对数的运算同步练习（含答案）

对数的运算1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对任意M，N都有loga(M·N)＝logaM＋logaN.(×)(2)log52＋log53＝1.(×)(3)loga(M＋N)＝logaM＋logaN.(×)(4)log2(－2)4＝4.(√)题型1利用对数的运算性质化简、求值2．计算log123＋log124＝(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1.3．计算：log3eq\f(\r(3),3)＝(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－1 D．1解析：由对数运算知log3eq\f(\r(3),3)＝log3eq\r(3)－log33＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).4．设0<a<1，x∈R，下列结论错误的是(B)A．logaax＝x B．logax2＝2logaxC．loga1＝0 D．logaa＝1解析：当x<0时，logax2＝2loga(－x)，故B错误．5．化简log2(2＋eq\r(3))＋log2(2－eq\r(3))＝__0__.解析：log2(2＋eq\r(3))＋log2(2－eq\r(3))＝log2[(2＋eq\r(3))×(2－eq\r(3))]＝log21＝0.题型2换底公式的应用6．log225·log32eq\r(2)·log59等于(D)A．3 B．4C．5 D．6解析：log225·log32eq\r(2)·log59＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝2×eq\f(3,2)×2＝6.7．设a＝log23，则log612可表示为(B)\f(1＋a,2＋a) B．eq\f(2＋a,1＋a)C．eq\f(1＋a,2a) D．eq\f(2a,1＋a)解析：因为a＝log23，所以log612＝eq\f(log212,log26)＝eq\f(log23＋log24,log22＋log23)＝eq\f(a＋2,a＋1).8．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝__1__.解析：因为logax＝eq\f(1,logxa)＝2，所以logxa＝eq\f(1,2).同理logxc＝eq\f(1,6)，logxb＝eq\f(1,3).所以logabcx＝eq\f(1,logxabc)＝eq\f(1,logxa＋logxb＋logxc)＝1.题型3对数运算性质的综合应用9．已知2a＝5b＝M，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2，则M的值是(B)A．20 B．2eq\r(5)C．±2eq\r(5) D．400解析：因为2a＝5b＝M，所以a＝log2M＝eq\f(lgM,lg2)，b＝log5M＝eq\f(lgM,lg5)，所以eq\f(1,a)＝eq\f(lg2,lgM)，eq\f(1,b)＝eq\f(lg5,lgM)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2lg2,lgM)＋eq\f(lg5,lgM)＝eq\f(lg4＋lg5,lgM)＝eq\f(lg20,lgM)＝2，所以2lgM＝lg20，所以lgM2＝lg20，所以M2＝20.因为M>0，所以M＝2eq\r(5).10．已知x2＋y2＝1，x>0，y>0，且loga(1＋x)＝m，logaeq\f(1,1－x)＝n，则logay等于(B)\f(1,2)(m＋n) B．eq\f(1,2)(m－n)C．m＋n D．mn解析：因为logaeq\f(1,1－x)＝n，所以loga(1－x)＝－n，所以loga(1＋x)＋loga(1－x)＝m－n，所以loga(1－x2)＝m－n.因为x2＋y2＝1，所以1－x2＝y2，所以logay2＝m－n，所以logay＝eq\f(m－n,2).11．解方程：log4(3－x)＋(3＋x)＝log4(1－x)＋(2x＋1).解：原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)，即log4eq\f(3－x,3＋x)＝log4eq\f(1－x,2x＋1).整理得eq\f(3－x,x＋3)＝eq\f(1－x,2x＋1)，解得x＝7或x＝0.当x＝7时，3－x<0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0符合题意，所以原方程的解为x＝0.易错点1忽视值的正负致错12．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))－eq\f(1,3)＋eq\r(lg42－lg16＋1)－lgeq\f(1,4)＋log535－log57＝__5__.解析：原式＝3(－3)×(－eq\f(1,3))＋eq\r(4lg22－4lg2＋1)＋2lg2＋log5eq\f(35,7)＝3＋|2lg2－1|＋2lg2＋1＝3＋1－2lg2＋2lg2＋1＝5.[误区警示]从偶次根式中开方得到值为正，做题时要注意这一点，如本题eq\r(2lg2－12)＝|2lg2－1|＝1－2lg2.易错点2忽视题设条件致错13．已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝__4__，b＝__2__.解析：设t＝logab，则logba＝eq\f(1,t)，b＝at，所以t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，解得t＝2或t＝eq\f(1,2).因为ab＝ba，所以ab＝aat，即b＝at.因为a>b>1，所以b＝eq\f(1,2)a，代入ab＝ba得，aeq\f(a,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))a⇒a＝4，所以b＝2.[误区警示]若忽视条件，易得出b＝2a的错误结论．(限时30分钟)一、选择题1．下列计算正确的是(B)A．(a3)2＝a9 B．log26－log23＝1C．a－eq\f(1,2)·aeq\f(1,2)＝0 D．log3(－4)2＝2log3(－4)解析：由题意，根据实数指数幂的运算，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3))2＝a6，a－eq\f(1,2)·aeq\f(1,2)＝a0＝1，所以A，C不正确；由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2eq\f(6,3)＝log22＝1，所以B是正确的；对于D，根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，而log3(－4)是无意义的．2．log212－log23＝(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：根据对数的运算性质，可得log212－log23＝log2eq\f(12,3)＝log222＝2.3．计算(lg2)2＋(lg5)2＋lg4·lg5等于(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：(lg2)2＋(lg5)2＋lg4·lg5＝(lg2)2＋(lg5)2＋2lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2＝(lg10)2＝1.4．若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(C)A．3 B．2C．6 D．5解析：因为xlog23＝1，所以x＝eq\f(1,log23)＝log32，所以3x＋9x＝3log32＋9log32＝2＋4＝6.5．若10a＝eq\r(5)，10b＝2，则2a＋b＝(C)A．－1 B．0C．1 D．2解析：由10a＝eq\r(5)，10b＝2，根据指数式与对数式的互化，可得a＝lgeq\r(5)，b＝lg2，所以2a＋b＝2lgeq\r(5)＋lg2＝lg(eq\r(5))2＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.6．若4m＝3n＝k，且eq\f(2,n)＋eq\f(1,m)＝1，则k＝(C)A．18 B．26C．36 D．42解析：由4m＝3n＝k，得m＝log4k，n＝log3k，所以由eq\f(2,n)＋eq\f(1,m)＝1，可得eq\f(1,log4k)＋eq\f(2,log3k)＝1⇒logk4＋2logk3＝1⇒logk(32×4)＝1⇒k＝36.二、填空题7．计算2log525＋3log264－8log71＝__22__.解析：2log525＋3log264－8log71＝2log552＋3log226－8×0＝2×2＋3×6－0＝4＋18＝22.8．计算：log43·log92－logeq\f(1,2)eq\r(4,32)＝eq\f(3,2).解析：log43·log92－logeq\f(1,2)eq\r(4,32)＝eq\f(log23,log24)·eq\f(log32,log39)－eq\f(log232\f(1,4),log2\f(1,2))＝eq\f(1,2)log23·eq\f(1,2)log32＋eq\f(5,4)log22＝eq\f(1,4)＋eq\f(5,4)＝eq\f(3,2).9．若3x＝1000,＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(1,3).解析：因为3x＝1000,＝1000，所以x＝log31000，y＝000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log10003－log1＝log100010＝eq\f(lg10,lg103)＝eq\f(1,3).三、解答题10．计算下列各式的值：(1)log3eq\r(27)＋lg25＋lg4－7log72－27－eq\f(2,3)；(2)21＋log23－logeq\f(1,2)64＋lg＋lneq\r(e).解：(1)原式＝log33eq\f(3,2)＋lg(25×4)－2－(33)－eq\f(2,3)＝eq\f(3,2)＋lg100－2－3－2＝eq\f(3,2)＋2－2－eq\f(1,9)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,9)＝eq\f(25,18).(2)原式＝2×2log23－log2－126＋lg10－2＋lneeq\f(1,2)＝2×3＋6－2＋eq\f(1,2)＝eq\f(21,2).11．已知log43＝p，log35＝q，用p，q表示lg5.解：因为log43×log35＝log45＝eq\f(1,2)log25＝pq，所以log52＝eq\f(1,2pq)，又lg5＝eq\f(1,log510)＝eq\f(1,log55＋log52)＝eq\f(1,1＋log52)，所以lg5＝eq\f(2pq,2pq＋1).12．已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求logeq\f(3,2)eq\f(x,y)的值．解：由题意得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝(2x－3y)2，整