【全套解析】高三数学一轮复习 52 等差数列课件 （理） 新人教A

第二节 等差数列1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的前一项的

都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为

(n∈N*，d为常数)．第二项差an＋1－an＝d3．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有

，特别地，当m＋n＝2p时，

.注：此性质常和前n项和Sn结合使用．(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为

；若d<0，则数列为

；若d＝0，则数列为

am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap递增数列递减数列常数列．1．已知等差数列{an}中a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则数列的通项公式an为(

)A．2n

B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋2解析：由已知得：(a7＋a8)－(a1＋a2)＝12d＝24，∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝4，∴a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：C3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于(

)A．138 B．135C．95 D．23解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6.5．已知等差数数列{an}其前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.答案：60[例1]等差数列{an}的前前n项和和记记为为Sn，已已知知a10＝30，a20＝50.(1)求通通项项an；(2)若Sn＝242，求求n.即时时训训练练设{an}是一一个个公公差差为为d(d≠0)的等等差差数数列列，，它它的的前前10项和和S10＝110且a1，a2，a4成等等比比数数列列．．(1)证明明：：a1＝d；(2)求公公差差d的值值和和数数列列{an}的通通项项公公式式．．(1)证明明：：因a1，a2，a4成等等比比数数列列，，故故a22＝a1a4.而{an}是等等差差数数列列，，有有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.于是是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a12＋2a1d＋d2＝a12＋3a1d.化简得a1＝d.热点之二等差数列的判判定与证明证明一个数列列{an}是等差数列的的基本方法有有两种：一是是利用等差数数列的定义法法，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等等差中项法，，即证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在选择方法法时，要根据据题目条件的的特点，如果果能够求出数数列的通项公公式，则利用用定义法，否否则，可以利利用等差中项项法．即时训练已知数列{an}的通项公式为为an＝pn2＋qn(p、q为常数)，(1)当p和q满足什么条件件时，数列{an}是等差数列；；(2)求证：对任意意实数p、q，数列列{an＋1－an}是等差差数列列．解：(1)设数列列{an}是等差差数列列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，应是是一个个与n无关的的常数数，所以有有2p＝0，即p＝0，q∈R.(2)因为an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)，所以，，数列列{an＋1－an}是等差差数列列．热点点之之三三等差差数数列列的的性性质质及及应应用用等差差数数列列的的简简单单性性质质：：已知知数数列列{an}是等等差差数数列列，，Sn是其其前前n项和和．．(1)若m＋n＝p＋q，则则am＋an＝ap＋aq.特别别：：若若m＋n＝2p，则则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是是等等差差数数列列，，公公差差为为kd.(3)数列列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是是等等差差数数列列．．即时时训训练练(1)设等等差差数数列列{an}的前前n项和和为为Sn.若S9＝72，则则a2＋a4＋a9＝________.(2)等差差数数列列{an}的前前n项和和为为Sn，若若S2＝2，S4＝10，则则S6等于于()A．12B．18C．24D．42[例4]在等等差差数数列列{an}中，，已已知知a1＝20，前前n项和和为为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时时，Sn有最大值值，并求求出它的的最大值值．[思路探究究]此题可有有多种解解法，一一般可先先求出通通项公式式，利用用不等式式组确定定正负转转折项，，或者利利用性质质确定正正负转折折项，然然后求其其和的最最值．∴12≤≤n≤13，n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值值，S12＝S13＝130.解法二：：由a1＝20，S10＝S15，解得公公差d＝－，∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵d<0，a1>0，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数数，而a14及以后的的各项均均为负数数．∴当n＝12或13时，Sn有最大值值，S12＝S13＝130.[思维拓展展]求等差数数列前n项和的最最值，常常用的方方法：①①利用等等差数列列的单调调性，求求出其正正负转折折项，或或者利用用性质求求其正负负转折项项，便可可求得和和的最值值；②利利用等差差数列的的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函函数，利利用二次次函数的的性质求求最值．．即时训练练已知{an}为等差数数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则则使得Sn达到最大大值的n是()A．21B．20C．19D．18解析：∵{an}为等差数数列，∴a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，等差数列列知识在在高考中中属必考考内容，，通常直直接考查查等差数数列的通通项公式式，前n项和公式式的题目目为容易易题，常常以选择择题、填填空题形形式出现现，而与与其他知知识(函数、不不等式、、解析几几何等)相结合的的综合题题一般为为解答题题，难易易程度为为中档题题．[分析]本题考查查等差数数列的通通项公式式与前n项和公式式的应用用、裂项项法求数数列的和和，熟练练掌握数数列的基基础知识识是解答答好本类类题目的的关键．．对(1)可直接根根据定义义求解；；(2)采用裂项项求和即即可解决决．1．(2010·福建高考考)设等差数