学案基本不等式及应用

学案基本不等式及应用第一页，共二十六页，2022年，8月28日基本不等式及应用1.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.2.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.3.能够利用基本不等式求函数的最值,能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式.第二页，共二十六页，2022年，8月28日从近几年的高考试题看,均值不等式(a,b∈R+)的应用一直是高考命题的热点,在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.因此2012年的高考复习,要注意复习方向.第三页，共二十六页，2022年，8月28日1.如果a，b∈R,那么

（当且仅当

时取“=”）.2.如果a，b是正数，那么

（当且仅当

时取“=”）.3.通常把

叫做基本不等式.(a＞0,b＞0)a2+b2≥2aba=ba=b第四页，共二十六页，2022年，8月28日若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号).①ab≤1;②≤2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.考点1基本不等式第五页，共二十六页，2022年，8月28日

【分析】由基本不等式和其变形式判断,化不等式为基本不等式的形式.

【解析】①ab≤=1，成立.②欲证,即证a+b+2≤2,即2≤0,显然不成立.③欲证a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即证4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立.④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3a2-ab+b2≥(a+b)2-3ab≥4-≥3abab≤,由①知,ab≤不恒成立.第六页，共二十六页，2022年，8月28日⑤欲证≥2,即证≥2,即ab≤1,由①知成立.故填①③⑤.

【评析】熟练掌握基本不等式及其几种变形式.应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R,而成立的条件是a＞0且b＞0.第七页，共二十六页，2022年，8月28日若a，b是正数，则这四个数的大小顺序是

.(∵a，b是正数，∴而,又a2+b2≥2ab2(a2+b2)≥(a+b)2≥,∴≤，因此.)第八页，共二十六页，2022年，8月28日已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.D.

【分析】在x+2y+2xy中2xy与x+2y有联系:x+2y≥2,故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不等式.考点2利用基本不等式求最值第九页，共二十六页，2022年，8月28日

【解析】∵x+2y+2xy=8,x+2y≥2,∴8≤x+2y+,令x+2y=t,则t+≥8,∴t2+4t-32≥0,∴(t+2)2≥36,又x>0,y>0,∴t>0,∴t≥4,即x+2y≥4.(“=”成立时x=2,y=1)∴x+2y的最小值为4.故应选B.第十页，共二十六页，2022年，8月28日

【评析】

（1）利用均值不等式求最值需注意的问题：①各数(或式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.（2）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.第十一页，共二十六页，2022年，8月28日（3）当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.第十二页，共二十六页，2022年，8月28日若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是

.

【解析】由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得2x+y≥2+6(当且仅当2x=y时,取“=”），即()2-2-6≥0,∴(-3)\5(+)≥0.又∵>0,∴≥3，即xy≥18.∴xy的最小值为18.第十三页，共二十六页，2022年，8月28日围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.考点3基本不等式的实际应用第十四页，共二十六页，2022年，8月28日【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360.由已知xa=360，得a=，∴y=225x+-360（x＞0）.(2)∵x＞0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.第十五页，共二十六页，2022年，8月28日

【评析】在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域;(3)在定义域内只需再利用均值不等式,求出函数的最值;(4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.第十六页，共二十六页，2022年，8月28日某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=___________吨.第十七页，共二十六页，2022年，8月28日

【解析】第十八页，共二十六页，2022年，8月28日第十九页，共二十六页，2022年，8月28日第二十页，共二十六页，2022年，8月28日第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日1.基本不等式

(1)注意不等式成立的条件a>0,b>0.

当a>0,b>0时,,分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意应用这种转化思想.第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日2.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时出现积为定值或和为定值.因此,通常称“一正、二定、三等”.(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用.2.创设应用基本不等式的条件（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值.（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日3.基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：