线性代数试题及答案

线性代数习题和答案好东西第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分.TOC\o"1-5"\h\z设行列式=m，=n，则行列式等于（）A。m+nB.-（m+n）C.r-mD.m—n设矩阵A=，则A-1等于（）A。B.C.D。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A中位于（1,2的元素是（）6B.6C。2D。2设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A=0B.BC时A=0C。A0时B=CD。|A|0时B=C已知3x4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（At）等于（）A.1B。2C。3D。46。设两个向量组％,以2，...，as和。1，02，…，0s均线性相关，则（）有不全为0的数入，入，…，入使入a+入a+...+入a=0和入0+入6+..•入0=0▲».'>r，'、c，，12s1122ss1122ss有不全为0的数入］，入2,...，入s使入］（a］+6］）+入2（a2+62）+...+入，（以‘+6）=0sillsss有不全为0的数入1,入，，...，入使入1（a—0）+入，（a,一6）+...+入（a-0）12s111222sss=0D。有不全为0的数入1，入2,…，入s和不全为0的数Pi,%，..•川、使入ia「入2a2+•••+入ssa=0和p0+p0+...+p6=07。 7。 设矩阵A的秩为r，则A中（A。所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08。 设Ax=b是一非齐次线性方程组,nA.n1+n2是Ax=0的一个解C.n1—n2是Ax=0的一个解9。 设n阶方阵A不可逆，则必有（A。秩（A）〈nC.A=0所有r—1阶子式全为0D。所有r阶子式都不为0n2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）n1+n2是Ax=b的一个解D.2n1—n2是Ax=b的一个解）秩（A）=n—1D。方程组Ax=0只有零解设A是一个n（>3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）如存在数入和向量a使Aa=入a，则a是A的属于特征值入的特征向量如存在数入和非零向量a，使（入E—A）a=0,则入是A的特征值A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量如入『入2，入3是A的3个互不相同的特征值，a1，a2，a3依次是A的属于入『入2,入3的特征向量，则a1，a2，a3有可能线性相关设入0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A。k<3B.k<3TOC\o"1-5"\h\zk=3D。k〉312。设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）AO|A|2必为1B°|A|必为1CoA-i=AtD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CtAC.则（）AoA与B相似B。A与B不等价C。A与B有相同的特征值D。A与B合同14。下列矩阵中是正定矩阵的为（）B。A。B。C.D.C.D.第二部分非选择题共72分）、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分.15。设A=，B=。则A+2B=.17.设入=3）％3,Al=2Aj17.设入=3）％3,Al=2Aj表示AI中元素a..的代数余子式（i,j=12,3），则（％A21+a12A22+a13A232+(a21A_|_nA-I—nA|n_|_[nA -I—nA-I—nA ]n—21+a22A22+a23A23) (a31A21+a32A22+a33A23)2=18.设向量（2，-3，5）与向量（一4，6，a）线性相关，则a=.19。设A是3x4矩阵，其秩为3,若n19。设A是3x4矩阵，其秩为3,若n

它的通解为.n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则20。设A是mxn矩阵，A的秩为r（〈n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的20。设A是mxn矩阵，A的秩为r（〈n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为。21。设向量a、0的长度依次为2和3,则向量a+0与a-。的内积（a+。，a—。）=22。设3阶矩阵A的行列式IA|=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为。设矩阵A=，已知a=是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为.设实二次型f（x，x2,乂3,%,。的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为。三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。设A=,B=。求（1）ABt;（2）|4A|。26。试计算行列式.27。设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28。给定向量组a1=,a2=,a3=,a4=.试判断a4是否为a1，a2，a3的线性组合；若是，则求出组合系数。设矩阵A=.求：（1）秩（A）;（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。设矩阵A=的全部特征值为1,1和一8。求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31。试用配方法化下列二次型为标准形f（x，x2，x3）=,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32。设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且E—A）-1=E+A+A2。33。设n0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，孔，匕是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）n1=n0+孔，n2=n0+亳2均是Ax=b的解；（2）n,n,n线性无关。答案：。12一、单项选择题（本大题共14小题,每小题2分，共28分）1.D2.B3。B4。D5。C6.D7.C8。A9。A10。B11.A12.B13.D14。C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z616.4101Qn+p(nn)ri+p(ri—ri))f为亲kA.11『JI’’2i|]/琢j112cn/11^/，c/y|_L尽rp艾知n—r52124.三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)解(1)ABt=。(2)|4A|=林l=64|A|,而AI=.所以|从|=64(-2)=-128解解AB=A+2B即（A—2E）B=A，而（A-2E）—1=所以B=（A—2E）-1A=解一所以a4=2a1+a2+a3，组合系数为（2,1,1）。Ct—YCt+YCt+YCtatt—二勺/心a4X]51~x2a2~x3^3，即方程组有唯一解（2,1,1）T，组合系数为（2，1，1）。解对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3所以秩（入）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为孔=（2，—1，0）T，e2=（2,01）T.经正交标准化，得n1=，n2=。入=-8的一个特征向量为匕3=，经单位化得n3=所求正交矩阵为T=.对角矩阵D=(也可取T=.)71F(VVV=fV+7V7V9v7+4Yv—7Y70^。^^J-树)*2，xy\Xi^zx^ZX3J2£入22丁^*2*3/x^z=(X1+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2—5x32.设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(X1,X2，X3)的标准形y]2-2y22-5y32。四、证明题本大题共2小题，每小题5分，共10分)证由于(E-A)(E+A+A2)=E—A3=E，所以E—A可逆，且(E-A)—1=E+A+A2.33。证由假设An0=b,A孔=0,A?2=0.A^i=A(n0+^i)=An0+AW1=