《走向清华北大》高考总复习 三角恒等变换课件

第十九讲三角恒等变换回归课本1.三角恒等变换主要包括角的变换､函数名称的变换､常数的变换､幂的变换和式子结构的变换.3.万能公式4.积化和差公式(1)sinαcosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)];(2)cosαsinβ=

[sin(α+β)-sin(α-β)];(3)cosαcosβ=

[cos(α+β)+cos(α-β)];(4)sinαsinβ=-

[cos(α+β)-cos(α-β)].5.和差化积公式(1)sinθ+sinφ=2sin(2)sinθ-sinφ=2cos(3)cosθ+cosφ=2cos(4)cosθ-cosφ=-2sin考点陪练答案:B答案:A答案:C4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()C.3+cos2xD.3+sin2x解析:∵f(sinx)=2+2sin2x,∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案:C答案:2类型一一三三角函函数式式的化化简解题准准备:化简三三角函函数式式常有有两种种思路路:一是角角的变变换(即将多多种形形式的的角尽尽量统统一､减少角角的个个数);二是三三角函函数名名称的的变换换(即尽量量减少少､统一函函数名名称,如“切化弦弦”).具体问问题中中可双双管齐齐下,整体变变换.[反思感感悟]三角函函数式式的化化简原原则:尽量使使函数数种类类最少少,次数相相对较较低,项数最最少,尽量使使分母母不含含三角角函数数,尽量去去掉根根号或或减少少根号号的层层次,能求出出具体体值的的应求求出其其值.类型二二三三角函函数式式的求求值解题准准备:三角函函数式式的求求值三角函函数的的求值值主要要有三三种类类型,即给角角求值值､给值求求值､给值求求角.①给角求求值的的关键键是正正确地地选用用公式式,以便把把非特特殊角角的三三角函函数相相约或或相消消,从而化化为特特殊角角的三三角函函数.②给值求求值的的关键键是找找出已已知式式与欲欲求式式之间间的联联系及及函数数的差差异,一般可可以适适当变变换已已知式式,求得另另外函函数式式的值值,以备应应用.同时也也要注注意变变换欲欲求式式,便于将将已知知式求求得的的函数数值代代入,从而达达到解解题的的目的的.③给值求求角关关键是是先求求出该该角的的某一一三角角函数数式的的值,其次判判断该该角在在对应应区间间的单单调性性,从而达达到解解题的的目的的.[反思感感悟]给值求求值问问题是是给出出某个个角(或两个个角)的三角角函数数(式)的值,要求其其他角角的三三角函函数值值.解决此此类问问题的的关键键是利利用角角的变变换,把待求求角用用已知知角表表示出出来,利用两两角和和､差或倍倍角公公式把把待求求角的的三角角函数数值求求出,如果条条件所所给的的式子子比较较复杂杂,则需先先将其其化简简.在三角角函数数求值值过程程中,同角三三角函函数关关系式式及两两角和和与差差的三三角函函数公公式是是常用用工具具.类型三三已已知三三角函函数值值求角角解题准准备:已知三三角函函数值值求角角,一般可可分以以下三三个步步骤:第一,定角的的范围围,很多时时候我我们需需要根根据题题中给给出的的三角角函数数值或或中间间结果果中的的三角角函数数值进进一步步缩小小角的的范围围;第二,求角的的某一一个三三角函函数值值(要求该该三角角函数数应在在角的的范围围内严严格单单调);第三,根据角角的范范围写写出所所求的的角.其中在在第二二步中中,具体选选用哪哪个三三角函函数,一般可可由条条件中中的函函数确确定,一般已已知正正切函函数值值,选正切切函数数;已知正正､余弦函函数值值,选正､余弦函函数;若角的的范围围是正正､余弦函函数均均可;若角的的范围围是(0,π),一般选选余弦弦函数数;若角的的范围围是则则一般般选正正弦函函数等等.[答案]A类型四四三三角函函数式式的证证明解题准准备:三角恒恒等式式的证证明主主要有有两种种类型型:绝对恒恒等式式与条条件恒恒等式式.①证明绝绝对恒恒等式式要根根据等等式两两边的的特征征,化繁为为简,左右归归一,变更论论证,通过三三角恒恒等式式变换换,使等式式的两两边化化异为为同.②条件恒恒等式式的证证明则则要认认真观观察,比较已已知条条件与与求证证等式式之间间的联联系,选择适适当途途径对对条件件等式式进行行变形形,直到得得到所所证等等式,或者将将欲证证等式式及条条件进进行变变式,创造机机会代代入条条件,最终推推导出出所证证等式式.错源一一合合理运运用公公式的的能力力差[错解]由sinα+cosαα=得(sinαα+cosα)2=1+sin2α=所以sin2αα=.因为0<αα<ππ,所以0<2α<2ππ.由sin22α+cos22α=1得cos2αα=±±故选C.[剖析]由于选选择了了sin22α+cos22α=1,求cos2αα的值时时符号号不能能确定定,造成解解题错错误.[正解]由sinα+cosαα=①①得(sinαα+cosα)2=1+sin2α=所以sin2αα=.因为sin2αα=2sinααcosαα<0,且0<αα<ππ,所以<α<π.所以sinα-cosαα>0.因为(sinαα-cosα)2=1-sin2α=,所以sinα-cosαα=②②由①×②得:sin2α-cos2α=,即cos2αα=cos2α-sin2α=故选B.[答案]B错源二二忽忽视角角的范范围【典例2】若α、β是锐角角,且sinα-sinββ=-,cosαα-cosβ=,求tan(αα-ββ).技法三三角角恒等等变换换的六六种意意识一､降幂意意识主要针针对sinx,cosx出现高高次幂幂的情情况,常常通通过配配方或或者利利用倍倍角公公式进进行求求解.【典例1】当α+ββ=30°°时,求sin2α+cos2β+cosαsinβ的值.二､统一意意识三角变变换的的实质质归结结到一一点就就是化化异为为同.解三角角题时时,应敏锐锐地观观察题题目中中角､名称､运算等等之间间的差差异,然后设设法消消除差差异､实现统统一.【典例2】已知sin(2α+β)+2sinββ=0,且cosαcos(αα+ββ)≠≠0,求证证:tanαα=3tan(αα+ββ).[证明明]因为为2αα+ββ=αα+ββ+αα,ββ=αα+ββ-αα,所以以sin(αα+ββ+αα)+2sin(αα+ββ-αα)=0,即sin(αα+ββ)cosαα+cos(αα+ββ)sinαα+2sin(αα+ββ)cosαα-2cos(αα+ββ)sinαα=0,所以以3sin(αα+ββ)cosαα=cos(αα+ββ)sinαα,又因因为为cosααcos(αα+ββ)≠≠0,可两两边边同同时时除除以以cosααcos(αα+ββ)即可可得得证证.三､整体体意意识识如果果所所涉涉及及的的三三角角问问题题中中已已知知式式和和待待求求式式的的结结构构类类似似,则可可用用整整体体代代换换,即把把已已知知式式或或待待求求式式视视为为一一个个整整体体进进行行变变形形替替换换.【典例例3】】化简简:cos2(θθ+15°°)+cos2(θθ-15°°)-cos2θθ.[解题题切切入入点点]由于于观观察察到到此此式式中中的的角角出出现现θ+15°°,θθ-15°°与2θθ,要达达到到角角的的统统一一,需将将角角θ+15°°,θθ-15°°向角角2θθ进行行转转化化,因此此,可考考虑虑二二倍倍角角的的变变形形公公式式.四､代换换意意识识代换换是是解解三三角角题题经经常常用用到到的的技技巧巧,如特特殊殊值值与与三三角角函函数数的的代代换换､1的代代换换等等,恰当当地地进进行行代代换换有有利利于于迅迅速速解解题题,又如如在在一一个个函函数数式式中中同同时时出出现现sinx±±cosx与sinx•cosx,可考考虑虑设设t=sinx±±cosx等.五､消元元意意识识消元元法法在在解解三三角角题题中中有有着着广广泛泛的的应应用用,如给给角角求求值值时时,消去去非非特特殊殊角角;证明明条条件件等等式式时时,消去去结结论论中中不不含含的的角角或或函函数数等等.[解题题切切入入点点]此题题各各