八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

OO八有模—搞空几体外球内球类一墙模（条两垂，找心位即求球半,棱与方的接相）

P

c

a

A

B

C

A

B

b

C

A

B

C

2

3

图方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式

(2)

，即

2

a

2

2

2

，求出

R例1（1）已知各顶点都在同一面上的正四棱柱的高为

4

，体积为

，则这个球的表面积是（）A．

16

B．

C．

D．

（）三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为

3

，则其外接球的表面积是（）正三棱锥中、分别是棱、的点，且AMMN,若侧棱SA3正三棱锥ABC外球的表面积是。解：引理：正棱的棱垂直证明如下：

,则如图（3）-1，

ABBC

的中点

D,E

，连接

,CD

，

AECD

交于

H

，连接SHH是面正三角形的心SH平面SH

，

BC

，ADBD

CD

平面

AB

，同理：

BCSA

，

AC

，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3），

AMMN

，

SBMN

，

A

CAMSB

，SB

，SB

平面

SAC

，

D

H

ESB，SBSC，SA，，

B题-SA平面，

，故三棱锥ABC的三条侧棱两两互垂直，)3)2(2236

，即

R2

，

外接球的表面积是

36SM

(3)-1（）四面体

中，

面ABC

，

BACSA

则该四面体的外接球的表面积为（）A

1040D.3

（）果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是（）知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类二垂模（条线直一平）1．题设：如图5，PA面ABC解题步骤：第一步：将画小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，PD必球心

P第二步：

O1

为

的外心，所以

1

平面

ABC

，算出小圆

O1

的半

C径

Dr1

（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

A

B

DacrOOPAsinsinsinC2

；

图第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①

22r2

2R

2

r)

；②

r

OO2OO2题如图67，P

的射影是

的外心

三锥

的三条侧棱相等

三棱锥ABC的面在锥的底上，顶点点是圆锥的顶点

P

PO

C

C

C

CA

B

D

A

B

A

B

A

B

图6

图-1

图7-2

图P

P

B

A

O

C

A

B

D图8-1

O8

O图8解题步骤：第一步：确定球心的置，取的外心，则P,O1

三点共线；第二步：先算出小圆

O1

的半径

AO1

，再算出棱锥的高

PO1

（也是圆锥的高第三步：勾股定理：

O

2h2r2

，解出

.方二小直径参与构造大圆。例2一几何体的三视图如右所示，则该几何体外接球的表面积为A．

B．

C．

3

D．以上都不对类三切模（个面相直P

O

OA

C

O

1

A

C

O

1

B

B

图-1

图9-2

图-3

图9-41．题设：如图9-1，平面PAC面，即AC为圆的直径）第一步：易知球心必PAC的心，即的接圆是大圆，先求出小圆的直径

r

；第二步：在

中，可根据正弦定理

ac2RsinsinBsinC

，求出

。32．如图，面

平面

，且

BC

（即

为小圆的直径）2OCOR2O22111

3．如图，面面，（即AC为小圆的直径射影是的心

三锥

ABC

的三条侧棱相等

三

的底面

在圆锥的底上，顶点

P

点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的置，取的心，PO,1

三点共线；第二步：先算出小圆

O1

的半径

AO1

，再算出棱锥的高

PO1

（也是圆锥的高第三步：勾股定理：

OAOAR)2r2

，解出

4．如图，面

平面

，且

BC

（即

为小圆的直径

AC

，则r2OO利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2rOO②

r22R

2(2r)

；例3（棱锥的顶点都在同一球面上棱锥的高为边为球表面积为。（）四棱锥ABCD的面边长和各侧棱长都为2，顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（在棱锥

P

中，

PAPBPC3

,侧棱

PA

与底面

ABC

所成的角为

则三棱锥外接球的体积为（）A．

B.

4C.4D.33（）知三棱锥

ABC

的所有顶点都在球

O

的求面上

ABC

是边长为

的正三角形

为球

O

的直径且SC;则此棱锥的体积为（）A．

2322B．C．．66241111类四汉模（棱的接、柱外球

1

O

2

1

1

A

O

C

B

A

B

C

O

O

C

CO1

A

O

B

A

B

图10-1

图

图题设：如图，10-2，图直三柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心

O

的位置，

1

是

ABC

的外心，则

1

平面

；第二步：算出小圆的径r，OO1

1（2

也是圆柱的高第三步：勾股定理：

OA

O

R

2

h)2

2

2

R

r

2

)

2

，解出

例4（）个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为

98

，底面周长为3，这个球的体积为（）直棱柱

B111

的各顶点都在同一球面上，若

ABACAA1

,

BAC120

，则此球的表面积等于。（）知

EAB

所在的平面与矩形

所在的平面互相垂直，

EAAD2,60

，则多面体

ABCD

的外接球的表面积为。（在直三棱柱

中，4,AC6,A11

3

,1

则直三棱柱

11

的外接球的表面积为。5cc类五折模题：个等角或腰角拼一，菱折叠如图11)A'OH

D

E

H

图1第一步：先画出如图所示的图形，将

BCD

画在小圆上，找出

BCD和

的外心

H

1

和

H

2

；第二步：过和H分作平面BCD和面A的线，两垂线的交点即为球心O，接,OC；1第三步：解，算出OH，RtOCH1

1

中，勾股定理：

OH

2CH2OC211例5三棱

中平

平面

eq\o\ac(△,，)

和

均为边长为

2

的正三角形则棱锥

外接球的半径为.类六对相模（形长体题三棱（即四体中已三对分相求接半（AD，AC）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步设长方体的长宽高分别为

a,

，

x

，

ABCD

，

，方程组，222y2222补充：A

2216

2

22

2

，

ABa

xx

D

yb

cC第三步：根据墙角模型，

22

x

y

，

图2R2

28

，

xy

，求出

，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例（）长为

2

的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四体的截)的面积是.(1)题6B．C．D．B．C．D．（）个正三棱锥的四个顶点都在半径1三棱锥的体积是（）

的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正A．

334（）三棱锥

中，若

ABCDACBD

则三棱锥

外接球的表面积为。（）三棱锥中，CDACAD为.

则该三棱锥外接球的表面积（）四面体的各条棱长都为

，则该正面体外接球的体积为类七两角角拼在起(边同也看作形对线起得棱)型题设：

ACB90

13，求三棱锥外球半径（分析：取公共的斜边的中点连接OP,OC

，则

OAOC

，

O

为三棱锥

PABC

外接球球心，然后在

OCP

中求出半径）例7（）在矩形中AB，BC，沿将形ABCD折一个直二面角则四面体的接球的体积为（）

B

，A．

125125125125．C．D．129

（在形中AB，沿将矩形ABCD折叠连所得三棱锥的外接球的表面积为．

ABCD7ABCPABPACPBCPABPACABCPABPACPBCPABPAC类八锥的切问1．题设：如图，棱锥PABC上三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，

,H

分别是两个三角形的外心；第二步：求

DH

13

，

PO

，

PD

是侧面

ABP

的高；

E

O

第三步：由POE似于，立等式：

OEDH

，解出r

D

H2．题设：如图，棱锥PABC上四棱锥，求其外接球的半径

图14第一步：先现出内切球的截面图，

P,O,

三点共线；1BC，PO，PF是面的高；FH第二步：求2OGPO第三步：由POG相似于，立等式：，出HF3．题设：三棱锥是意三棱锥，求其的内切球半径

B

E

A

H图1

C

F

方法等体积法即内切球球心四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，立式：

VPABC

O

PAB

PAC

OPBC

PABC

1SS()33333第三步：解出

r

PABCPAC

PBC习：1三锥ABC的条侧棱两两垂直SA

该棱锥的外接球半径）A.

B.

C.

D.

2．三锥ABC中侧面，面ABC是边长为的正三角形，棱锥的外接球体积等于.

SA3

，