第三章 非稳态导热-108

第3章非稳态导热

是指温度场随时间变化的导热过程。

绝大多数非稳态导热过程都是由边界条件的变化引起。

根据温度场随时间的变化规律不同，非稳态导热分为:周期性非稳态导热

在周期性变化边界条件下发生的导热过程.

如内燃机气缸的气体温度随热力循环发生周期性变化，汽缸壁的导热就是周期性非稳态导热。

非周期性非稳态导热

通常是在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程.

例如热处理工件的加热或冷却等。了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律；换热量的计算方法.

对解决诸如热处理工艺中加热或冷却过程的优化控制等工程实际问题具有重要意义

.主要介绍:一维非周期性非稳态导热的解析解法及求解结果;求解非稳态导热问题的集总参数法。

1.一维非稳态导热问题的解析解第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题，下面重点讨论大平壁。

1)无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介

厚度无限大平壁；材料热导率、热扩散率为常数；无内热源；初始温度与两侧的流体相同，为。突然将两侧流体温度降低为，并保持不变；假设平壁表面与流体间对流换热的表面传热系数h为常数。

考虑到温度场的对称性，选取坐标系如图，x坐标原点位于平壁中心，因此仅需讨论半个平壁的导热问题。很显然，这是一个一维的非稳态导热问题，其导热微分方程式为:

初始条件：边界条件：

（对称性）

以上导热微分方程式及单值性条件组成了该非稳态导热问题的数学模型。

引进过余温度:

于是导热微分方程式和单值性条件变为:

初始条件：

边界条件：

再引进无量纲温度:

无量纲坐标:

可将上式及单值性条件无量纲化为:

即初始条件：边界条件：

通过量纲分析可以发现， 参数组均为无量纲数，称为特征数，习惯上也称为准则数，具有特定的物理意义。

傅里叶数

分子为从非稳态导热过程开始到时刻的时间，分母也具有时间的量纲，可理解为温度变化波及到面积所需要的时间。所以Fo为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。

毕渥数为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。

由前式和单值性条件可知，是

三个参数的函数，可表示为：确定上式所表达的函数关系，是求解该非稳态导热问题的主要任务。

采用分离变量方法可求得解析解，这里只给出求解结果：

解的函数形式为无穷级数，式中 是超越方程

的根，有无穷多个，是毕渥数的函数。无论Bi取任何值，超越方程式的根都是正的递增数列，所以从函数形式可以看出，上式是一个快速收敛的无穷级数。由上式可以看出，无量纲过余温度确实是三个无量纲参数Bi、Fo、的函数，与前面由无量纲导热微分方程式分析得出的结果相一致。

2)关于解析解的讨论

(1)傅里叶数Fo对温度分布的影响计算结果表明，当傅里叶数Fo0.2时，取级数的第一项来近似整个级数产生的误差很小，对工程计算已足够精确。

将上式左、右两边取对数：式中：

为超越方程的第一个根，只与Bi有关，即只取决于：第三类边界条件；平壁的物性；几何尺寸；所以当平壁及其边界条件给定之后，m为一常数，与时间、地点无关。而式右边的第二项只与Bi、 有关，与时间无关。于是上式可改为： 上式说明，当 ，即

时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，如图所示。

正规状况阶段在此之前的非稳态导热阶段称为非正规状况阶段。

在正规状况阶段，各点的温度都按前式的规律变化，这是非稳态导热正规状况阶段的特点之一。

将前式两边对时间求导，可得：

由上式可见，m的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是，称为冷却率（或加热率）。

当Fo0.2，物体的非稳态导热进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率或加热率m都相同，且不随时间而变化，m的数值取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸大小以及表面传热系数，这是非稳态导热正规状况阶段的特点之二。

如果用

表示平壁中心的过余温度，则由原式可得：

由原式与上式之比可得：从上式可见，当Fo0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然都随时间而变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数与几何位置，这是正规状况阶段的另一重要特点。

认识正规状况阶段的温度变化规律对工程计算具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正规状况阶段

。有关文献已证明，当Fo0.2时，其它形状物体的非稳态导热也进入正规状况阶段，表现出上述特点，具有前面几式所表示的温度变化规律，只是m的数值不同而已。

非稳态导热的正规状况

对无限大平板当取级数的首项，板中心温度，误差小于1%

与时间无关3正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可先画(2)再

绘制其线算图(3)于是，平板中任一点的温度为同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以绘制出。无限大平壁与周围流体之间交换的热量

在平壁内x处平行于壁面取一厚度为dx的微元薄层，在时间内，单位面积微元薄层放出的热量等于其热力学能的变化，即:

单位面积平壁所放出的热量为:

令 为单位面积平壁从温度冷却到稳态所放出的热量，于是：

上式也同样被绘制成线算图。

将Ө式代入上式，得:

4分析解应用范围的推广和讨论（1）分析解应用范围的三点推广。

①对物体冷却也可适用。

②对一侧绝热、另一侧为第三类边界条件的平板也可适用。

③当对流换热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流体的温度，因而Bi→∞时就是物体表面温度突然变化后保持不变的第一类边界条件的解。（2）Fo及Bi对温度场的影响

①随着Fo（τ）数的增加，物体中各点的过余温度减少。

②Bi数的影响可以从两个方面说明：

在相同的Fo数条件下，Bi数越大，θm/θ0的值越小。Bi数越大，意味着表面上的换热条件越强，导致物体中心温度越迅速接近周围介质的温度。在极限情况下，Bi→∞，这相当于在过程开始瞬间物体表面就达到了周围介质的温度，物体中心温度的变化当然也最迅速。相当于壁温保持恒定的第一类边界条件。

另一方面，Bi数的大小还决定物体中温度的扯平程度。当Bi＜0.1时，截面上的过余温度差值已小于5％，可忽略内阻，用集总参数法。

由此可见：介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解，在Bi→∞时转化为第一类边界条件下的解，而在Bi→0时与集总参数法的解相同。

对于:温度仅沿半径方向变化的圆柱体（如可近似按无限长圆柱处理的长圆柱或两端绝热的圆柱体）；球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题；

分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，可求得温度分布的分析解，也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi、Fo和的函数：式中R为圆柱或球体的半径，为圆柱或球体的初始过余温度。当时，无限长圆柱和球体的非稳态导热过程也都进入正规状况阶段，分析解可近似取无穷级数的第一项，近似结果也被绘制成了线算图。

3.集总参数法

当 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。对于这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随时间的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸收的热量。

这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。

一个任意形状的物体，如图所示：体积为V，表面面积为A；密度、比热容c及热导率为常数；无内热源，初始温度为；突然将该物体放入温度恒定为的流体之中，物体表面和流体之间对流换热的表面传热系数h为常数；需要确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规律以及放出的热量。

假设该问题满足的条件，根据能量守恒，单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量，即

引进过余温度 ，上式可改写为

（*）初始条件为通过分离变量，(*)式可改写为：

将上式积分可得

:式中:令 具有长度的量纲，称为物体的特征长度

得

注意，式中毕渥数与傅里叶数的下角标V表示以为特征长度：

对于厚度为的无限大平壁，对于半径为R的圆柱，对于半径为R的圆球，

前面介绍的分析解及诺谟图中：厚度为的无限大平壁的特征长度为，与集总参数法分析结果中的相同，但圆柱和圆球的特征长度都为半径R，即与、不同。

分析结果表明，对于形状如平板、柱体或球这样的物体，只要满足：物体内各点过余温度之间的偏差小于5%，就可以使用集总参数法计算。M是与物体形状有关的无量纲数。对于无限大平板，对于无限长圆柱，对于球，

当时，物体的过余温度按指数函数规律下降，随着温差的减小，下降的速度越来越缓慢。式中指数部分中的具有时间的量纲，令称为时间常数，单位是s。当 时:

即物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%。

这说明，时间常数反映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的温度变化越快，越迅速地接近周围流体的温度。

由式 可见，

影响时间常数的主要因素是：物体的热容量；物体表面的对流换热条件。

物体的热容量愈小，表面的对流换热愈强，物体的时间常数愈小。利用热电偶测量流体温度，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化，所以，热电偶端部的接点总是做得很小。

如果几种不同形状的物体用同一种材料制作;和周围流体之间的表面传热系数也都相同;都满足的条件.

单位体积的表面面积越大的物体，时间常数越小.

在初始温度相同的情况下放在温度相同的流体中被冷却（或加热）的速度越快。

用同一种材料制成的体积相同的圆球、长度等于直径的圆柱与正方体，三者的表面面积之比为：

A圆球

:A圆柱

:A正方体

=1:1.146:1.242正方体的表面面积最大，时间常数最小

直径为2R的球体、长度等于直径2R的圆柱体与边长为2R的正方体相比，三者单位体积的表面积相同，时间常数相同，在相同条件下的冷却（或加热）速度也相同。

时间内物体和周围环境之间交换的热量

令，表示物体温度从变化到周围流体温度所放出或吸收的总热量，上式可改写成无量纲形式：

既适用于物体被加热的情况，也适用于物体被冷却的情况。

作业：一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为

kg/m3，比热容为

J/(kg•K)，导热系数为43.2W/(m•K)，钢板的初始温度为20℃，放入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为

W/(m2•K)。试求加热40分钟时距离钢板中心50mm处的温度。导热问题的数值解法基础分析解法的主要优点是求解过程所依据的数学分析比较严谨,物理概念和逻辑推理比较清晰,求解结果以函数的形式表示,能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。但是只有少数几何形状和边界条件都比较简单的导热问题才能精确地分析求解，对于工程上绝大多数稍复杂些的导热问题，分析解法无能为力。数值解法的基本思想是:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。因此，求解域的离散化、节点温度代数方程组的建立与求解是数值解法的主要内容。数值解法求解导热问题的基本步骤如下：(1) 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；(2) 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程（即导热控制方程）和单值性条件；(3) 求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）,每个节点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的温度；(4) 建立节点温度代数方程组；(5) 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；(6) 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结果满意为止。有限差分法有限差分法的基本原理就是用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数），例如，进而将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。

以二维方程为例，中间和边界处差分代数方程的建立节点温度差分方程组的求解方法简单迭代法：设节点温度差分方程的形式为：其中