中考一轮复习数学几何专题：三角形压轴训练（二）

中考一轮复习数学几何专题：三角形压轴训练（二）1．已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，段AE和CD的数量关系是；∠AMC＝°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以每秒cm的速度沿AB匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3cm的速度沿B→C→A匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，直接写出P，Q两点间的距离．（2）是否存在t，使得△BPQ的面积是△ABC面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当△BPQ为直角三角形时，求t的取值范围．3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，连接AP，∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，直接写出线段AP与CD的数量关系为AP＝；（2）如图，当∠ABP＞90°时．①试探究（1）中的结论是否成立；②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出的值．4．如图，等边三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，动点P从点A出发，以2.5cm/s的沿着折线A﹣B﹣C﹣A运动，到点A停止运动，动点Q以1cm/s的速度从点B出发沿折线B﹣C﹣A运动，到点A停止运动，P、Q同时开始运动，用t（s）表示移动时间．（1）请用含t的代数式表示下列线段的长度：当点Q在BC上运动时，QC＝；当点P在AC上运动时，PC＝．（2）点P能否追上点Q？如果能，求出t值；如果不能，请说明理由．（3）点P，Q在三角形同一条边上时，能否使得PQ＝PC，如果能，求出t值；如果不能，请说明理由．5．如图1，△ABC是等边三角形，D，E为AC上两点，且AD＝CE，延长BC至点F，使CF＝CD，连结BD，EF．（1）如图2，当D，E两点重合时，求证：BD＝DF；（2）如图3，延长FE交线段BD于点G．①求证：BD＝EF；②求∠DGE的度数．6．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6．D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．【问题发现】（1）若点D是BC边的中点时，＝，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）；【解决问题】（2）若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．【拓展探究】（3）在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．7．如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AE、CD．（1）求证：AE＝CD；（2）连接AD，分别取边AD、CD、AE的中点F、G、H，连接FG、FH，设∠ABE＝α．①当60°＜α＜180°时（如图1），求证：∠CBE+∠GFH＝120°；②当0°＜α＜60°时（如图2），①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P△ABC的准心（填“是”或“不是”）；（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．10．在平面直角坐标系中，点A（m，2），点B（3，n），C，D是y轴上两点．（1）如图1，△AOC和△ABD是等边三角形，连接BC并延长交x轴于E，求CE的长；（2）如图2，直线AC交x轴于E，∠DCA的平分线交直线OA于F，FD⊥y轴于D，交直线AC于G，若m＝2，请你写出线段OD，EG与DG之间的数量关系，并证明；（3）如图3，若m＝1，n＝4，在坐标轴上是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE＝，求CD的长．（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．12．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，D为Rt△ABC斜边上一动点（不与点B及AB的中点重合），以CD为直角边在CD右侧作一个等腰Rt△CDE，连接BE．（1）如图1，当点D与点A重合时，则可得BC+BE＝DB，∠CBE＝°．（2）如图2，当点D不与点A重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请给出正确的结论并说明理由．（3）当BC＝2BE时，直接写出AD的长．13．如图，OC为∠AOB的角平分线，∠AOB＝α（0°＜α＜180°），点D为射线OA上一点，点M，N为射线OB上两个动点且满足MN＝OD，线段ON的垂直平分线交OC于点P，交OB于点Q，连接DP，MP．（1）如图1，若α＝90°时，线段DP与线段MP的数量关系为．（2）如图2，若α为任意角度时，（1）中的结论是否变化，请说明理由；（3）如图3，若α＝60°时，连接DM，请直接写出的最小值．14．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．（1）如图1，若，求S△AED；（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；（3）如图3，在（1）的条件下，M为AB边的中点，G为AC边上一个动点，连接MG，将△AMG沿MG翻折，得到△A'MG，连接A'D，以A'D为斜边向右作等腰直角三角A'DN，连接CN，求CN的最小值．15．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，