两角和与差的正弦【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：012课题:§两角和与差的正弦目标要求1、理解并掌握两角和与差的正弦公式及三角函数辅助角公式．2、理解并掌握给角求值问题．3、理解并掌握给值求值（角）问题．4、理解并掌握辅助角公式的应用.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值求值（角）问题；难点：辅助角公式的应用．教学过程基础知识点1.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦两角差的正弦【思考】对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?2.辅助角公式辅助角公式:(或),其中(或).【思考】辅助角公式是如何推导出来的?【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.B.任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sinα+sinβ成立.C.sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°.D.sin30°cos60°+cos30°sin60°=0.题17°sin13°+sin17°cos13°的值为 ()A.B.C.D.以上都不对题3.函数y=sinx-cosx的最小正周期是 ()A. B.π π π题4.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.关键能力·合作学习类型一给角求值问题(数学运算)【题组训练】题70°sin50°-cos200°sin40°的值为 ()A. B. C. D.题6.的值是 ()A. B. C. D.题7.若是第二象限角且,则________.【解题策略】解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.【补偿训练】题8. ()A. B. C. D.题.类型二给值求值(角)问题(数学运算)【典例】题10.设,若,求的值.【变式探究】题11.设,若,求的值.题12.设,若为第三象限角,求的值.【解题策略】解决给值求值问题的解题策略1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.【跟踪训练】题13.已知(为锐角),则()A. B. C. D.题14.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.类型三辅助角公式的应用(数学运算)【典例】题15.化简的结果可以是 ()A.B.C.D.题16.若函数在时取得最小值,则等于 ()A. B. C. D.【解题策略】把形如的式子化为,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【跟踪训练】题17.函数的最小值为 () B. C. 题18.已知，则的值为 ()A. B. C. D.【补偿训练】题19.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.题20.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是()A. B. C. D.课堂检测·素养达标题21.若是第三象限角,则 ()A. B.C. D.题22.函数的值域为 ()A. B.C. D.题155°cos35°-cos25°cos235°=________.题(45°+A)-sin(45°-A)=________.题25.已知,求.编号：012课题:§两角和与差的正弦目标要求1、理解并掌握两角和与差的正弦公式及三角函数辅助角公式．2、理解并掌握给角求值问题．3、理解并掌握给值求值（角）问题．4、理解并掌握辅助角公式的应用.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值求值（角）问题；难点：辅助角公式的应用．教学过程基础知识点1.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦两角差的正弦【思考】对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?提示:可简单记为“正余余正,符号相同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.2.辅助角公式辅助角公式:(或),其中(或).【思考】辅助角公式是如何推导出来的?提示:推导过程:，令,则.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.B.任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sinα+sinβ成立.C.sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°.D.sin30°cos60°+cos30°sin60°=0.【答案】选AC提示:A√.根据公式的推导过程可得.B×.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sinα+sinβ.C√.因为sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式正确.D×.sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin(30°+60°)=sin90°=1.题17°sin13°+sin17°cos13°的值为 ()A.B.C.D.以上都不对【解析】选A.原式=sin(13°+17°)=sin30°=.题3.函数y=sinx-cosx的最小正周期是 ()A. B.π π π【解析】选=sinx-cosx=所以函数的最小正周期为T=2π.题4.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.【解析】因为为锐角，且,所以.又为第四象限角,且,所以.所以.答案:0关键能力·合作学习类型一给角求值问题(数学运算)【题组训练】题70°sin50°-cos200°sin40°的值为 ()A. B. C. D.【解析】选D.cos70°sin50°-cos200°sin40°=cos70°sin50°-(-sin70°)cos50°=sin(50°+70°)=sin120°=.题6.的值是 ()A. B. C. D.【解析】选A.原式题7.若是第二象限角且,则________.【解析】因为θ是第二象限角且sinθ=,所以，所以，答案:【解题策略】解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.【补偿训练】题8. ()A. B. C. D.【解析】选C.题.【解析】原式=.答案:-2类型二给值求值(角)问题(数学运算)【典例】题10.设,若,求的值.【思路导引】应用公式⇒注意角的范围⇒所求角的正弦值.【解析】因为,所以,因为,所以.所以.【变式探究】题11.设,若,求的值.【解析】.题12.设,若为第三象限角,求的值.【解析】,所以s.因为为第三象限角,,所以.所以.【解题策略】解决给值求值问题的解题策略1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.【跟踪训练】题13.已知(为锐角),则()A. B. C. D.【解析】选D.因为,所以.所以，所以题14.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.【解析】因为为第一象限角,为第二象限角,,所以,所以.类型三辅助角公式的应用(数学运算)【典例】题15.化简的结果可以是 ()A.B.C.D.【思路导引】利用辅助角公式进行变形.【解析】选B..题16.若函数在时取得最小值,则等于 ()A. B. C. D.【思路导引】利用辅助角公式进行变形.【解析】选B.,其中,由题意知，得,所以.【解题策略】把形如的式子化为,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【跟踪训练】题17.函数的最小值为 () B. C. 【解析】选D.,因为,所以,所以f(x)的最小值为-1.题18.已知，则的值为 ()A. B. C. D.【解析】选B.【补偿训练】题19.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.【解析】选A.在上单调递减,所以,故且,解得.题20.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是()A. B. C. D.【解析】选D.因为（且）,则,所以,即,而且,所以,所以,取,此时.课堂检测·素养达标题21.若是第三象限角,则 ()A. B.C. D.【解析】选A.因为为第三象限角,所以,由两角和的正弦公式得.题22.函数的值域为 (