基本不等式同步练习（含答案）

基本不等式课时1基本不等式1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)均成立．(×)(2)若a≠0，则a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2.(×)(3)若a>0，b>0，则ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(√)(4)当x>1时，函数y＝x＋eq\f(1,x－1)≥2eq\r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq\r(\f(x,x－1)).(×)题型1基本不等式的理解2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(B)A．a＝±1 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝0解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以eq\f(b,a)，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.4．当a，b∈R时，下列不等式关系成立的是__③__.①eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②a－b≥2eq\r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.解析：根据eq\f(a2＋b2,2)≥ab，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件判断知，①②④错，只有③正确．题型2直接应用基本不等式求最值5．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(B)A．1 B．2C．4 D．8解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2eq\r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.6．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(C)A．80 B．77C．81 D．82解析：因为x>0，y>0，所以eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.7．下列不等式中正确的是(D)A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析：若a<0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故C错误；由基本不等式可知D正确．8．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．解：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(2x＋y)＝2＋eq\f(2x,y)＋eq\f(y,x)＋1＝3＋eq\f(2x,y)＋eq\f(y,x)≥3＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(y,x))＝3＋2eq\r(2).当且仅当eq\f(2x,y)＝eq\f(y,x)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝\r(2)，,2x＋y＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2＋\r(2))，,y＝\f(\r(2),2＋\r(2))))时等号成立．所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为3＋2eq\r(2).题型3利用基本不等式进行证明9．已知a，b，c都是正整数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.证明：左边＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3.因为a，b，c为正数，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取等号)；eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取等号)；eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取等号)．从而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，即eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.10．已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1.求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明：因为a＋b＋c＝1，所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又a，b，c都是正实数，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0.所以eq\f(a＋bb＋ca＋c,8)≥abc.所以(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．易错点忽视等号成立的一致性11．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq\f(x＋8y,xy)的最小值为__9__.解析：因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以eq\f(x＋8y,xy)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))＝eq\f(x,2y)＋eq\f(8y,x)＋5≥2eq\r(\f(x,2y)·\f(8y,x))＋5＝9，当且仅当x＝4y＝eq\f(4,3)时，等号成立，所以eq\f(x＋8y,xy)的最小值为9.[误区警示]连续运用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．(限时30分钟)一、选择题1．设a>0，b>0.若a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为(B)A．8 B．4C．1 D．eq\f(1,4)解析：若a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)⇒ab≤eq\f(1,4).所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.2．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有(B)A．eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C．eq\r(ab)≥2 D．eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,4)解析：因为4≥a＋b≥2eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≤2，所以eq\f(1,\r(ab))≥eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))≥1.故选B.3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是(D)A．a2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a＋b解析：因为0<a<1,0<b<1，且a≠b，所以a2＋b2>2ab，a＋b>2eq\r(ab)，a>a2，b>b2，所以a＋b>a2＋b2，故选D.4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(A)A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一解析：因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)，故ab≤4.又因为cd≤eq\f(c＋d2,4)，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选A.5．(多选题)[2020·怀化高一检测]设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(BD)A．ab>1 B．ab<1C．eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)>1解析：因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a≠b，所以ab<1，又1＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)<eq\f(a2＋b2,2)，所以eq\f(a2＋b2,2)>1.所以ab<1<eq\f(a2＋b2,2).6．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(2,5)解析：因为0<x<1，所以1－x>0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4).当且仅当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时取等号．7．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋eq\f(1,m)，y＝n＋eq\f(1,n)，则x＋y的最小值是(B)A．4 B．5C．8 D．10解析：依题意有x＋y＝m＋n＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝1＋eq\f(m＋n,m)＋eq\f(m＋n,n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号．故选B.二、填空题8．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是2eq\r(15)；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是eq\f(225,4).解析：(1)x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15)，即x＋y的最小值是2eq\r(15)，当且仅当x＝y＝eq\r(15)时取最小值．(2)xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2＝eq\f(225,4)，即xy的最大值是eq\f(225,4)，当且仅当x＝y＝eq\f(15,2)时取最大值．9．已知当x＝3时，代数式4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)取得最小值，则a＝__36__.解析：4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，所以eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36.10．已知x>0，y>0，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为__3__，取得最大值时y的值为__2__.解析：因为x>0，y>0且1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(xy,12))，所以xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时取等号．11．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__.解析：x＋y≥2eq\r(xy)＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．三、解答题12．(1)x>0时，求x＋eq\f(9,x)＋2的最小值；(2)0<x<eq\f(5,2)时，求2x(5－2x)的最大值．解：(1)因为x>0，所以x＋eq\f(9,x)＋2≥2eq\r(x·\f(9,x))＋2＝8，当且仅当x＝eq\f(9,x)，即x＝3时等号成立．所以x＋eq\f(9,x)＋2的最小值是8.(2)因为0<x<eq\f(5,2)，所以5－2x>0，所以2x(5－2x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋5－2x,2)))2＝eq\f(25,4)，当且仅当2x＝5－2x，即x＝eq\f(5,4)时等号成立，所以2x(5－2x)的最大值为eq\f(25,4).13．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝2eq\b\