《走向清华北大》高考总复习 两直线的位置关系课件

第三十八讲两直线的位置关系回归课本1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在,分别设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.一般地:若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0,l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).

2.三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式

特别地,原点(0,0)与任一点P(x,y)的距离(2)点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离考点陪练1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于()A.2 B.1C.0 D.-1解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D2.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0,l2:2xsinθ+y+1=0,若l1∥l2,则θ=________.解析:当sinθ=0时,不合题意.当sinθ≠0时,=2sinθ,∴sinθ=∴θ=kπ±,k∈Z.答案:kπ±

,k∈Z3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0解析:所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,此时kOA=2,故所求直线的斜率为 所以直线方程为 即x+2y-5=0.答案:A4.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是()A.互相重合 B.互相平行C.互相垂直 D.互相斜交答案:B5.将直线l:x+2y-1=0向左平移3个单位,再向上平移2个单位后得到直线l′,则直线l与l′的距离为()答案:B类型一两两条直线线位置关系系的判定和和应用解题准备:判断两条直直线平行或或垂直时,往往从两条条直线斜率率间的关系系入手加以以判断,当直线方程程中含有字字母系数时时,要考虑斜率率不存在的的特殊情况况.判断两直线线垂直时,若用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可不用分类类讨论,但在两直线线平行的判判断中,既要看斜率率,又要看截距距.【典例1】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.[分析]可以把直线线化成斜截截式,运用斜率或或截距的数数量关系来来判断求解解,但由于直线线的斜率可可能不存在在,就必须进行行分类讨论论;也可以运用用一般式方方程中的关关系来判断断或求解,这样可以避避免讨论.[反思感悟](1)直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,“l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2”的前提条件件是l1,l2的斜率都存存在,若不能确定定斜率的存存在性,应对其进行行分类讨论论:当l1,l2中有一条存存在斜率,而另一条不不存在斜率率时,l1与l2不平行;当l1,l2的斜率都不不存在(l1与l2不重合)时,l1∥l2;当l1,l2均有斜率且且k1=k2,b1≠b2时,有l1∥l2.为避免分类类的讨论,可采用直线线方程的一一般式,利用一般式式方程中的的“系数关关系”的形形式来判断断两直线是是否平行,如本例解法法二.(2)当l1⊥l2时,可分斜率不不存在与斜斜率存在,且k1·k2=-1解决问题,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分类类讨论.类型二距距离问题3.点到几种特特殊直线的的距离:(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|.(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|.(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直直线y=a的距离d=|y0-a|.(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直直线x=b的距离d=|x0-b|.【典例2】两条互相平平行的直线线分别过点点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕绕着A,B旋转,如果两条平平行直线间间的距离为为d.求:(1)d的变化范围围;(2)当d取最大值时时,两条直线的的方程.[解](1)解法一:①当两条直线线的斜率都都不存在时时,即两直线分分别为x=6和x=-3,则它们之间间的距离为为9.②当两条直线线的斜率存存在时,设这两条直直线方程为为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤且d≠9.综合①②可可知,所求的d的变化范围围为解法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|.(2)由图可知,当d取最大值时时,两直线垂直直于AB.则∴所求的直直线的斜率率为-3.故所求的直直线方程分分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.类型三交交点及直线线系问题解题准备:符合特定条条件的某些些直线构成成一个直线线系,常见的直线线系方程有有如下几种种:(1)过定点M(x0,y0)的直线系方方程为y-y0=k(x-x0)(这个直线系系方程中未未包括直线线x=x0).(2)和直线Ax+By+C=0平行的直线线系方程为为Ax+By+C′=0(C≠≠C′).(3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线线系方程为为Bx-Ay+C′=0.(4)经过两相交交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直直线系方程程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系系方程中不不包括直线线A2x+B2y+C2=0).【典例3】求经过直线线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.[分析]本题可先求求出交点坐坐标,然后由直线线间的位置置关系求得得;也可由直线线系方程,根据直线间间位置关系系求得.解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1、l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3××2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程为5x+3y-1=0.解法三:∵l过l1、l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λλ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得(3+5λλ)x+(2+2λλ)y+(-1+λλ)=0.其斜率解解得λ=代入直线系系方程即得得l的方程为5x+3y-1=0.[反思感悟]对直线系方方程的形式式不熟悉或或不能正确确运用直线线系方程,是出错的原原因之一.运用直线系系方程,有时会给解解题带来方方便,常见的直线线系方程有有:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线线系方程是是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线线系方程是是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直直线系方程程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λλ∈R),但不包括l2.类型四对对称问题解题准备:(1)对称问题主主要包括中中心对称和和轴对称.中心对称:①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′′,y′)满足②直线关于点点的对称可可转化为点点关于点的的对称问题题来解决.轴对称:①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有②直线关于于直线的对对称可转化化为点关于于直线的对对称问题来来解决.(2)在对称问题题中,点关于点的的对称是中中心对称中中最基本的的,处理这类问问题主要抓抓住:已知点与对对称点连成成线段的中中点为对称称中心;点关于直线线对称是轴轴对称中最最基本的,处理这类问问题要抓住住两点:一是已知点点与对称点点的连线与与对称轴垂垂直;二是已知点点与对称点点为端点的的线段的中中点在对称称轴上.【典例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线线b的方程.[分析]本题的思路路较多,可以根据点点斜式或两两点式写出出直线b的方程,也可以利用用轨迹或对对称观点求求出直线b的方程.错源一缺缺乏分类意意识【典例1】求过直线4x-2y-1=0与直线x-2y+5=0的交点且与与两点A(0,8),B(4,0)距离相等的的直线l的方程.[剖析]错解缺乏分分类讨论的的意识,对直线的位位置关系考考虑不全,事实上当直直线l经过AB的中点时也也满足条件件.[正解]由已知可求求得两直线线的交点为为(1)若点A,B在直线l的同侧,则l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直线l的方程为即即4x+2y-15=0.(2)若点A,B在直线l的两侧,则直线l经过线段AB的中点(2,4),可求出直线线方程为x=2.综上可得,直线l的方程为4x+2y-15=0或x=2.错源二忽忽视隐含条条件【典例2】如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,求m的值.[错解]因为直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,所以m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以当m=-1或m=-2时直线与y轴平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直线,其中隐含着着A·B≠0这一条件.当m=-2时,直线方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2为0·x+0·y=0,它不表示直直线,所以出现错错误.[正解]因为为直直线线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平平行行,所以以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得得m=-1,所以以当当m=-1时直直线线与与y轴平平行行.技法法一一数数形形结结合合【典例例1】】已知知△△ABC中,A点坐坐标标为为(1,3),AB、AC边上上的的中中线线所所在在直直线线方方程程分分别别为为x-2y+1=0和y-1=0,求△△ABC各边边所所在在直直线线的的方方程程.[解题题切切入入点点]画出出草草图图帮帮助助思思考考,欲求求各各边边所所在在直直线线的的方方程程,只需需求求出出三三角角形形顶顶点点B、C的坐坐标标.B点应应满满足足的的两两个个条条件件是是:①B在直直线线y-1=0上;②BA的中中点点D在直直线线x-2y+1=0上.由①①可可设设点点B的坐坐标标为为(xB,1),进而而再再由由②②确确定定xB,依照照同同样样的的方方法法可可以以确确定定顶顶点点C的坐坐标标,故△△ABC各边边所所在在的的直直线线方方程程可可求求.[解]设AB、AC边上上的的中中线线分分别别为为CD､､BE,其中中D､､E为中中点点.∵B在中中线线y-1=0上,∴设B点的的坐坐标标为为(xB,1).又∵∵D为AB的中中点点,A(1,3),∴D的坐坐标标为为[方法法与与技技巧巧]依据据已已知知条条件件求求平平面面图图形形中中某某些些直直线线的的方方程程,必须须““数数形形结结合合””.通过过数数形形结结合合,特别别是是借借助助平平面面图图形形分分析析出出隐隐含含条条件件,这样样可可以以达达到到化化难难为为易易､化繁繁为为简简的的目目的的,以形形助助数数也也是是平平面面解解析析几几何何中中常常用用的的方方法法.技法法二二对对称称问问题题的的解解法法(1)点关关于于直直线线对对称称【典例例2】】已知知直直线线l:3x-y+3=0,求点点P(4,5)关于于直直线线l的对对称称点点.[解题题切切入入点点]利用用对对称称性性质质列列有有关关对对称称点点坐坐标标的的方方程程组组进进而而求求解解.[方法法与与技技巧巧]解法法一一的的应应用用最最为为广广泛泛,其关关键键是是利利用用““垂垂直直””､““平分分””.点P(a,b)关于于特特殊殊直直线线的的对对称称点点列列表表如如下下:(2)直线线关关于于点点对对称称【典例例3】】求直直线线l1:2x-y+1=0关于于点点P(2,1)的对对称称直直线线l2的方方程程.[解题题切切入入点点]利用用好好中中心心对对称称的的性性质质是是解解对对称称问问题题的的关关键键.[解]解法法一一:因为为l1与l2关于于点点(2,1)对称称,所以以l1∥l2.设l2:2x-y+C=0.由点点P(2,1)到两两直直线线的的距距离离相相等等,有:解得得C=-7或C=1(舍去去).故所所求求的的方方程