图所示，在在三棱锥ABC－A1B1C1中，AB＝，，BC＝CA＝AA1＝1，A1点在底面ABC上的射影为O点．(1)O点与B点能否重合？？试证明你的的结论．(2)若O在AC上，求BB1与侧面AC1的距离．解析：(1)不能．∵若点O与点B重合，则△A1BA为直角三角形形，并且A1A为斜边，而由由已知AB＝，，AA1＝1，即AA1<AB，这是不可能能的．(2)∵A1O⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1O⊥BC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，而A1O与AC是平面ACC1A1内两相交直线线，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BB1∥平面ACC1A1，∴BB1与侧面ACC1A1的距离即为BC＝1.1．点到平面的的距离是有关关距离问题的的重点，它主主要由两种方方法求得：(1)用定义，直接接作出这段距距离，经论证证再计算．(2)转化为锥体的的高，用三棱棱锥体积公式式求点到平面面的距离．2．用向量方法法求点到面的的距离一般用用下列方法：：(1)找出点在平面面内的射影的的坐标，转化化为两点间的的距离；(2)找出平面的一一个单位法向向量，通过向向量在单位法法向量上的射射影的长度来来求．3．求距离的一一般步骤：“一作”：即先作出表表示距离的线线段(要符合作图规规则，避免随随意性)；“二证”：即证明所作作的线段符合合题目的要求求，为所求线线段(证明要符合逻逻辑且推理正正确)；“三计算”：即将所求线线段放置在三三角形中，通通过正、余弦弦定理解三角角形求取或利利用等积法求求取．4．求解解距离离问题题要注注意运运用化化归与与转化化思想想：面面面距距离→线面距距离→点面距距离→点点距距离．．通过对对近三三年高高考试试题的的统计计分析析，有有以下下的命命题规规律：：1．考查查热点点：点点面距距．2．考查查形式式：选选择、、填空空、解解答题题均可可出现现，常常在解解答题题中的的第二二问出出现，，难度度中等等．3．考查查角度度：一是对对点面面距、、线面面距、、面面面距的的考查查，其其中点点面距距是核核心．．二是对对异面面直线线距离离的考考查，，此考考点日日益淡淡化，，只要要求给给出公公垂线线的情情况，，因此此不必必过深深的研研究．．4．命题题趋势势：通通过对对空间间距离离的计计算，，加强强转化化思想想的考考查．．(12分)(2010·重庆卷卷)如图，，四棱棱锥P－ABCD中，底底面ABCD为矩形形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，，点点E是棱PB的中点．．(1)求直线AD与平面PBC的距离；；(2)若AD＝，，求二面面角A－EC－D的平面角角的余弦弦值．规范解答答：方法一：：(1)如图，在在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线线AD与平面PBC的距离为为点A到平面PBC的距离.1分因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直直角三角角形，又点E是棱PB的中点，，故AE⊥PB.3分又在矩形形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影影，由三三垂线定定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.4分从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为为直线AD与平面PBC的距离.5分(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的的二面角角的平面面角.7分由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，方法二：：(1)如右图，以以A为坐标原点点，射线AB、AD