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东北农业大学

数值分析

第九章第九章常微分方程数值解法§1、引言

微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，令a=x0<x1<…<xn=b,其中hk=xk+1-xk,

如是等距节点h=(b-a)/n

,h称为步长。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk)的近似值，用yk表示，即yk≈y(xk)，这样y0,y1,...,yn称为微分方程的数值解。

主要问题如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的递推公式；递推公式的局部截断误差，数值解与精确解的误差估计；递推公式的稳定性与收敛性。用差商代替微商数值积分Taylor展开微分方程离散化常用方法§1解常微分方程初值问题的Euler方法Euler方法Euler方法的误差分析向前Euler公式（Euler折线法或显格式）向后Euler公式（后退Euler公式）梯形公式（改进的Euler公式）Euler预估－校正格式一、Euler方法1、向前Euler公式用分段的折线逼近逼近函数2、向后（后退的）Euler方法3、梯形公式4、改进的尤拉公式梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的尤拉公式。二、Euler方法的误差分析2）总体方法误差总体截断误差与局部截断误差的关系是：误差分析表Euler方法局部截断误差总体截断误差迭代收敛条件向前Euler方法O(h2)O(h)向后Euler方法O(h2)O(h)0<hL<1梯形公式O(h3)O(h2)0<hL<2(L为Lip常数）向后Euler方法收敛条件与截断误差梯形公式的收敛性§2.龙格—库塔方法基本思想二阶R-K方法三阶R-K方法四阶R-K方法变步长R-K方法一、基本思想二、二阶龙格－库塔方法三、三阶龙格－库塔方法四、四阶龙格－库塔方法五、变步长的龙格—库塔方法§

4、微分方程数值解的稳定性Euler法的绝对稳定区域向后Euler法的稳定性梯形公式的稳定性R-K方法的绝对稳定区域基本

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