弧度制设计 教学设计

弧度制教学目标1.理解弧度制的意义；2.掌握角度制和弧度制的换算教学重难点1.理解弧度制的意义，就是通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制。2.掌握角度制和弧度制的换算，就是通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，会为解决实际问题带来方便，会进行角度制和弧度制的换算。教学过程1.导入新课思考题：测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？设计意图：通过类比导入课题：弧度制.师生活动：师问生答.2.新知探究问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?设计意图：通过提问，让学生知道角的度量有不同的单位制。教师活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础。讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键。教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad.如图1中，的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.图1讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°。它是一个定值，与所取圆的半径大小无关。②能，用弧度制。问题③:作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？问题④:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制？那么它们之间如何换算？活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:③完全重合,因为都是1弧度的角.④α=;将角度化为弧度:360°=2πrad,1°=rad≈45rad,将弧度化为角度:2πrad=360°,1rad=()°≈°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=()°,n°=n(rad).问题⑤:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?问题⑥:填写下列的表格,找出某种规律.的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数r逆时针方向2πr逆时针方向R12r-2-π0180°360°活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.讨论结果:⑤与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=lR.图2⑥的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数πr逆时针方向Π180°2πr逆时针方向2π360°R逆时针方向1°2r顺时针方向-2°πr顺时针方向-π-180°0未旋转00°πr逆时针方向Π180°2πr逆时针方向2π360°3.应用示例课本P7例1例2将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式，并指出它们所在的象限:①-;②;③-20;④-.活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分别为:{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z}，{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z}，{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.解:①=-4π+,是第一象限角.②=10π+,是第二象限角.③-20=-3×是第四象限角.④-23≈,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=,化为k×+α,k∈Z,｜α｜∈［0,的形式,通过α与,π,比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1480°写成2kπ+α(k∈Z，α∈［0,2π))的形式；(2)若β∈［-4π,0)，且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1480°=-=-10π+，0≤<2π,∴-1480°=2(-5)π+.(2)∵β与α终边相同，∴β=2kπ+,k∈Z.又∵β∈［-4π,0)，∴β1=,β2=.4.课堂小结由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法。教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的,辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°=πrad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.5.目标检测1、下列诸命题中,真命题是()A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:根据弧度制的定义:我们把