函数的极值人教A版高中数学选择性必修练习（Word解析版）

第五章一元函数的导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值课后篇巩固提升基础达标练1.(2020福建高二期末)定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)图象如图所示,则下列结论不正确的是(A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增B.函数f(x)在区间-12,0C.函数f(x)在x=1处取得极大值D.函数f(x)在x=0处取得极小值解析根据导函数图象可知,f(x)在区间(-∞,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.答案C2.函数y=2x2-lnx的极值点为(),12,-12 B.12C.12 解析y'=4x-1x,令y'=4x-1x=0,可得x=12x=-12舍去答案C3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则实数a,b的值为()=3,b=-3或a=-4,b=11=-4,b=2或a=-4,b=11=-4,b=11D.以上都不对解析f'(x)=3x2-2ax-b,f'(1)=0,即2a+b=3①,f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9②,解由①②组成的方程组,得a=-4,b=11(有极值)或a=3,b=-3(无极值,舍去).答案C4.(2019广东高二期末)已知x=1e是函数f(x)=xln(ax)+1的极值点,则a=(A.12 C.1解析f'(x)=ln(ax)+1,由f'1e=0,得a=1又f'(x)=lnx+1,当x>1e时,f'(x)>当0<x<1e时,f'(x)<0,故x=1e是函数的极值点,故a=1成立.故选答案B5.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末)如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是()(x)在[-2,-1]上是增函数B.当x=-1时,f(x)取得极小值(x)在(-1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数D.当x=3时,f(x)取得极小值解析根据图象知当x∈(-2,-1)或x∈(2,4)时,f'(x)<0,函数单调递减;当x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.故A错误;故当x=-1时,f(x)取得极小值,B正确;C正确;当x=3时,f(x)不取得极值,D错误.故选BC.答案BC6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=.解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴f'(1解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.答案-27.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为.

解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点,又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.答案(-∞,-1)8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.解f'(x)=3ax2+2bx+c,(1)方法一:∵x=±1是函数的极值点,∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知-又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③由①②③解得a=12,b=0,c=-3方法二:由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①3a-2b+c=0,②又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③由①②③解得a=12,b=0,c=-3(2)f(x)=12x3-32∴f'(x)=32x2-32=32(当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.∴当x=-1时,函数取得极大值,-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,1为极小值点.能力提升练1.(2019天津高三)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2lnx()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值解析∵f'(x)=2(x-a)lnx+(x-a)2·1x=(x-a)2lnx+x-ax,又g(x)=2lnx+x-ax在(0,+∞)上单调递增,x→0,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→+∞,所以g(x)=2lnx+x-ax在(0,+∞)上有且仅有一个零点,设为x0,因为a≠1,则x0≠a,所以导函数f'(x答案C2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案D3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则ab的值为(23或-23 D.解析∵f'(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).当13<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);当x<1时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;∴ab=-69=-答案A4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f(x)=x+sinx-xcosx的定义域为[-2π,2π),则()(x)为奇函数(x)在[0,π)上单调递增(x)恰有4个极大值点(x)有且仅有4个极值点解析∵f(x)的定义域为[-2π,2π),∴f(x)是非奇非偶函数,∵f(x)=x+sinx-xcosx,∴f'(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,当x∈[0,π)时,f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增.显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sinx=-1x分别作出y=sinx,y=-1x在区间[-2π,2π)上的图象由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点.故选BD.答案BD5.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.

解析令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图,观察图象可知当-2<a<2时,直线y=a与f(x)=x3-3x的图象恰有三个不同的公共点.答案(-2,2)6.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是.

解析∵f'(x)=3x2+2x-a,函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-13∴应满足f'(-1)≤0,f若在(-1,1)内恰有两个极值点,则应满足f∴3-2-a>0,答案[1,5)-137.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-12对称,且f'(1)=0(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=6x2+2ax+b.从而f'(x)=6x+a6即y=f'(x)的图象关于直线x=-a6对称,从而由题设条件知-a6=-12,解得又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.所以,实数a,b的值分别为3,-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.解得x1=-2,x2=1.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.素养培优练(2020湖南高二期末)对于函数f(x)=2sinx-x,x∈[0,π],下列说法正确的有()①f(x)在x=π3处取得极大值3②f(x)有两个不同的零点;③f(π)<fπ2<fπ④f(x)在[0,π]上是单调函数.个 个 个 个解析∵f'(x)=2cosx-1,∴当x∈0,π3时,f'(x)>0;当x∈π3,π时,f'(x)<0,∴f(x)在0,π3上单调递增,在π3,π上单调递减∴f(x)在x=π3