初中数学竞赛：怎样求最值(附练习题及答案)

2aaca2aaca222C．初中数学赛：怎样求值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1．运用配方法求最值；．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；．建立函数模型求最值；．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数反例函数并无最值当自变量取值范围有条件限制的最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处-得．即：对于y（）(1)若a>0，则当x

b2a

时，y；最小值(2)若a<0，则当x

b2a

时，y．最大值【题解【例1】设a、b为数，那aab的小值是．思路点拨

将原式整理成关于a

的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设

，将等式整理成关于a的次方程

2

b

2

b，用判别式求最小值．【例2】若

yz2

，则x可得的最小值()A．3B．

599142

D．思点设x

y2

则

2

2

2

可用只含k

的代数式表示通过配方求最小值．1221221【例3】设

、12

是方程x

mxm

0的个实根当为值时，x12

2有最小值，并求这个最小值．思点由韦达定理知x1

是关于m

的二次函数否在抛物线的点处取得最小值，就要看自变量

的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例】甲、两个蔬菜基地，分别向A、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提45吨向B提75吨向C提40吨甲地可安排60吨乙基地可安排100吨．甲、乙与ABC的离千米数如表，设运费为元／千·)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总费值．思点设乙基地向A提供x

吨，向B提y吨这样总运费就可用含x

，y代数式表示；因为01000，x，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．AB

C104

58

615【例5】某位花50万买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：修费为(x500]元．42

天应付的养护与维ax222xxax222xx(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天做每天的平均损耗将每天的平均损耗

(元)表示为使用天数

(天的函数；(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报?思点在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数、b及在正实数范围内取值的变量x，一定有

aa2xxb

，即当且仅当时有小值xbx2

．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)；(2)aabaaxa．x，x

，b

则ab；(4)若a

，

，以上各式等号当且仅当

(或

axxb

)时成立．1．当

专训变化时，分式的最小为．2．如图，用1米长木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为、

米．3．已知实数、、满a0，，最大值为．4．已知x

、、z

为三个非负实数，且满足3y，xy2，2y，则s

的最大值与最小值的和为()3A．

B．

58

C．D．5．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点，若S=4，S，四边形ABCD的面积S的小值为)A．2l．25．26．366．正实数x

、y

满足，么

1x

14

的最小值为)A．

B．

58

C．．

54

E．7．启明公司生产某种产品，每产品成本3元，售价是4元年销售量为10万．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万元时产品的年销售量将是原销售量的y倍且售总额减去成本费和广告费：

27，如果把利润看作是销1010(1)试写出年利润S万)与广告费

(万元的数关系式，并计算广费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万?(2)把1)中的最大利润留出3万元广告，其余的资金投资新项目，现有个目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目

AB

C

D

E

F每股(万5

2

6

4

6

8元收益(万0．55

0．40．60．509l元如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万，问有几种符合要求的投资方?写出每种投资方式所选的项目．8．某市位下岗职工在近郊承土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种蔬菜烟叶小麦

每亩地所需职工数134

每亩地预计产值1100元750元600元222222请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物20位职都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m的篱，面利用墙墙的最大可用长度a道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm面积为sm．(1)求s与x的数关系式；

为l0m)，围成中间隔有一(2)如果要围成面积为45m

的花圃，AB的是多少?(3)能围成面积比大的花圃如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10

1

是关于

的一元二次方程的两个实数根(xx11

的最大值为．11．抛物线为

kxx轴交点为、，顶点为，ABC面积最小值12．知实数a

、

满足a，tab，t的最大值为，小值为．13．图B船A船西偏北45处，两船相距10

km，若A船西航行B船时南航行，且B船速度为A船度倍，么AB两船最近距离为．的值应该确定为．14．售某种商品，如果单价上m％，则售出的数量就将减少金额最大，那么m

150

，为了使该商品的销售15．租赁公司拥有汽车辆，每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加元时未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时能租出

辆车(直接填写答案)；(2)设每辆车的月租金为x(x≥元，用含x的数式填空：5p，qp，qx3未租出的车数所有未租出车辆每月的维费

租出的车辆租出的车每辆的月收益(3)当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最?最大月收益是多少?16．、乙两种商品，经营销售两种商品所能获得的利润依次是(万元和(万元，它们与投入资金(万元)的关系有验公式p

13x55

．今有3万元资金投入经营甲、乙种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多?能获得多大的利?链接17．图，