【三维设计】高考数学 第七章第八节立体几何中的向量方法课件 理 新人教A

第七章立体几何第八节立体几何中的向量方法(理)抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平

面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题．4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

怎

么

考利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力．题型多为解答题，难度中档.2．在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是

．一、平面的法向量1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与

的向量，显然一个平面的法向量有

多个，它们是

向量．平面垂直无数共线唯一的二、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝

．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝

．〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)答案：A1．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是 (

)A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直．2．(教材习习题改改编)已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直直，则则m，n的值分分别为为()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2答案：：A答案：：A4．在四四棱锥锥P－ABCD中，底底面ABCD为直角角梯形形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6.则直线线PD与BC所成的的角为为________．解析：：以A为坐标标原点点，AD、AB、AP所在的的直线线分别别为x轴、y轴、z轴，建建立如图图所示示的空空间直直角坐坐标系系，则则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)．答案：：60°°1．平面面的法法向量量的求求法设出平平面的的一个个法向向量n＝(x，y，z)，利用用其与与该平平面内内的两两个不不共线线向量量垂直直，即即数量量积为为0，列出出方程程组，，两个个方程程，三三个未未知数数，此此时给给其中中一个个变量量恰当当赋值值，求求出该该方程程组的的一个个非零零解，，即得得到这这个法法向量量的坐坐标．．注意意，赋赋值不不同得得到法法向量量的坐坐标也也不同同，法法向量量的坐坐标不不唯一一．2．利用用向量量法求求空间间角利用向向量法法求空空间角角时，，要注注意空空间角角的取取值范范围与与向量量夹角角取值值范围围的区区别，，特别别地二二面角角的大大小等等于其其法向向量的的夹角角或其其补角角，到到底等等于哪哪一个个，要要根据据题目目的具具体情情况看看二面面角的的大小小是锐锐角还还是钝钝角．．[巧练模模拟]—————————(课堂突突破保保分题题，分分分必必保！！)[冲关锦锦囊]利用直直线的的方向向向量量与平平面的的法向向量，，可以以判定定直线线与直直线、、直线线与平平面、、平面面与平平面的的平行行和垂垂直．．1．设直直线l1的方向向向量量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向向量量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.2．设设直直线线l的方方向向向向量量为为v＝(a1，b1，c1)，平平面面α的法法向向量为为n＝(a2，b2，c2)，则则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．3．设设平平面面α的法法向向量量n1＝(a1，b1，c1)，β的法法向向量量为为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.[精析考题题][例2](2011·大纲版全全国高考考)如图，四四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三三角形．．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角角的正弦弦值．2．(2011·湖州第一一次质检检)如图，正正方形ADEF和等腰梯梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求证：AC⊥平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余余弦值．解：(1)证明：因为平平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF所以AC⊥平面ABF.3.(2012·广州调研)如图所示，在在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证证：：AM⊥PD；(2)求直直线线CD与平平面面ACM所成成解：：(1)证明明：：∵∵PA⊥平平面面ABCD，AB⊂平平面面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面面PAD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.[冲关锦锦囊]2．利用用向量量法求求线面面角的的方法法一是分分别求求出斜斜线和和它在在平面面内的的射影影直线线的方方向向向量，，转化化为求求两个个方向向向量二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.解：如图，，以D为坐标标原点点，线线段DA的长为为单位位长度度，射射线DA为x轴的正半半轴建建立空空间直直角坐坐标系系D－xyz.[巧练模模拟]———————(课堂突突破保保分题题，分分分必必保！！)4.（2012··南通模模拟））一个个几何何体是是由如图图所示示的圆圆柱ADD1A1和三棱锥E－ABC组合而而成，，点A、B、C在圆柱柱上底底面圆圆O的圆周周上，，且BC过圆心心O，EA⊥平面面ABC.(1)求证：：AC⊥BD；(2)求锐二二面角角A－BD－C的大小小．解：(1)证明：：因为为EA⊥平面面ABC，AC⊂平面面ABC，所以以EA⊥AC，即ED⊥AC.又因为为AC⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面面EBD.因为BD⊂平面面EBD，所以AC⊥BD.[冲关锦锦囊]1．利用用空间间向量量求二二面角角可以以有两两种方方法：：一是是分别别在二面角角的两两个半半平面面内找找到一一个与与棱垂垂直且且从垂垂足出出发的的两个个向量量，则则这两两个向向量的的夹角角的大大小就就是二二面角角的平平面角角的大大小；；二是是通过过平面面的法法向量量来求求：设设二面面角的的两个个半平平面的的法向向量分分别为为n1和n2，则二二面角角的大大小等等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．2．利用用空间间向量量求二二面角角时，，注意意结合合图形形