《走向清华北大》高考总复习 平面向量的概念及线性运算课件

第五模块平面向量第二十三讲平面向量的概念及线性运算回归课本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,没有方向的量(如年龄､身高､长度､面积､体积､质量等),称为数量.(3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行(共线).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为1的向量叫做单位向量.2.向量的线性运算(1)向量加法的定义已知向量a､b,如图,平面内任取一点A,作b,再作则叫做a与b的和,记作a+b.即求两个向量和的运算叫做向量的加法.(2)向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量.(3)向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a､b,作对A､B､D三点不共线,以AB､AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量是=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四边形法则.(4)向量的减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若则(5)实数与向量积的定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a方向相同;λ<0时,λa与a方向相反;λ=0时,λa=0.(6)向量的加法､减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;向量加法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ为实数,则(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共线的的条件平行向量基基本定理:如a=λb,则a∥b,如果a∥b(b≠0),则存在惟一实数λ使a=λb.考点陪练答案:B答案:BA.A､B､C三点必在同同一直线上上B.△ABC必为等腰三三角形且∠∠B为顶点C.△ABC必为直角三三角形且∠∠B为直角D.△ABC必为等腰直直角三角形形答案:C答案:D答案:C类型一向向量的有关关概念解题准备:准确理解向向量的基本本概念是解解决这类题题目的关键键.共线向量即即为平行向向量,非零向量平平行具有传传递性,两个向量方方向相同或或相反就是是共线向量量,与向量长度度无关,两个向量方方向相同且且长度相等等,才是相等向向量.共线向量或或相等向量量均与向量量起点无关关.【典例1】判断下列命命题是否正正确(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A､B､C､D是不共线的的四点,则是是四边边形ABCD为平行四边边形的充要要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)a=b的充要条件件是(5)|a|=|b|是a=b的必要不充充分条件.(6)平行向量就就是共线向向量;(7)相反向量一一定是平行行向量;(8)平面内4个不同点A､B､C､D共线的充要要条件是存存在非零实实数k,使得(9)已知a是任一个非非零向量,则是是一个单单位向量.[解](1)不正确,两个向量的的长度相等等,但它们的方方向不一定定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.(2)正确,∵,且又又∵A､B､C､D是不共线的的四点,∴四边形ABCD是平行四边边形.反之,若四边形ABCD是平行四边边形,则且且与与方向相同,因此(3)正确,∵a=b,∴a､､b的长度相等等且方向相相同.又∵b=c,∴∴b､c的长度相等等且方向相相同.∴a､c的长度相等等且方向相相同,故a=c.(4)不正确,当a∥b且方向相反反时,即使|a|=|b|也不能得到到a=b.故不不是a=b的充要条件件,而是必要不不充分条件件.(5)正确,∵|a|=|b|⇏a=b,但a=b⇒|a|=|b|.∴|a|=|b|是a=b的必要不充充分条件.(6)正确.不同于平面面几何中的的平行与共共线的概念念,向量的平行行与共线是是同一概念念.(7)正确.由相反向量量的定义可可知(7)正确.(8)不正确.点的共线与与向量的共共线是不同同的概念.(9)正确.由单位向量量的定义可可知模长为为1的向量即为为单位向量量,而[答案](1)(4)(8)不正确,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正确[反思感悟]熟练掌握有有关基本概概念是解决决此类小题题的关键.类型二向向量的线性性运算及应应用解题准备:1.向量的加法法:(1)定义:求两个向量量和的运算算,叫做向量的的加法;(2)法则:三角形法则则,平行四边形形法则;(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的减法法:(1)定义:求两个向量量差的运算算,叫做向量的的减法;(2)法则:三角形法则则.(3)常用于向量式式的化简.3.实数与向量的的积:(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.由此可见,总有λa与a平行;(2)运算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λλa+ua,λ(a+b)=λa+λb.[反思感悟]在求向量时要要尽可能转化化到平行四边边形或三角形形中,选用从同一顶顶点发现的基基本向量或首首尾相连的向向量,运用向量加、、减法运算及及数乘运算来来求解,即充分利用相相等向量、相相反向量和线线段的比例关关系,运用三角形、、平行四边形形法则,充分利用三角角形中的中位位线,相似三角形对对应边成比例例的平面几何何的性质,把未知向量转转化为与已知知向量有直接接关系的向量量来求解.类型三 数乘乘向量与共线线向量定理的的应用解题准备:(1)向量共线是指指存在实数λ使两向量互相相表示.(2)向量共线的充充要条件中,通常只有非零零向量才能表表示与之共线线的其他向量量,要注意待定系系数法的运用用和方程思想想.(3)证明三点共线线问题,可用向量共线线来解决,但应注意向量量共线与三点点共线的区别别与联系,当两向量共线线且有公共点点时,才能得出三点点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λλ(a+kb),即ka+b=λλa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共线的两两个非零向量量.∴k-λ=λλk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.[反思感悟](1)向量共线的充充要条件中要要注意当两向向量共线时,通常只有非零零向量才能表表示与之共线线的其他向量量,要注意待定系系数法的运用用和方程思想想.(2)证明三点共线线问题,可用向量共线线来解决,但应注意向量量共线与三点点共线的区别别与联系,当两向量共线线且有公共点点时,才能得到三点点共线.错源一 忽视视零向量性质质致误【典例1】下列叙述错误误的是________.①若a∥b,b∥∥c,则a∥c;②若非零向量a与b方向相同或相相反,则a+b与a、b之一的方向相相同;③|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;④向量b与向量a共线的充要条条件是有且只只有一个实数数λ,使得b=λa;⑤⑥若λa=λb,则a=b.[剖析]忽视零向量的的特殊性是本本题出错的主主要原因,本题前四个结结论都与此有有关;另外两个相反反向量的和是是一个零向量量,不是实数零;最后一个结论论可能忽视了了λ=0的情况.[正解]这六个命题都都是错误的,因为对于①,当b=0,a不一定与c平行;对于②,当a+b=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相相同;对于③,当a、b之一为零向量量时结论不成成立;对于④,当a=0,且b=0,λ有无数个值;当a=0但b≠0,λ不存在.对于⑤,由于两个向量量之和得到的的仍是一个向向量,所以对于⑥,当λ=0时,不管a与b的大小与方向向如何,都有λa=λb,此时不一定有有a=b.[答案]①②③④⑤⑤⑥[评析]零向量的特殊殊性零向量是向量量中最特殊的的向量,规定零向量的的长度为0,其方向是任意意的,零向量与任意意向量都共线线.它在向量中的的位置正如实实数中0的位置一样,但有了它容易易引起一些混混淆,稍微考虑不到到就会出错,考生应给予足足够的重视.错源二 错用用实数运算律律或运算法则则[错解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=[剖析]上述解法受实实数运算律和和运算法则的的影响致错.[答案]4技法一 数形形结合思想【典例1】已知任意四边边形ABCD,O为其内部一点点,且满足试确定该点的的位置.[解题切入点]条件中涉及四四个向量的和和的问题,为了利用向量量的加法法则则,我们可把四个个向量之和的的问题,转化为向量两两两相加的情情形来解决.[解]点O是四边形ABCD对边中点连线线的交点,证明如下:如图,以OA、OD为邻边作AODE,设OE与AD交于I;以OB、OC为邻边作BOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是AD