《走向清华北大》高考总复习 两角和与差及二倍角公式课件

第十八讲两角和与差及二倍角公式回归课本1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβT(α+β)∶tan(α+β)=(α,β,α+β≠kπ+,k∈Z)T(α-β)∶tan(α-β)=(α,β,α-β≠kπ+,k∈Z).注意:(1)注意公式的适用范围:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+

(k∈Z).即保证tanα､tanβ､tan(α±β)都有意义.(2)对公式tan(α+β)=,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:①=tan(α+β)(逆用);②1-tanαtanβ=③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.2.在和角公式S(α+β)､C(α+β)､T(α+β)中,当α=β时就可得到二倍角的三角函数公式S2α､C2α､T2α.sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α=,cos2α=,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.4.asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.φ的终边所在象限由点(a,b)来确定.注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用､逆用､变形用,还要创造条件用公式,如拆角､配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.注意切化弦､通分等方法的的使用,充分利用三角角函数值的变变式,如1=tan45°,-1=tan135°,=tan60°,=cos60°或=sin30°,sinx+cosx=2sin学会灵活地运运用公式.(3)当角α,β中有一个角为为90°的整数倍时,使用诱导公式式较为简便,诱导公式是两两角和与差的的三角函数公公式的特例.(4)搞清公式的来来龙去脉,C(α-β)是基础,其他公式都是是用代换法及及诱导公式得得到的推论,即(5)二倍角公式的的正用､逆用及变形用用是公式的三三种主要使用用方法,特别是变形用用有时恰是解解题思路的关关键.如:2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=cos2α-sin2α=cos2α,=tan2αα,1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosαα=(sinαα±cosαα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.考点陪练1.sin15°cos75°+cos15°°sin105°等于()解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°°=sin90°=1.答案:D答案:A答案:B4.下列各式中,值为的的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°答案:B答案:A类型一 两角角和与差的三三角函数解题准备:利用和差公式式对三角函数数式进行化简简与求值,是每年高考必必考内容,纵观近几年的的高考试题,对本考点的内内容一是直接接考查,二是以和差公公式为角的变变换工具,与向量､函数､不等式等知识识相结合的综综合题.[分析]先将条件等式式展开,联立方程组求求得sinα•cosβ与cosα•sinβ的值,再将待求式子子化简即可.[反思感悟]已知三角函数数值,求三角函数式式的值,往往要对待求求式进行化简简.像本题通过化化简发现必须须先求的的值,而已知条件为为正弦函数值值,因此由求转转化为求的值,从而容易想到到将两个条件件等式展开,再联立方程组组即可.类型二 二倍倍角的三角函函数解题准备:本考点的考查查基本上是以以二倍角公式式或变形公式式为工具,对角或函数名名称进行恰当当变换,以化简求值为为主,在具体问题中中,必须熟练准确确地运用公式式.[反思感悟]二倍角的余弦弦公式的正用用是化倍角为为单角,相应三角函数数式项的次数数翻倍(即升幂);其逆用则是化化二次式为一一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍倍角与单角的的相对性.类型三 辅助助角公式的应应用解题准备:1.由S(α+β),我们可以得出出辅助角公式式,即asinx+bcosx=sin(x+φ)(其中φ角的终边所在在象限由a,b的符号确定,φ角满足cosφ=,sinφ=,这是经常用到到的一个公式式,它可把含sinx、cosx的一次式的三三角函数式化化为Asin(x+φ)的形式,从而进一步探探索三角函数数的性质.错源一 使用用公式时不注注意使用条件件[剖析]这是一道热点点测试题,上述解法执行行了“标准”答案选A.题设条件中的的m∈(0,1),事实上,如当α=2kπ+(k∈Z)时,1-2m2=0,tan2α失掉意义,若题设条件中中限制m≠,则应当选A.[答案]D错源二 求角角时对角的范范围讨论不准准确【典例2】若tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.[剖析]上述解法就是是犯了对角的的讨论不正确确而错误确定定了所求角的的取值范围.技法一 构造造斜率【典例1】求值:[解]设A(cos40°,sin40°),B(cos20°,sin20°),于是所求是A､B两点连线的斜斜率kAB,而A､B两点都在单位位圆x2+y2=1上.设直线AB与x轴交于C点,作OD⊥AB垂足为D.易知∠xOB=20°,∠xOA=40°°,∠BOA=20°,∠BOD=10°,于是在Rt△COD中,∠COD=30°,∠∠DCO=60°,于是直线AB的倾斜角∠xCD=120°,所以kAB==tan120°=技法二 巧用用两角和与差差公式解题一､巧变角1.巧凑角【典例2】若锐角α、β满足cosα=,cos(α+ββ)=,求sinβ的值.[解]注意到β=(α+ββ)-α,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(αα+β)cosα-cos(α+ββ)sinαα∵α为锐角且cosα=,∴sinα=2.巧拆角【典例3】求的的值.[解题切入点]该题为非特殊殊角三角函数数求值,不能直接进行行,注意拆角向特特殊靠拢易求求值.二､巧变公式结构构【典例4】求tan25°°+tan35°+tan25°tan35°的值.[解]注意到25°+35°=60°°,故用两角和正正切变形公式式.原式=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°=(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°°=三､巧引参数【典例5】已知锐角α、β满足条件求求证证α+β=.[解题切入点]若注意到已知知条件满足公公式sin2α+cos2α=1时,可引进参数θ,进行三角代换换.[证明]由已知可设=cosθ,=sinθ,则有sin2α=cosθθ•cosβ,①①cos2α=