【全套解析】高三数学一轮复习 73 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 （理） 新人教A

第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线．两点不在一条直线上有且只有一条2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．锐角(或直角)3．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示4．两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0两平面相交斜交α∩β＝a有无数个公共点在一条直线上垂直α⊥βα∩β＝a有无数个公共点在一条直线上5.平行公理平行于同一条直线的两条直线

互相平行．1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)A．异面B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：两直线可相交、异面或平行，选D.答案：D2．在空间内，可以确定一个平面的条件是(

)A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：A中两两相相交的三三条直线线，它们们可能交交于同一一个点，，也可能能不交于于同一个个点，若若交于同同一个点点，则三三直线不不一定在在同一个个平面内内，故排排除A；B中的另外外两条直直线可能能共面，，也可能能不共面面，当另另外两条条直线不不共面时时，则三三条直线线不能确确定一个个平面，，故排除除B；只有条件件D中的三条条直线，，它们两两两相交交且不交交于同一一点，因因而其三三个交点点不在同同一直线线上，由由公理2知其可以以确定一一个平面面．答案：D3．已知a、b是异面直直线，直直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是是异面直直线B．一定是是相交直直线C．不可能能是平行行直线D．不可能能是相交交直线解析：假设c∥b，∵c∥a，∴“a∥b”与“a，b是异面直直线”矛盾．∴假设不不成立，，即c不可能平平行于b.答案：C4．三条直直线两两两相交，，可以确确定________个平面．．答案：1或35．对于空空间三条条直线，，有下列列四个条条件：①三条直直线两两两相交且且不共点点；②三条直直线两两两平行；；③三条④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件是________．解析：①中两直直线相交交确定平平面，则则第三条条直线在在这个平平面内．．②中可能能有直线线和平面面平行．．③中直线线最多可可确定3个平面．．④同①.答案：①④热点之一一平面基本本性质的的应用平面的基基本性质质是通过过三个与与平面的的特征有有关的公公理来规规定的．．(1)公理1说明了平平面与曲曲面的本本质区别别．通过过直线的的“直”来刻画平平面的“平”，通过直直线的“无限延伸伸”来描述平平面的“无限延展展性”，它既是是判断直直线在平平面内，，又是检检验平面面的方法法．(2)公理2揭示了两个平平面相交的主主要特征，提提供了确定两两个平面交线线的方法．(3)公理3及其三个推论论是空间里确确定一个平面面位置的方法法与途径，而而确定平面是是将空间问题题转化为平面面问题的重要要条件，这个个转化使得立立体几何的问问题得以在确确定的平面内内充分使用平平面几何的知知识来解决，，是立体几何何中解决相当当一部分问题题的主要的思思想方法．(2)方法1：证明D点在EF、CH确定的平面内内．方法2：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交．G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．方法2：如右图，延延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．即时时训训练练如右右图图所所示示，，O求证：O1、M、A三点共线．证明明：：∵A1C1∩B1D1＝O1，又B1D1⊆平面面B1D1A，A1C1⊆平面面AA1C1C，∴O1∈平面面B1D1A，O1∈平面面AA1C1C.∵A1C∩平面面B1D1A＝M，A1C⊆平面面AA1C1C，∴M∈平面面B1D1A，M∈平面面AA1C1C.又A∈平面面B1D1A，A∈平面面AA1C1C，∴O1、M、A在平平面面B1D1A和平平面面AA1C1C的交交线线上上，，由由公公理理3可知知O1、M、A三点点共共线线．．热点点之之二二两条条直直线线位位置置关关系系的的判判定定异面面直直线线的的判判定定方方法法：：1．定义义法法：：由由定定义义判判断断两两直直线线不不可可能能在在同同一一平平面面内内．．2．反反证证法法：：反反证证法法是是证证异异面面直直线线的的常常用用方方法法．．定义义法法仅仅仅仅用用来来直直观观判判断断，，直直观观判判断断还还可可用用以以下下结结论论：：过平平面面外外一一点点与与平平面面内内一一点点的的直直线线，，和和平平面面内内不不经经过过该该点点的的直直线线是是异异面面直直线线．．[例2](2009·辽宁宁高高考考)如下下图图所所示示，，已已知知两两个个正正方方形形ABCD和DCEF不在在同同一一平平面面内内，，M，N分别别为为AB，DF的中中点点．．(1)若平平面面ABCD⊥平面面DCEF，求求直直线线MN与平平面面DCEF所成成角角的的正正弦弦值值；；(2)用反反证证法法证证明明：：直线线ME与BN是两两条条异异面面直直线线．．[思路路探探究究]对于于第第(1)问可可以以根根据据线线面面角角的的概概念念作作出出线线面面角角，，在在已已知知条条件件“平面面ABCD⊥平面面DCEF”下，这这个线线面角角很容容易作作出来来，然然后解解一个个直角角三角角形即即可；；第(2)问明确确用反反证法法证明明，反反设结结论，，根据据线面面位置置关系系进行行推理理，导导出矛矛盾结结果．．[课堂记记录](1)如下图图所示示，取取CD的中点点G，连接接MG，NG.设正方方形ABCD，DCEF的边长长为2，(2)假设直直线ME与BN共面，，则AB⊂平面MBEN，且平平面MBEN与平面面DCEF交于EN.由已知知，两两正方方形不不共面面，故故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以以AB∥平面DCEF，而EN为平面面MBEN与平面面DCEF的交线线，所所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与与EN∩EF＝E矛盾，，故假假设不不成立立．所以ME与BN不共面面，它它们是是异面面直线线．[思维拓拓展]本题考考查线线面角角的计计算及及用反反证法法证明明两条条直线线异面面，试试题的的核心心部分分就是是用反反证法法证明明两直直线异异面，，既考考查空空间线线面位位置关关系的的应用用又考考查重重要的的数学学方法法——反证法法，是是高考考中立立体几几何解解答题题的一一个创创新，，值得得关注注．即时训训练已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：：b和c是异面面直线线．证明：：证法1：如右右图，，因为为α∩β＝a，b∩a＝A，所以A∈α，又c⊂α，c∥a.所以A∉c，在直直线b上任取取一点点B(不同于于A)，则B∉α.所以b，c是异面面直线线．证法2：假设设b，c共面，，则b∥c或b与c相交．．(1)若b∥c，又因因为a∥c，所以以a∥b.与已知知b∩a＝A矛盾．．故b∥c不成立立．(2)若b与c相交，，设交交点为为O，因b⊂β，c⊂α且α∩β＝a，则交交点O必在直直线a上．所以a与c交于O，与已已知a∥c矛盾．．所以b与c不相交交．由上可可知b和c是异面面直线线．热点之之三异面直直线所所成的的角1．求异面面直线线所成成的角角常用用方法法是平平移法法，平平移的的方法法一般般有三三种类类型：：利用用图中中已有有的平平行线线平移移；利利用特特殊点点(线段的的端点点或中中点)作平行行线平平移；；补形形平移移．2．求异面面直线线所成成角的的步骤骤：①作：：通过过作平平行线线，得得到相相交直直线；；②证：：证明明相交交直线线所成成的角角为异异面直直线所所成的的角；；③求：：通过过解三三角形形，求求出该该角．．[例3]已知正正方体体ABCD－A′B′C′D′，(1)求A′B与B′D′所成的角角；(2)求AC与BD′所成的角角．[思路探究究]求异面直直线所成成的角关关键是根根据题目目所给几几何体的的特征，，利用定定义将其其转化为为一个平平面角来来解决．．[课堂记录录]如下图所所示．(1)连结BD，A′D.∵ABCD－A′B′C′D′是正方体体，∴DD′綊BB′.∴四边形DBB′D′是平行四四边形．．∴DB∥B′D′.∴A′B、DB、A′D是全等的的正方形形的对角角线．∴∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角角形．∴∴∠A′BD＝60°.∵∠A′BD是锐角，，∴∠A′BD是异面直直线A′B与B′D′所成的角角．∴A′B与B′D′所成的角角为60°.(2)取DD′的中点E，连结EO、EA、EC.∵O为BD的中点，∴OE∥BD′.∵∠EDA＝∠EDC＝90°，AD＝DC，∴