第一章独立性

1第一章随机事件及其概率§1.4独立性2内容复习定义1.4两事件发生可能性的大小并不相互影响根据问题的实际意义去判断：3两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥有联系吗？4再如请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即5

问题：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是

Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0

与Ω独立且互斥事实上，与任何事件A都独立.6推广1三事件两两相互独立的概念两个事件相互独立7注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立推广2三事件相互独立的概念8n个事件相互独立n个事件两两相互独立推广3例如9证明练习10推论例如11事件独立性的应用举例1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则

2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则

12例1三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为0.2，0.3，0.5，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3所求为P(A1∪A2∪A3)独立性的概念在计算概率中的应用13例2

设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题解事件B为“击落飞机”,14此例意义为：“小概率事件”在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。15例3某型号火炮的命中率为0.8，现有一架敌机即将入侵，如果欲以99.9%的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？解:

设需配备

n

门此型号火炮设事件表示第i门火炮击中敌机故需配备

5

门此型号火炮.16例4

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解

A,B,C

分别表示甲、乙、丙击中飞机,D表示飞机被击落1718因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为19例5

同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.解事件A为两次所得点数分别为7与11.则有20独立性在可靠理论中的应用(1)串联系统(2)并联系统21

解例62223课堂练习24将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验.(1)重复独立试验二.伯努利概型25(2)n重伯努利试验

实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,就是

n重伯努利试验.26定理1.3

（P.23）在n重伯努利试验中，事件A发生的概率为，则A发生k次的概率其中q=1－p。伯努利公式正好是二项式公式的一般项：伯努利公式在第二章称为二项分布。27证设B表示“n次试验中A发生k次”，k个A的位置有以下种可能情况：B1=B2=Bm=由试验的独立性，＃28例（P.25）一条自动生产线上的产品，次品率为4％，从中任取10件，求解以下问题：（0）求有2件次品的概率；（1）求至少有2件次品的概率；（2）一次取1件，无放回抽取，求当取到第二件次品时，之前已取到8件正品的概率。分析：试验E是“任取1件产品观察是正品还是次品”。若是有放回抽取，连取10件为10次重复独立试验。由于自动生产线上的产品多（或一批产品），当抽取的件数相对较少时，无放回抽取也看成重复独立试验，且每次只有“正品”或“次品”两种结果，每次抽到次品的概率都是0.04，因此可看成10重伯努利试验。多！29解设A表示“任取1件时次品”，与题中所问一致（0）设所求概率为（1）设所求概率为P(B),则30(2)由题意，当第二次抽到次品时共抽了10次，前9次中8“正”1“次”。次8“正”1“次”这不是10重伯努利试验！为什么？因第10次试验只有“次品”一个可能结果！设C表示“前9次抽得8件正品1件次品”，则所求概率为用伯努利公式D表示“第十次抽得次品”，31注：若将（1）换为：求任取10件中恰有2件正品的概率，则所求概率为：有些题用伯努利公式解比其它方法简单，如：32例有放回任取k(<a)件，设B={k件中恰有r件次品}，则产品a+b件次品

a件正品b件且取得次品的概率均为因这是k次重复独立试验，每次只可能是“次品”或“正品”，故由伯努利公式可得结果。与用古典定义所得之结果相同。33例（逆问题）P.28例4每门炮的炮弹击中敌机的概率均为0.6。（1）欲以99％的把握击中敌机，需配置几门炮？（2）现有3门炮，欲以99％的把握击中敌机，每门炮的命中率应提高到多少？分析：本例是已知概率，求n和p.前面的例子中是已知求，解法是:

代入公式求出概率（含有参数），得到所求参数的不等式，再解之。34（1）设配置n门炮，A表示“高炮击中敌机”，则P(A)=0.6,B表示“敌机被击中”（即至少击中1炮）,则求使下面不等式成立的n:由解得故至少配置6门炮。