第四章 基本立体及表面交线2

4.3立体与立体相交

两基本立体相交，也称相贯，在两基本体表面上所产生的交线称为相贯线，两相交的基本立体称为相贯体。

相贯线既是两相贯体表面的共有线，又是它们的分界线。

全贯两条相贯线

互贯空间折线围合的一条相贯线共面相贯线不封闭4.3.1平面立体与平面立体相交一、相贯线的特点

相贯线的每一条线段是两立体参与相交的表面之间的交线。相贯线上的各转折点，是一个立体参与相交的棱线与另一个立体参与相交的表面的交点。二、求相贯线的画法

可以归结为：求平面与平面立体的截交线和棱线与平面的贯穿点。

作图方法：求平面与平面立体的截交线（棱线法、棱面法）若两立体全贯，相贯线是由直线围合的平面多边形；若两立体互贯，则相贯线是由直线围合而成的空间多边形。例1求两正交三棱柱的相贯线。a′b′c′d′e′f′1′2′3′4′5′6′def3546acb12a″c″b″d″e″f″3″4″5″6″1″2″投影分析：两三棱住正交，直立三棱住的H面投影和水平三棱住的W面投影有积聚性，只需求出相贯线的V面投影。4.3.2平面立体与曲面立体相交一、相贯线的特点

如果平面体上只有一个平面与曲面体相交，则交线是一条平面曲线。如果平面体上由多个平面参与相交，则交线是由若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。二、求相贯线的画法

可归结为：求平面与曲面立体的截交线和棱线与曲面的贯穿点。

作图方法：求平面与曲面立体的截交线（表面取点法）。例2求四棱锥与圆柱的相贯线。12345678mn5′6′1′2′7′m′n′7″m″5″1″4″8″sts″●●●●4.3.3曲面立体与曲面立体相交

一、相贯线的特点

相贯线一般为光滑封闭的空间曲线。相贯线的形状决定于曲面的形状、大小及两曲面之间的相对位置。

相贯线是两回转体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。

两曲面立体表面相交有三种形式：立体的外表面相交；外表面与内表面相交；内表面与内表面相交。实实相贯实虚相贯虚虚相贯相贯线的形式两曲面立体相贯的形式二、求相贯线的画法1、先找特殊点。作图过程确定交线的弯曲趋势确定交线的范围3、判断可见性。4、顺序光滑连接各点。

求作两曲面立体的相贯线，实质上就是求两立体表面的一系列共有点的投影问题。●●●作图方法1、积聚投影法2、辅助平面法2、再找中间点。3、辅助球面法（了解）相贯线的求法一、积聚投影法求作相贯线

如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。利用圆柱面积聚投影，将求相贯线的其余投影作图转化为在另一立体上取点、取线的问题，这一方法称为积聚投影法。例1.已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。

分析：由投影图可知，直径不同的两圆柱轴线垂直相交，由于大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱轴线垂直于H面，所以，相贯线的侧面投影和水平投影为圆，只有正面投影需要求作。相贯线为前后左右对称的空间曲线。求正交两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线（1）求特殊点：作图步骤：13421’3’1”3”2”4”2’4’

直接定出相贯线的最左点Ⅰ和最右点Ⅲ的三面投影。

再求出出相贯线的最前点Ⅱ和最后点Ⅳ的三面投影。ⅠⅢⅡⅣ求正交两圆柱的相贯线12341’2’1”3”2”4”2’4’（2）求一般点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5″、6″，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5′、6′。5”6”565’6’

(3)光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图。（1）求一般点：

圆柱面相贯有外表面与外表面相贯、外表面与内表面相贯和两内表面相贯。三种情况的相贯线的形状和作图方法相同。(a)两外表相交

(b)外表面与内表面相交

(c)两内表面相交

求正交两圆柱的相贯线两圆柱正交时，相贯线的简便画法。交线向大圆柱一侧弯轴线垂直相交两圆柱的相贯线，可用圆弧代替：1、圆弧的半径R是大圆柱的半径；2、圆心在小圆柱的轴线上；3、圆弧向大圆柱的轴线一侧弯曲。正交圆柱相贯线变化规律内外分别求先求特殊点本例可以用圆弧近似代替相贯线返回例2两圆柱筒相贯圆柱与半球的相贯线辅助平面P

基本原理：作一辅助平面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线，作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线上的点。二、辅助平面法求相贯线

根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影，称为辅助平面法。三面共点作图方法：1、假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。2、求出截交线的交点，即三面的共有点，因而是相贯线上的点。3、作一系列辅助平面，便可求得相贯线上的一系列点。4、判别可见性后，依次光滑连接各点的同面投影。辅助平面的选择原则：

使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面作为辅助面。18yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'例：求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影三、辅助球面法求相贯线作图原理：

圆柱与圆锥的轴线相交，以交点O为圆心作一辅助球面，同时截切柱面与锥面，其截交线分别为两平面圆，两平面圆之交点，即是相贯线上的点。求相贯线的条件：两回转体的轴线应同时平行于某一投影面，使球面与它们的交线（圆）在该投影面上的投影积聚成直线段。O·例

求圆柱与圆锥斜交的相贯线解题步骤1．圆柱与圆锥轴线斜交，相贯线的三个投影均未知，只有利用辅助球面法求共有点。1'2'1"3"2"1233'2．求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其中Ⅱ点也是最大辅助球面上的点3．求小辅助球面上的点Ⅲ作最大和最小辅助球面求共有点4．求一般点Ⅳ、Ⅴ4"5"6．整理轮廓线。5．顺次连接各点，并判别可见性544'5'1、轴线平行的柱体或共锥顶的锥体相贯时，其相贯线为两条直线。

两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。

四、相贯线的特殊情况2、若两回转体相交，具有公共回转轴线时，则其相贯线为圆。

当公共轴线处于投影面垂直线时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线段。2、外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。

当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线段。例：补全正面投影图●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交线◆

两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆

两内表面相贯

无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。小结：1、平面立体与平面立体相交

可以归结为：求平面与平面立体的截交线和棱线与平面的贯穿点。2、平面立体与曲面立体相交

可以归结为：求平面与曲面立体的截交线和棱线与曲面的贯穿点。小结一、本节的基本内容3、曲面立体与曲面立体相交求相贯线的基本方法：积聚投影法辅助平面法二、解题过程⒈交线分析

⑴空间分析：

⑵投影分析：

是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。

分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状。⒉作图

当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：⑴找点：先找特殊点，补充若干中间点⑵判断可见性、连线：可见与不可见的分界点⑶检查、加深：尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。三、两曲面体相贯⒈