选择性必修第一册人教A版2024-2025学年上学期期中高二数学模拟测试卷含答案

选择性必修第一册人教A版2024-2025学年上学期期中高二数学模拟测试卷（命题范围：空间向量与立体几何、直线与圆方程、椭圆）一、单选题1．直线的倾斜角量（

）A． B． C． D．2．已知空间向量，，若，则（

）A．4 B．6 C． D．3．已知直线与直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（

） B． C． D．6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（

）A．B．－1C．0D．17．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（

）A．1 B． C． D．二、多选题9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（

）A． B．点关于平面对称的点的坐标为C．若，则 D．若，，则10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于原点对称C．点在内 D．所围成的图形的面积为11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（

）A．异面直线与所成的角是B．三棱锥的体积为C．存在点，使得D．点到平面距离的最小值为三、填空题12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为.13．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.则点到直线的距离为.14．若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是．四、解答题15．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求：(1)顶点的坐标；(2)边的垂直平分线方程.16．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点．

(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点作圆的切线，求该切线方程.18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.19．如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.(1)求证：平面；(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.参考答案题号12345678910答案ACADAABDACDABD题号11答案BCD1．【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间，所以直线的倾斜角是.故选：A.2．【详解】因为，因为，所以，解得.故选：C.3．【详解】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4．【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，则，而，即有，，，即，于是得，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D5．【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则．由于，所以，解得，所以线段的长度为．故选：A．6．【详解】记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小，设：，则，解得或(舍)，当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此，故选：A．7．【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，所以椭圆的蒙日圆方程为.故选：B8．【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：易知圆心到直线的距离为，所以，又，可得；因此可得，所以的面积为.故选：D9．【详解】由题意，A正确；关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错，若，则，所以，C正确；若且，则，解得，D正确，故选：ACD．10．【详解】设线段的中点为，则由题意可得，，所以，即，所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆，选项A：易知直线过圆心，故A正确；选项B：显然关于原点对称，故B正确；选项C：因为，所以点在上，故C错误；选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确；故选：ABD.11.【详解】对于A，∵，∴异面直线与所成的角等于与所成的角，∵为正三角形，∴，则异面直线与所成的角是，故A错误；对于B，∵，面，面，∴面，∵，面，面，∴面，又∵，面，∴面面，点在平面内，则点到面的距离相等，三棱锥的体积为，故B正确；

对于C，当为中点时，满足点在平面内且，∵，，∴，即，故C正确；

对于D，分别取的中点，三棱锥为正三棱锥，过作面于，则为正的中心，∵，∴，，由，得，∴，∴，∵，∴，∴的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即正的内切圆，该内切圆与的交点为，如图，当与重合时，点到平面距离取最小值，作于，,面,,,即点到平面距离的最小值为，故D正确.

故选：BCD.12．【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，①若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，故直线方程为，即；②若，则直线方程为，代入可得，解得，故直线方程为.综上所述：所求直线方程为或.故答案为：或.13．【详解】由题知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，因为，所以，所以点到直线的距离为.故答案为：14．【详解】圆的圆心为，半径为，因为圆上有四个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，所以，解得．故答案为：．15．【详解】（1）所在的直线方程为，则直线斜率，由，得边所在直线方程为，整理得.，解得，所以点的坐标为.

（2）设，为中点，则.，解得，，则中点为，，垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为，整理得.16．【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，且，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以，又，所以．（2）建立如图所示的空间直角坐标系．

由（1）知且，则，则A0,0,0，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为n1=x则，得，设平面的一个法向量为，则，得，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，所以，解得：，所以圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意；当直线的斜率存在时，设，即，则点到直线的距离为圆的半径，即，解得，此时.综上，直线l的方程为或.18．【详解】（1）由题意可设，且，则，所以曲线的方程为.（2）当，不妨取，满足曲线的方程，则的方程为，可得，此时可得，又，故；当不垂直于时，设，则直线的方程为，

联立，得，所以，则，故，又，故，即，所以