第三章 空间力系

第三章空间力系空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。

空间力系分类：空间汇交力系空间平行力系空间任意力系3.1.1直接投影法

力F在空间直角坐标轴上的投影：规定：力的投影方向与坐标轴正向一致时取正号；反之，取负号。

3.1.2二次投影法1.

注意：力在轴上的投影是代数量，力在平面上的投影是矢量。2．空间力的矢量表示法

注意：不同，前者为矢量（分力），后者为代数量（投影）。3．已知力的投影，求力的大小和方向

3.1.3合力投影定理设有一空间汇交力系F1，F2，…，Fn，其合力矢将上式向空间坐标轴x，y，z上投影得空间力系的合力投影定理例3.1

在边长a=50mm，b=100mm，c=150mm的六面体上，作用有3个空间力，如图3.4所示。F1=6kN，F2=10kN，F3=20kN。试计算各力在3个坐标轴上的投影。解1)

求F1的投影，力F1与z轴平行

kN

2)求F2的投影，力F2与坐标平面Oyz平行F2x=0=-8.94kN=4.47kN3)求F3的投影，力F3为空间力，应用二次投影法

=-16.04×103N=-16.04kNkN=11.95×103N=11.95kNkN

3.2.1力对轴之矩的概念1.实例§3.2力对轴之矩1、力对点的矩以矢量表示——力矩矢（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：力对点的矩力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为2.力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。3.2.2合力矩定理

空间力系的合力FR对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和。——合力矩定理

例3.2

曲拐轴受力如图3.8a所示，已知F=600N。求：1）力在x,y,z轴上的投影；2）力对x,y,z轴之矩。

解：1）计算投影（应用二次投影法）NNN2）计算力对轴之矩（应用合力矩定理）

3.3.1空间任意力系平衡的条件

空间任意力系平衡的充分与必要条件是：力系中各个在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三轴之矩的代数和都必须分别等于零。3.3.2空间任意力系的平衡方程空间任意力系共有六个独立的平衡方程，最多只能解六个未知量。3.3.3空间特殊力系的平衡方程空间平行力系空间汇交力系§3.3空间力系的平衡方程及其应用3.3.4空间力系平衡问题的解法

补充例题

有一起重铰车的鼓轮轴如图所示。已知G=10kN，b=c=30cm，a=20cm，大齿轮半径R=20cm，在最高处E点受Fn的作用，Fn与齿轮分度圆切线之夹角α=20º，鼓轮半径r=10cm，A、B两端为向心轴承，试求齿轮的作用力Fn以及A、B两轴承所受的反力。解法一：直接应用空间力系平衡方程法

1）取鼓轮轴为研究对象，其上作用有齿轮作用力Fn、重物重力G和轴承A、B处的约束反力FAx、FAz、FBx、FBz。受力图如右图所示。

2）确定力系类型，选取空间坐标轴系Bxyz，列平衡方程求解

，负号表示实际方向与图中方向相反。

应用空间力系平衡方程的解题步骤：

１．选取研究对象，取分离体，画受力图

注意：本步关键是画受力图，要搞清空间约束及约束力

2.确定力系类型，选择空间坐标轴系xyz，建立空间力系平衡方程求解。

解法二：空间平衡问题的平面解法：将空间受力图投影到空间三个坐标平面上，得到三个平面力系，分别列出他们的平衡方程，解出所有未知量。

1）取轮轴为研究对象，画出受力图，并选定空间坐标轴系Bxyz，如右图所示

2）将所有外力分别向三个坐标平面(xz、xy、yz)投影得到三个平面受力图

3）按照平面力系的解题方法，分别建立三个平面力系的平衡方程求解

xz平面（平面任意力系）：

yz平面（平面平行力系）：

xy平面（平面平行力系）：

负号表示图中所设约束反力的指向与实际指向相反。

应用空间平衡问题平面解法的解题步骤：

１）选取轮轴为研究对象，画出受力图；２）将所有外力分别向空间三个坐标平面(xz、xy、yz)投影得到三个平面受力图；３）按照平面力系的解题方法，分别建立三个平面力系的平衡方程求解。在机械工程中对常见的轮轴类零件进行受力分析时，常用这种方法。

例3.3一三角吊架由球铰结构连接而成，如图3.9a所示。悬挂物体重为G=100kN，吊架三根杆与吊索的夹角均为30º，与地面的夹角均为60º，不计杆自重，ΔADC为正三角形。试求三杆受力。解：1）取顶点球铰及重物为研究对象画受力图。2）该受力图为空间汇交力系，选取坐标系Oxyz，将各力向Oxy平面内投影，列平衡方程解得

例3.4三轮推车如图3.10所示，若已知载荷G=1.5kN，。试求地面对推车三轮A，B，C的压力。解1）以推车整体为研究对象，取分离体，画受力图，如图

b所示。

2）该力系为空间平行力系，选空间坐标系Hxyz，列平衡方程求解。

例3.5

厂房立柱受力如图

所示。屋顶传来的受力F1=120kN，吊车梁作用于牛腿的力F2=300kN，水平制动力F=25kN。若e1=0.1m，e2=0.3m，h=6m，立柱重力G=40kN。基础对立柱的约束可视为空间固定端约束，试求此约束的约束力和约束力偶矩。F1F2F解1）取立柱为研究对象，画受力图（注意基础对立柱的约束力和约束力偶矩均设为正向）

2）此力系为空间任意力系，选坐标系Oxyz，列平衡方程解得Fx=25kN，

Fy=0，

Fz=460kN

Mx=78kN·mMy=150kN·mMz=-7.5kN·m负号表示实际方向与图中假设方向相反。

例3.6

一车床主轴如图3.12a所示，齿轮C直径为200mm，卡盘D夹住一直径为100mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件匀速转动，车刀给工件的切削力Fx=466N，Fy=352N，Fz=1400N，齿轮C在啮合处受力为F，作用在齿轮最低点（图b）。不考虑主轴及附件的重量与摩擦，试求力F的大小及A，B处的约束力。解1）取主轴及工件为研究对象，画受力图，如图所示。2）将所有外力分别向空间三个坐标平面(xz、xy、yz)投影

FAZFBZZFZ

3）按照平面力系的解题方法，分别建立三个平面力系的平衡方程求解

Axz平面Ayz平面ZFAZFBZFAZFBZAxy平面解得FBx=436N，FAx=730N

负号表示实际方向与图中假设方向相反。解法二：3.4.1重心的概念1.重心的实例§3.4重心

2．重心：物体重力的作用点即为物体的重心。注意：在地球表面上，无论物体怎样放置，重心的位置是固定不变的。

3.4.2重心坐标公式根据合力矩定理即则式中G=∑Gi同理可得因此，均质物体的重心也是形心若物体是均质等厚平板物体，则有平面图形形心坐标公式

将上式变形为

令分别称为截面A对x和y轴的静矩或截面一次矩

则由以上式子得出以下结论：当平面物体（图形）对某轴的静矩为零时，该轴必通过平面物体（图形）的形心。反之，若某轴通过平面物体（图形）的形心，则平面物体（图形）对该轴的静矩一定为零。

3.4.3重心位置的求法1.对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面，对称轴或对称中心上。

①若物体有两个对称面，则重心必在两面的交线上；

②若物体有两根对称轴，则重心必在两轴的交点上。

2.实验法对于形状不规则的复杂物体，工程实际中常用实验法确定其重心的位置。

①悬挂法适用于平板形物体或具有对称面的薄零件

方法：改变重物的悬挂点，其悬挂线的交点C就是该重物重心的位置。

②称重法对于形状复杂的零件、体积庞大的物体常用此方法确定重心的位置。3．分割法（组合法）

①无限分割法（积分法）：在计算基本规则形体的形心时，可将其分割成无限多块微小的形体，当小形体的重量、尺寸取无限小极限时，可应用重心计算公式。

此积分法是计算物体重心的基本方法。

②有限分割法：工程实际中的零件往往是由几个简单图形（如圆形，矩形，三角形等）组合而成的，在计算形心时，可先将其分割为几块基本图形，每块基本图形的形心位置和面积，可通过查表求得，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。例3.7

热轧不等边角钢的横截面近似简化如图所示，求该截面形心的位置。解法一：

1）取坐标系0xy，则矩形I、Ⅱ的面积和形心坐标分别为：A1=1200×12=1440mm2,x1=6mm,y1=60mmA2=(80-12)×12=816mm2,y2=6mm，x2=46mm

2）求形心坐标：所以，截面形心C点坐标为（20.5mm，40.5mm）解法二：===20.5mm===40.5mm

1）取坐标系0xy，则矩形I、Ⅱ的面积和形心坐标分别为：

mm2，x1=40mm，y1=60mmmm2

2）求形心坐标：

这种将去掉部分面积作为负值代入公式计算形心的方法称为负面积法。

mm,mmmmmm4621280122=-+=mmx66212120122=-+=mmy例3.8

试求图3.19所示图形的形心。已知R=100mm，r2=30mm，r3=17mm。解1）取坐标系0xy，将图形看成由半径为R的半圆、半径为r2的小半圆、挖去半径为r3的小圆三部分组成。

①半径为R的