《走向清华北大》高考总复习 双曲线课件

第四十一讲双曲线回归课本1.双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1､F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.即(||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|).若常数等于|F1F2|,则轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.提示:若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.2.双曲线的标准方程及简单几何性质3.双曲线中的几何量及其他问题(1)实轴|A1A2|=2a,虚轴|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且满足c2=a2+b2.(2)离心率:(3)焦点在x轴上的双曲线的焦半径:|PF1|=ex0+a(x0>0),|PF2|=ex0-a(x0>0);或|PF1|=-ex0-a(x0<0),|PF2|=-ex0+a(x0<0).考点陪练1.动点P到定点F1(1,0)的距离比到定点F2(3,0)的距离小2,则点P的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线的一支C.一条射线 D.两条射线解析:因|PF2|=|PF1|-2=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1为端点的一条射线.故选C.答案:C评析:当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值,即||PF1|-|PF2||=2a时,要注意两点:判断2a与|F1F2|的大小关系,其大小关系决定动点P的轨迹是双曲线还是射线.(1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为起点的射线;(2)当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1､F2为焦点的双曲线;(3)当2a>|F1F2|时,无满足条件的动点.答案:B答案:B评析:遇到焦点三三角形问题题,要回归定义义建立三角角形的三边边关系,然后一般运运用正余弦弦定理和三三角形的面面积公式即即可迎刃而而解.答案:D答案:A类型一双双曲线的的定义解题准备:在双曲线的的定义中要要注意双曲曲线上的点点(动点)具备的几何何条件,即“到两定定点(焦点)的距离之差差的绝对值值为一常数数,且该常数必必须小于两两定点的距距离”.若定义中的的“绝对值值”去掉,点的轨迹是是双曲线的的一支.【典例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心心M的轨迹方程程.[分析]利用两圆内内､外切的充要要条件找出出M点满足的几几何条件,结合双曲线线定义求解解.[反思感悟]容易用错双双曲线的定定义将点M的轨迹误以以为是整条条双曲线从从而得出方方程后没有有限制求曲线的的轨迹方方程时,应尽量地地利用几几何条件件探求轨轨迹的曲曲线类型型,从而再用用待定系系数法求求出轨迹迹的方程程,这样可以以减少运运算量,提高解题题速度与与质量.在运用双双曲线定定义时,应特别注注意定义义中的条条件“差差的绝对对值”,弄清所求求轨迹是是整条双双曲线,还是双曲曲线的一一支,若是一支支,是哪一支支,以确保轨轨迹的纯纯粹性和和完备性性.类型二求求双曲曲线的标标准方程程注意:在双曲线线的标准准方程中中,若x2的系数是是正的,那么焦点点在x轴上;如果y2的系数是是正的,那么焦点点在y轴上,且对于双双曲线,a不一定大大于b.[分析]利用待定定系数法法､双曲线定定义或双双曲线系系等知识识求双曲曲线标准准方程.[反思感悟悟]对焦点位位置判断断不准或或忽略对对双曲线线焦点所所在坐标标轴的讨讨论,是导致方方程出错错的主要要原因.利用待定定系数法法求双曲曲线的标标准方程程,是最重要要的方法法之一,但要注意意对焦点点所在坐坐标轴的的判断或或讨论;利用共渐渐近线的的双曲线线方程求求其标准准方程,往往可以以简化运运算,但也应注注意对焦焦点所在在坐标轴轴的讨论论.类型三双双曲线线的几何何性质解题准备备:双曲线的的几何性性质的实实质是围围绕双曲曲线中的的“六点点”(两个焦点点､两个顶点点､两个虚轴轴的端点点),“四线”(两条对称称轴､两条渐近近线),“两形”(中心､焦点以及及虚轴端端点构成成的三角角形,双曲线上上一点和和两焦点点构成的的三角形形),研究它们们之间的的相互联联系.明确a､b､､c､e的几何意意义及它它们的相相互关系系,简化解题题过程.类型四直直线与与双曲线线的位置置关系解题准备备:与直线和和圆锥曲曲线的位位置关系系有关的的参数范范围问题题,常采用解解方程组组的思想想方法,转化为判判别式进进行;与弦长有有关的问问题,常常利用用韦达定定理,以整体代代入的方方法求解解,这样可以以避免求求交点,使运算过过程得到到简化.[反思感悟悟]在圆锥曲曲线中经经常遇到到求范围围问题,这类问题题在题目目中往往往没有给给出不等等关系,需要我们们去寻找找.对于圆锥锥曲线的的参数的的取值范范围问题题或最值值问题,解法通常常有两种种:当题目的的条件和和结论能能明显体体现几何何特征及及意义时时,可考虑利用数数形结合法求求解或构造参参数满足的不不等式(如双曲线的范范围,直线与圆锥曲曲线相交时Δ>0等),通过解不等式式(组)求得参数的取取值范围;当题目的条件件和结论能体体现一种明确确的函数关系系时,则可先建立目目标函数,进而转化为求求解函数的值值域.错源一理理解性质质不透彻[剖析]错解中没有讨讨论∠POQ的大小,认为它就是两两条渐近线的的夹角,因而产生错误误.两条相交直线线的夹角是指指两条直线相相交时构成的的四个角中不不大于直角的的角,因此两条直线线的夹角不能能大于直角.错源二忽视视双曲线的特特殊性,误用一些充要要条件【典例2】已知双曲线x2-y2=1和点P(2,2),设直线l过点P且与双曲线只只有一个公共共点,求直线l的方程.[错解]设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线方方程x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)方程(*)的判别式Δ=12k2-32k+20.[剖析]错解中误以为为判别式Δ=0是直线与双曲曲线有一个公公共点的充要要条件.事实上,命题成立的充充要条件是方方程(*)有且仅有一个个根.故应分类讨论论.[正解]设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)当1-k2=0时,斜率k=1或k=-1.而当k=1时,方程(*)不成立;当k=-1时,直线l的方程为x+y-4=0.当1-k2≠0时,由前面错解得得直线l的方程为5x-3y-4=0.故所求直线l的方程为:x+y-4=0或5x-3y-4=0.错源三 错用用双曲线的第第一定义【典例3】已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.[错解]圆F1:(x+5)2+y2=1,所以圆心为F1(-5,0),半径r1=1,圆F2:(x-5)2+y2=42,所以圆心为F2(5,0),半径r2=4.[剖析]实际上本题的的轨迹应该是是双曲线的一一支,而非整条双曲曲线,上述解法忽视视了双曲线定定义中的关键键词“绝对值”.正确的解答如如下.[正解]由|MF2|-|MF1|=3,可得|MF2|>|MF1|,即点M到F2(5,0)的距离大于点点M到F1(-5,0)的距离,所以点M的轨迹应该是是双曲线的左左支,故双曲线方程程为错源四 错用用双曲线的第第二定义【典例4】一动点点到定定直线线x=3的距离离是它它到定定点F(4,0)的距离离的求求这个个动点点的轨轨迹方方程.[错解]由题意意,动点到到定点点的距距离与与它到到定直直线的的距离离之比比为2,所以动动点的的轨迹迹是双双曲线线.又F(4,0),所以c=4,又准线线x=3,所以所所以a2=12,b2=4,所以双双曲线线方程程为技法一一双双曲线线中点点弦存存在性性的探探讨求过定定点的的双曲曲线的的中点点弦问问题,通常有有下面面两种种方法法:(1)点差法法,即设出出弦的的两端端点的的坐标标代入入双曲曲线方方程后后相减减,得到弦弦中点点坐标标与弦弦所在在直线线斜率率的关关系,从而求求出直直线方方程.(2)联立法