整式乘法与因式分解复习（学案） 初中数学二轮复习

整式乘法与因式分解复习一、知识重点（一）整式乘法1.am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn(m，n都是正整数)，am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)，a0=1（a≠0）.2.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.3.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）.4.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即=ma+mb+na+nb.5.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.6.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即=a+b+c.（二）乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.（三）因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，其中每个整式都叫作这个多项式的因式.理解：（1）对象：因式分解只针对多项式，而3a2b=3a·ab这一变形不是因式分解，因为3a2b不是多项式.（2）结果：因式分解的结果只能是整式的积的形式，如3a2b+6ab2=3ab（a+b）属于因式分解，而x2-3x+2=x(x-3)+2这一变形不属于因式分解，结果不是积的形式；x2-=（x+）（x-）也不属于因式分解，因为x2-不是整式.2.因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.3.提公因式法分解因式（1）公因式：多项式中各项都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式.如3x2-6x中每项都含有因式3x，所以3x就是这个多项式的公因式；（a+b）2-3（a+b）的公因式为（a+b）.（2）公因式确定方法：①对于数字系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；若是分数或小数，一般先将系数化为整数.②对于字母，需考虑两条：一是取各项相同的字母；二是各项相同字母的指数取其次数最低的.（3）提公因式法分解因式：①定义：一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.提公因式的实质是分配律的逆用.②步骤：第一步确定公因式；第二步提公因式并确定另一个因式.需注意的是，根取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致.(4)注意：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.4.公式法分解因式（1）利用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用，常用的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式.（2）用平方差公式分解因式时，多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，分解的结果为两个数的和与这两个数的差的积.（3）用完全平方公式分解因式时，多项式是三项式，有两项可以写成两个数的平方，且这两项符号相同，第三项可以写成这两个数乘积的2倍（或-2倍）.二、知识难点1.牢记同底数幂的运算性质及合并同类项法则，同时要掌握幂的运算性质的逆用，如am+n=am·an，amn=，anbn=，am-n=am÷an等.2.掌握乘法公式的实质并能灵活运用.对某些不符合公式的结构特征，但可通过巧妙变形，便能直接或逆用、变用、连用公式.2.灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解.分解因式要先考虑能否用提公因式法，然后再考虑公式法.若式中有二项，则考虑用平方差公式；若式中有三项，则考虑用完全平方公式.三、易错知识点1.忽略底数的符号，易出现–x2=(–x)2和=am-n计算错误.2.混淆同底数幂相乘与幂的乘方，易出现am·an=amn，=am+n计算错误.3.在多项式相乘时，易出现漏乘某项及丢掉符号.4.使用完全平方公式时，易漏掉中间乘积项或漏掉乘积项的因数“2”.5.分解因式不彻底或错用公式或在分解过程中走“回头路”.方法技巧活用乘法公式巧解题整式乘法在中考中常以创新题形式考查同学们的应变能力.解题时若能活用整式乘法公式，既可简化计算，又能增加解题的趣味性，提高解题能力.现例举两例.一、找规律例1观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，……（1）根据前面各式的规律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x2+x+1）=（其中n为整数）；（2）利用上述规律求1+2+22+23+…+250的值分析：（1）解决此类问题的关键是仔细观察所给示例的特点,类比得出结果。（2）把所给式子倒过来即可.解：（1）xn+1-1；（2）在上式中，当x=2，n=50时，(2-1)(250+249++…+22+2+1)=251-1，故1+2+22+23+…+250=251-1.二、求边长例2若一个三角形的三边满足(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1，试确定这个三角形的三边长.分析：欲求三角形的三边长，需将已知条件(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1变形为几个非负数的和等于0的形式，再根据非负数的性质即可求得a、b、c的值.解：∵(a-1)2+(b-1)2+c2=2c-1，∴(a-1)2+(b-1)2+c2-2c+1=0，即(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0,∴a-1＝0，b-1＝0，c-1＝0.∴a＝1，b＝1，c＝1.三、求最值例3若A=x2+y2+2x-4y+7，求A的最小值.分析：遇到一个式子有两个或两个以上的未知数时，一般采用的方法是配成完全平方式的形式，再利用非负数的性质——非负数的最小值为0，从而确定式子的最小值解：A=x2+y2+2x-4y+7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=(x+1)2+(y-2)2+2.∵(x+1)2≥0，(y-2)2≥0，∴A最小值=2.○学以致用校园绿化面积问题题目：如图所示，实验中学有一块长为（3a+b）米，宽为（3a-b）米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿地面积.a+ba+ba+b3a-b3a+b解析：现根据图形列出算式，化简后，将a、b的值代入求值即可.由图形，得阴影部分的面积为（3a+b）（3a-b）-(a+b)2=9a2-b2-a2-2ab-b2=8a2-2ab-2b2.当a=3，b=2时，原式=8×32-2×3×2-2×22=72-12-8=52.答：绿化的面积是8a2-2ab-2b2，当a=3，b=2时绿地面积为52平方米.○中考锦囊中考里的“整式乘法与因式分解”1.（2019·安徽）计算a3·（-a）的结果是（）.A.a2B.-a2C.a4D.-a42.（2019·青岛）计算(-2m)2·（-m·m2+3m3）的结果是（）.A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m53.（2019·山西）下列运算正确的是（）.A.2a+3a=5a2B.(a+2b)2=a2+4b2C.a2·a3=a6D.(-ab2)3=-a3b64.（2019·贺州）把多项式4a2-1分解因式，结果正确的是（）.A.(4a+1)(4a-1)B.(2a+1)(2a-1)C.(2a-1)2D.(2a+1)25.（2019·徐州）若a=b+2,则代数式a2-2ab+b2的值为.6.（2019·潍坊）若2x=3，2y=5，则2x+y=.7.（2019·枣庄）若m-=3，则m2-=.8.（2019·桂林）若x2+ax+4=(x+2)2，则a=.9.（2019·赤峰）分解因式：x3-2x2y+xy2=.10.（2019·南京）计算：(x+y)(x2-xy+y2).11.（2019·凉山州）先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=.12.（2020·阜城模拟）课堂上，学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例.参考答案：1.D2.A3.D4.B5.46.157.118.49.x(x-y)210.x3-y311.原式=2a+2；112.能；理由如下：解法一