第七章-1,2,3,4,5(数1第1次)

(1)微分方程:含有未知函数的导数的方程。(2)微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数。未知函数？微分形式微分方程导数形式微分方程第一节微分方程的基本概念一阶使方程成为恒等式的函数。(3)微分方程的解：试试隐函数求导!目标,代入方程两边同时求导，其中课后3(4)通解—所含独立的任意常数个数与方程阶数相等的解。(5)特解—不含任意常数的解。（）练习1：下列哪个解可能是二阶微分方程的通解(A)(B)C(C)(D)函数是微分方程的（）练习2：C不独立是解？解通解特解是特解？是通解？不能合并的通解+特解＝解的全体(6)二阶微分方程的初值条件：(7)初值问题（略）通解初值条件特解有不是通解形式的特解，称奇解。重点1：步骤（分离变量）（两端积分）第二节可分离变量的微分方程莱布尼茨里程碑！重点2：变式可分离变量含导数的方程含微分的方程可分离变量吗？（1）（2）（3）易错的例子:（4）（积分方便）Help:习题7－2练习重点3：结果化简（分离变量）（两端积分）（目标：去掉对数和绝对值）化简1：化简2：(正确，但有时。。。)去掉对数和绝对值全变对数；去对数去绝对值此法可略（分离变量）（两端积分）例1化简2：P304(书)化简再举例化简1：(补充)去掉对数和绝对值此结果只一项对数全变对数(正确，但有时。。。)无特别要求这种情况可不化简；1、（分离变量）（两端积分）难点：积分导数形式课后题1（分离变量）（两端积分）（乘回去或解下去都不好）2、课后题①②解:代入原方程得分离变量两边积分得！重点1：步骤（1）设u(2)解u(分离变量)（3）回代u补例第三节齐次方程齐次齐次齐次齐次如：齐次方程含有导数的方程含有微分的方程转化成此形式开始变量代换重点2：形式含有导数的方程含有微分的方程习题7－3例1：解:则有课本化简略①②步骤形式（2）变量代换,设u(3)分离变量,解u（4）回代u(1)转化成标准形式【作业纸】1、微分方程方程一、填空的通解为

。2、微分方程方程的通解为

。1、函数二、选择是微分方程（C为任意常数）的（）A三、计算2【课后题】B习题7－3，第1题(1)-(10)习题7－2，1题(1)-(10)，2题(4)难点：积分导数公式逆用第一类换元法各种凑之一：凑系数三角代换根式代换指数代换倒代换第二类换元法不常用公式课后2(3)略各种凑之二：分次凑不同于：①②重点一：一阶线性微分方程标准形式将下列一阶线性微分方程化为标准形式第四节一阶线性微分方程重点二：一阶线性微分方程的公式法一阶齐次线性方程：齐次通解公式：(1)可分离变量对一阶线性齐次方程，公式法比分离变量快一点儿解1：分离变量法一阶齐次线性方程解2：公式法公式法所有的C一个即可，也不用加绝对值双解例：一阶非齐次线性方程：齐次通解公式：(2)(欧拉)常数变易法的思路:猜想非齐次解形式：待定系数将此代回非齐次方程，解出：一阶非齐次线性方程通解公式：整理标准形式记住公式形式积分+整理对一阶线性非齐次方程，公式法比常数变易法快很多！【解】整理标准形式套公式形式积分+整理公式法求解（一阶非齐次线性方程）互逆运算被还原注意：公式法的步骤举例积分即齐次通解为代入非齐次方程得解得故原方程通解为再常数变易令【弃解】常数变易法求齐次通解②分离变量①公式法公式法已解化简得公式法里最后做的那个积分【解】【例1】整理标准形式套公式形式积分+整理线性？(2)(1)(3)线性？标准？线性？(4)要看两方面线性？标准？标准？可分离变量？齐次？重点三：变式习题7－4，练习【例3】【解1】P318可分离变量？齐次？课本解2：变量代换（稍后讲）补充解1：公式法【解2】代入原式分离变量所求通解为【例3】（设u）（旧变量y及y′要消失）联想齐次方程两边积分P319（解u）重点四：变量代换法注意：步骤（回代u）（新变量出现）P321习题7－4变量代换第7题（1）（2）（3）作业纸，二、计算2仿例3仿例3,略可分离变量？齐次？变量代换？则原式（设u）（旧变量y及y′要消失）（1）（3）（解u）（回代u）（旧变量y及y′要消失）*二、伯努利方程雅各布·伯努利(哥)提出伯努利方程并解决约翰·伯努利(弟)(课本莱布尼兹解法)是莱布尼茨的追随者，学生欧拉.伯努利方程的标准形式:练习：下列方程哪个是伯努利方程？（）伯努利方程一阶非齐次线性一阶齐次线性方程的标准形式:一阶非齐次线性方程的标准形式:A.B.B同乘变量代换右合格，左不线性同乘一阶非齐次线性步骤理解伯努利方程及其解法同乘设z解z回代Z①②③④的通解.则方程变形为将回代，令同乘求方程【例4】【解】①②③④同乘设z解z回代Z重点：步骤作业纸A一、选择2、用适当的变量代换解下列方程二、计算1、解伯努力方程习题7－4B第1题，第2题，第7题（1）（2）（3）（变量代换法）（公式法，熟练积分）习题7-4第3题思考题5C改：法线斜率…这是一类问题：切线斜率即:已知导数关系求函数关系，是微分方程问题。出现在等式里,求y.C微分方程的几何应用P308习题7－2第6题思考题2思考题1习题7－1第5题（2）P314习题7－3第3题思考题3Part1作业纸，三、计算1思考题4在过原点和点的单调光滑曲线上任取一点，是另一平行线与轴轴的平行线，其中一条平行线与轴及曲线围成面积的2倍，求此曲线方程．1、作两坐标及曲线围成的面积是画图注意几何关系准确画图注意几何关系准确，切线斜率思考题1P308习题7－2第5题（2）法线答案第五节可降阶的微分方程例3.类型一例1.例5.解法：直接积分法类型二类型三不含旧未知量不含旧自变量xy目标：降阶设则设则例3.

求解解:代入方程分离变量设求特解方法1:特解为二、不含旧未知量y求特解方法2:特解为…结果复杂时用可降阶类型二设p解p解y易降阶【例5】【解】代入方程(一阶线性齐次方程)设(可分离变量)解1:解2:难降阶三、不含自变量x解p解y设p可降阶类型三令代入方程得积分得故特解为,得【补例】【解】，分离变量三、不含x难求特解方法2:结