第三章 多维随机变量

§3.1多维随机变量及其联合分布函数§3.2多维（离散型）随机变量的联合分布列§3.3多维（连续型）随机变量的概率密度函数§3.4边际分布于条件分布§3.5随机变量的独立性§3.6多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量

(Multidimensionalrandomvariable&itsdistributions)一、多维随机变量的概念

定义3.1.1

若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.

同理可定义n维（元）随机变量

(随机向量).§3.1

多维随机变量及其联合分布函数二维随机变量图示:ω.(X(ω),Y(ω))炮弹的弹着点的位二维随机变量(X,Y)

的性质不仅与X

，Y考查某一地区学说明

实例1实例2而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.有关,构成二维随机变量(H,W).童的身高H

和体重W就前儿童的发育情况,机变量.置(X,Y)就是一个二维随则儿推广:n维随机变量的概念二、多维随机变量的联合分布函数

定义3.1.2

F(x,y)=P(X

x,Yy)为(X,Y)的（联合）分布函数.

(以下仅讨论两维随机变量)任对实数x

和y,

称注意：F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.XYxy(x,y)分布函数的三维图像F(x,y)的用处：？图示证明如：

联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(-,-)=0,

F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当a<c,b<d时，有F(c,d)

F(a,d)-F(c,b)+F(a,b)0.注意：上式左边=P(a<Xc,b<Yd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)推广:n维随机变量的分布函数

二维离散随机变量

一、二维离散型随变量的联合分布列定义3.2.1若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.§3.2

多维（离散型）随机变量的联合分布列二维离散型分布的联合分布列称pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………联合分布列的基本性质(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非负性)(规范性)(3)

P{(X,Y)∈D}=说明离散型随机变量(X,Y)

的分布函数归纳为确定联合分布列的方法

(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.

(2)计算取每个数值对的概率.

(3)列出表格.解且由乘法公式得例3.2.1设随机变量X

在1，2，3三个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1到X

中等可能地取一整数值。试求（X,Y）的联合分布列及P（X=Y）.YX12311/30021/61/6031/91/91/9P（X=Y）=P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3）=1/3+1/6+1/9=11/18.例

设随机变量Y~N(0,1),解:

(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826求

的联合分布列.列表为：X101X2010.04550.271900.68261、多项分布二、常用的多维离散型分布

若每次试验有r

种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r记Xi

为n

次独立重复试验中Ai

出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：例3.2.2

一批产品100件,其中一等品，二等品，三等品各有50，30，20件。从中有放回任取3件,以X,Y

分别记取到的第一等和第二等品件数,求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服从三项分布解

YX012300.0080.0360.0540.02710.0600.1800.135020.1500.2250030.1250002、多维超几何分布从中任取n

只，记Xi

为取出的n

只球中，第i

种球的只数.口袋中有N只球，分成r

类。第i

类球有Ni

只，

N1+N2+……+Nr

=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：例3.2.3

一批产品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。从中不放回任取4件,以X,Y

分别记取到的第一等和第二等品件数,求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服从二维超几何分布解YX0120001/35106/356/3523/3512/353/3532/352/350P（X≤2,Y≤1）=21/35.定义3.3.1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得一、二维连续型随机变量的概率密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称f(x,y)

为(联合)概率密度函数。§3.3

多维（连续型）随机变量的概率密度函数多维随机变量及其分布用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数值。下面左图和右图分别为二维正态分布随机变量的概率密度图和累积分布图。联合密度函数的基本性质(1)f(x,y)

0.

(非负性)

(2)(规范性)

注意：表示介于f(x,y)和xoy

平面之间的空间区域的全部体积等于1.

说明例3.3.1

若(X,Y)～试求常数A及F(x,y).解:所以,A=6=A/6例3.3.1(续)若(X,Y)～试求

P(X<1,Y>1);

P(X<Y).xy解:P(X<1,Y>1)11{x<1,y>1}例3.3.1续若(X,Y)～试求

P{(X,Y)D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6xy0解:例

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求概率P{X+Y≤1}.解:

P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2例3.3.2

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为推广：n维联合概率密度函数1、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从D

上的

二维均匀分布，记为(X,Y)

U(D).其中SD为D的面积.二、常用的多维连续型分布

特别地，当D为矩形区域时，即D＝｛（x，y）｜a≤x≤b，c≤y≤d｝则此二维均匀分布的联合密度函数为推广：n维均匀分布例

设D是以原点为圆心、以r为半径的圆，（X，Y）服从D上的二维均匀分布,求概率P(|X|≤r/2).

(X,Y)

服从D上二维均匀分布，解2、二维(元)正态分布若二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)

服从二维(元)正态分布，记为(X,Y)

N(

).正态密度的图形二维标准正态概率密度图像二维正态分布的图形：例3.3.2§3.4

边际分布与条件分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布（称为边际分布(marginaldistribution)）？一、边际分布1.

边际分布函数结论：巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),事实上:解例3.4.1

其它依次类推.推广：多维边际分布函数2.

边际分布列结论：巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则

X的分布列为：

Y的分布列为：

事实上:XY1例如求边际分布列：X01Y010.050.300.65例3.4.5

一批产品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。从中不放回任取4件,以X,Y

分别记取到的第一等和第二等品件数,求(X,Y)

的联合分布列及边际分布列.

(X,Y)

服从二维超几何分布解

YX012pi.0123001/3506/356/35

3/3512/353/352/352/3501/3512/3518/354/35p.j1/74/72/71X0123P1/3512/3518/354/35即：Y012P

1/74/72/73.

边际密度函数结论：巳知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则

X的密度函数为：

Y的密度函数为：

设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为例3.4.4

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求fX(x),fY(y).解:y=x

1y=-x例

设(X,Y)服从区域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均匀分布，求X的边际密度fX(x).解:

由题意得xy-11当|x|≥1时，f(x,y)=0，所以fX(x)=0当|x|<1时,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.二维正态分布的边际分布是一维正态（例3.4.3，P106）：

即若(X,Y)

N(

)，注意点(1)

则X

N(

)，

Y

N(

).二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布,并且不依赖参数ρ.（1）（X,Y）关于X的边际密度函数

（2）（X，Y）关于Y的边际密度函数二维正态分布的边际分布是一维正态（例3.4.3，P106）：解由于于是则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.注意点(2)联合分布边际分布问由

的边缘分布能否确定联合分布？固定

x,截面曲边梯形面积正态密度的图形及边缘密度的几何意义

边缘密度是正态曲线是否是正态曲线？二维正态分布和其边际分布的关系单击图形播放/暂停ESC键退出推广：多维边际概率密度函数1.二维离散型随机变量的

条件分布列：二、条件分布

条件分布函数：例

已知随机变量X，Y的联合分布列为求在Y=1下，X的条件分布列。XY01-110.20.40.20.2

得在Y=1下，X的条件分布列：解即X|Y=1下的条件分布列为：而X的无条件分布列为：01X|Y=1P2/31/301

XP0.60.4解:例

设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布，每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布列.在进入商店的人数X=m的条件下，购买某种商品的人数Y的条件分布为,B(m,p)，即2.二维连续型随机变量的条件分布密度函数例3.4.7解例

设(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ),求条件概率密度函数.三、

连续场合的全概率公式与贝叶斯公式：例

（习题3.28）设X服从区间（0,1）上的均匀分布，在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y

在区间(0,x)上服从均匀分布，求Y的密度函数.解:

由题意得例3.4.8解：主要介绍两个随机变量的独立性.若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)f(x,y)=fX(x)fY(y)

则称X与Y是独立的，一、两个随机变量的独立性§3.5随机变量的独立性1.定义3.5.1两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立

.解例(1)X与Y是独立的其本质是：注意点任对实数a,b,c,d，有(2)

X与Y是独立的直观含义与判定：X与Y取值互不影响，互不关联.(3)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.2.判定定理

(1)若离散随机变量(X,Y)的联合分布列为例

(X,Y)的联合分布列为:X01Y01

0.30.40.20.1问X与Y是否独立？解:

边际分布列分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5因为所以不独立例3.5.3已知(X,Y)的联合密度为

问X与Y是否独立？所以X与Y独立。注意：f(x,y)可分离变量.解:

边际分布密度分别为:例3.5.2

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为解:y=x

1y=-x问X与Y是否独立？例3.5.4在长为a

的线段中点的两边各任取一点X与Y，求两点间的距离小于a/3的概率.注意:(2)在独立的条件下，联合分布与边际分布相互唯一确定。

(1)简言之，随机变量相互独立的充要条件是：联合分布等于边际分布之积；联合分布边际分布(3)二维正态分布

的两个分量X与Y独立充要条件是=0.

证明:因为X,Y的联合分布概率密度为又因为关于X,Y的边缘概率密度函数分别为所以(1)若ρ=0,则对于所有的x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)即X和Y相互独立.(2)如果X和Y相互独立,则对于所有的x,y有f(x,y)=fX(x)fY(y)特别,令x=μ1,y=μ2,则有注意点(1)

(1)

(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.

(2)

(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立.

见前面例子

(3)联合密度f(x,y)的表达式中，若x

的取值与y

的取值有关系，则X与Y不独立.注意点(2)

(4)若联合密度f(x,y)可分离变量，即

f(x,y)=g(x)h(y)

则X与Y独立。

(5)若(X,Y)服从二元正态N(

)

则X与Y独立的充要条件是=0.推广：n维随机变量的独立性二、多个随机变量的独立性例3.5.5设X~B（n,p),将其分解为独立变量之和：由二项分布的背景，X是n重贝努利试验中事件A发生的次数，每次试验中P（A）=p.

相互独立性进一步推广：三、随机变量函数的独立性（P126)定理

定理3.6.1

§3.6

多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？一般地，设(X1,X2,……,Xn)是n维随机变量，如何求Z=g(X1,……,Xn)的分布？(1)

设(X1,X2,……,Xn)是n维离散随机变量，则Z=g(X1,……,Xn)是一维离散随机变量.一、二（多）维离散随机变量函数的分布（律）(2)多维离散随机变量函数的分布是容易求的：

i)对(X1,X2,……,Xn)的各种可能取值对，写出Z

相应的取值.

ii)对Z的

相同的取值，合并其对应的概率.结论例3.6.1

已知随机变量X，Y的联合分布列为求如下随机变量的分布列.解：随机向量(X,Y)总共有六对取值，我们将它们情况与概率列于下表中,并根据此表求出Z的取值如下：化简整理，得各函数的分布列为：例

设X与Y独立，且X,Y等可能地取值0

和1.求Z=max(X,Y)的分布列.解:X01P1/21/2Y01P1/21/2Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=3/4离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则

Z=X+

Y的分布列为分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.泊松分布的可加性（例3.6.2）若XP(1)，Y

P(2)，注意：

X

Y不服从泊松分布.且独立，则Z=X+

YP(1+2).解：依题意

由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服从参数为的泊松分布.k=0,1，…二项分布的可加性(例3.6.3)若XB(n,p)，Y

B(m,p)，注意：若Xi

B(1,p)，且独立，则

Z=X1+

X2+……+Xn

B(n,p).且独立，则Z=X+

YB(n+m,p).

我们给出不需要计算的另一种证法:回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:同样，Y是在m次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n,p),则X

是在n次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n+m次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n+m，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n+m,p).

解依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n+m,因此对于k(k=0,1,2,...,n+m)，由独立性有由得所以Z=X+Y服从二项分布B(n+m,p)k=0,1,2,...,n+m设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y).(1)求Z的分布函数(2)对FZ(z)求导即得Z的概率密度函数fZ(z).随机变量函数的概率密度函数一般求法--分布函数法:二、二维连续型随机变量函数的分布

例

（习题3-44）设随机变量X

与Y

相互独立，且均服从

N（0，1），试求的密度函数

解由于X和Y相互独立，且服从N（0，1）则（X，Y）的联合密度函数为：所以1.Z=X+Y和的分布公式（卷积公式）：

设连续随机变量(X,Y)密度函数为f(x,y)，则

Z=X+

Y的密度函数为

和的分布（卷积公式）推导:由此可得Z=X+Y概率密度函数为(卷积公式）：由于X与Y

对称,独立情形卷积公式：

设连续随机变量X与Y独立，则

Z=X+

Y的密度函数为卷积公式的应用例3.6.4

X与Y是独立的正态变量,

求Z=X+

Y的分布.解：正态分布的可加性若XN(

)，Y

N(

)，注意：

X

Y不服从N().且独立，则Z=X+YN().

X

YN().独立正态变量的线性组合仍为正态变量.(见下)独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

间相互独立,实数a1,a2,...,an

不全为零,则伽玛分布的可加性(例3.6.5)若XGa(1,)，Y

Ga(2,)，注意：

X

Y不服从Ga(12,).且独立，则Z=X+YGa(1+2,).证明2分布的可加性若X2(n1

)，Y

2(n2

)，注意：

(1)X

Y不服从2分布.且独立，则Z=X+Y2(n1+n2).

(2)若Xi

N(0,1)，且独立，则

Z=2(n).注意点

(1)独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布.

(2)独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.例

设X与Y独立，X～U(0,1),Y～Exp(1).

试求

Z=X+Y的密度函数.解:被积函数的非零区域为：0<x<1且

zx>0用卷积公式：(见下图)xz1z=x因此有(1)z<0时fZ(z)=0;(2)0<z<1时,fZ(z)=(3)1<z时,fZ(z)=1***.Z=X-Y差的分布公式：

设连续随机变量(X,Y)密度函数为f(x,y)，则

Z=X-Y的密度函数为2.Z=XY积的分布公式：

设连续随机变量(X,Y)密度函数为f(x,y)，则

Z=XY的密度函数为3.Z=X/Y商的分布公式：

设连续随机变量(X,Y)密度函数为f(x,y)，则

Z=X/Y的密度函数为三、极值的分布Y=max{X1,X2,…,Xn};Z=min{X1,X2,…,Xn}.一般情况结论(例3.6.7-3.6.10)例解

例

设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接布成，联接方式分别为（1）串联（2）并联（3）备用（当系统L１损坏时，系统L２开始工作），如图所示。设L１和L２的寿命X,

Y分别服从指数分布