平面【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习（Word含答案解析）

平面练习一、单选题下列说法错误的是(    )A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点

B.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

C.经过两条相交直线，有且只有一个平面

D.经过两条平行直线，有且只有一个平面如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是梯形，AB//CD，若平面PAD∩平面PBC=l，则(    )A.l//CD

B.l//BC

C.l与直线AB相交

D.l与直线DA相交如图，已知平面α∩平面β=l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l=R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是(    )A.直线MP

B.直线NP

C.直线PR

D.直线MR如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1A.A,C,O1,D1

B.D,E,G,F

下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有A.0个 B.1个 C.2个 D.3个如图，α∩β=l，A∈β，B∈β，AB∩l=D，C∈α，则平面ABC与平面α的交线是(

)A.直线AC

B.直线BC

C.直线AB

D.直线CD已知平面α∩平面β=l，点A∈α，B∈α，C∈β，C∉l，且AB∩l=R，若A，B，C确定的平面记为γ，则β∩γ= (    )A.AC B.BC C.CR D.以上都不对在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则(    )A.P一定在直线BD上

B.P一定在直线AC上

C.P在直线AC或BD上

D.P既不在直线AC上，又不在直线BD上已知正方体ABCD−A1B1C1D1，棱长为4，BB1的中点为A.18 B.610 C.122 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB=BC=2.过AB，BB1的中点E，FA.22+6 B.2+26 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1DA.2 B.1 C.3 D.3在四面体A−BCD中，AB=CD=AC=BD=3，AD=BC=2，若平面α同时与直线AB、直线CD平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为(

)A.22 B.324 C.2二、单空题如图所示，ABCD−A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：

①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面的面积为S，则当在长方体ABCD−A1B1C1D1的所有棱中，既与已知α∩β=m，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．

三、解答题如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K．

(1)求证：直线MN⊂平面PQR；(2)求证：点K在直线MN上．

已知三个不重合的平面α，β，γ，三条不同的直线a，b，c，若α∩β=c，β∩γ=a，γ∩α=b，且a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．

答案和解析1.【答案】A

【解答】

解：平面α与平面β相交，相交于一条直线，因此它们有无限个公共点，A中说法错误；由推论1知B中说法正确；由推论2知C中说法正确；由推论3知D中说法正确．

2.【答案】D

【解答】

解：因为底面ABCD是梯形，AB//CD，

所以AD，BC为两条相交直线，

设AD与BC的交点为O，

则O∈AD，O在平面PAD内，

O∈BC，O在平面PBC内，

因为平面PAD∩平面PBC=l，

∴O∈l，

∴l与AD、BC两直线相交．

3.【答案】C

【解答】

解：

由题易知R∈γ，且R∈β，

又B∈γ，且P∈β

∴R，P都在平面γ与平面β的交线上

所以β∩γ=PR

故选C．

4.【答案】B

【解答】

解：对于A：A,C,O1,D1四点共面，因为显然它们在平面ACD1上；

对于B：D,E,G,F四点不共面，因为不能由这四个点得到平行或相交的两条直线；

对于C：A,E,F,D1四点共面，因为直线EF和直线AD1平行，平行的两条直线共面，这四个点当然共面；

对于D：G,E,O1,O2四点共面，因为这四个点显然都在由AD,BC,A1D1,B1C1的中点所在的平面上，

5.【答案】A

【解答】

解：①空间三点共线时不能确定一个平面；

②点在直线上时不能确定一个平面；

③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；

④三条直线交于一点且不共面时，可以确定三个平面；

所以能确定只有一个平面的条件有0个，

6.【答案】D

【解答】

解：由题意知，D∈l，l⊂α，∴D∈α．

又D∈AB，∴D∈平面ABC，

即D在平面ABC与平面α的交线上．

又C∈【解析】解：由题易知R∈γ，且R∈β，

又C∈γ，且C∈β

∴R，C都在平面γ与平面β的交线上

所以β∩γ=CR

8.【答案】B

【解答】

解：由题意，EF属于面ABC，GH属于面ADC，

则点P既属于面ABC，又属于面ADC，

则点P必在面ABC与面ADC的交线上，

即点P必在AC上．

9.【答案】A

【解答】

解：由题意，设AB

的中点为N

，连接MN,ND,DC1,MC1

，如图所示：

因为M是棱BB1的中点，N为AB

的中点，

所以MN//AB1,MN=12AB1，

又AB1//DC1，AB1=DC1，

所以MN//DC1

，MN=12DC1，

所以四边形MNDC1是梯形，

则梯形MNBC1就是过D、M、C1点的正方体的截面，

则MN=12DC1=22，MC1=DN=25，

从而梯形MNBC1的高为DN2−12DC1−MN2=20−22=32,

所以梯形MNBC1的面积为12×(42+22)×32=18，

所以这个截面的面积为18

．

10.【答案】C

【解答】

解：如图：

因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，AB⊥BC，AB=BC=2，

所以取AC的中点G，连接BG，取AG的中点H，连接EH，而E是AB的中点，

则BG⊥平面AA1C1C，EH⊥平面AA1C1C，

且AH=EH=12BG=22，EH//BG．

连接AC1、CA1交于O，连接GO，延长交A1C1于G1，则G1是A1C1的中点．

因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以BGG1B1是矩形且O是GG1的中点，

因此连接FO，由F是BB1的中点知：FO⊥平面AA1C1C.

因为EH⊥平面AA1C1C，FO⊥平面AA1C1C，所以EH//FO，

因此EH与FO确定一个平面EFOH，而FO⊂平面EFOH，

所以平面EFOH是与平面AA1C1C垂直的平面α．

延长HO，交A1C1于H1，则HH1是平面α与三棱柱ABC−A1B1C1侧面AA1C1C的交线．

在矩形AA1C1C中，因为O是AC1的中点，所以C1H1=AH=22．

又因为在矩形AA1C1C中，AA1=2，AC=22，所以HH1=6．

又因为ABC−A1B1以下求sin∠NMP的值，N，P分别为BC，AD中点时，ND=2，AN=2，AD=2，求得NP=1，所以，所以，所以．

故选A．法二：由于四面体的对边相等，故四面体A−BCD可看作长方体的面对角线组成的三棱锥，

设长方体的棱长分别为a，b，c，则a2+b2=3a2+c2=3b2+c2=4，解得a=1，b=2，c=2，

因为AB //平面α，CD //平面α，所以平面α与长方体的底面平行，

设平面α与长方体底面的距离为ℎ0<ℎ<2，平面α与四面体A−BCD的截面为PQMN，显然四边形PQMN是平行四边形，设四边形PQMN在长方体底面的投影为P′Q′M′N′，则ℎ

13.【答案】①③

【解答】

解：连接A1C1、AC，则A1C1

//

AC，

∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，

∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

同理O、A在平面【解析】解：当CQ=1时，C1与Q重合，

取A1D1中点E，则菱形APC1E就是过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面，

AC1=3，PE=2，

∴过点A，【解答】解：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1故答案为

5．

16.【答案】A∈m

17.【答案】证明：如图，连接PQ．

由B1P=2PA1得PQ

//

B1C1又BC

//

B1C1，BC=B1C1∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ．又BP⊂平面AA1B1B∴R∈平面AA1B1B∴R在平面AA1B即R∈AA∴直线AA1，BP，18.【答案】证明：(1)∵PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ，

∴M∈平面PQR．∵RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ，

∴N∈平面PQR．∴直线MN⊂平面PQR．(2)∵M∈直线CB，CB⊂平面BCD，

∴M∈平面BCD．由(1