《金新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第九节 函数与方程课件（理） 北师大必修1

第九节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的

称为这个函数的零点，f(x)的零点是方程

的解．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有

．横坐标f(x)＝0零点

函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？【提示】

(1)函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是f(x)＝0的根．f(a)f(b)＜0f(c)＝0cy＝f(x)在[a，b]上图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，仅是y＝f(x)在区间(a，b)内有零点的充分条件，不满足这个条件，函数f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点(x1,0)，(x2,0)3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证

，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：f(a)f(b)＜0一分为二零点f(a)f(b)＜0①若

，则x1就是函数的零点；②若

，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若

，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b)；第四步，判断是否达到精确过度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．f(x1)＝0f(a)f(x1)＜0f(x1)f(b)＜0

用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|＜ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是(

)A．0

B．－1C．0，－1D．0,1【解析】∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为3，∴3a－b＝0,3a＝b.令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1.∴g(x)的零点为0或－1【答案】

C2．函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)【解析】∵B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件．【答案】

B3．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(

)A．(0,1]

B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)【解析】由于f(1)f(10)＝(－1)×＜0根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点．【答案】

B4．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的值是____________．【解析】

若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.综上可知a＝0或a＝－.【答案】

0或－5．用二二分法法求函函数y＝f(x)在区间间(2,4)上的近近似解解，验验证f(2)·f(4)＜0，给定定精确确度＝0.01，取区区间(2,4)的中点点x1＝＝＝3，计算算得f(2)·f(x1)＜0，则此此时零零点x0∈________(填区间间)．【解析】由f(2)·f(3)＜0可知．．【答案】(2,3)函数零零点的的判断断判断下下列函函数在在给定定区间间是否否存在在零点点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】(1)∵f(1)＝－20＜0,f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零零点．．(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零零点．．【思路点点拨】第(1)问利用用零点点的存存在性性定理理或直直接求求出零零点，，第(2)问利用用零点点的存存在性性定理理或利利用两两图象象的交交点来来求解解．二次函函数的的零点点关于x的二次次方程程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间间[0,2]上有零零点，，求实实数m的取值值范围围．1．m为何值值时，，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅仅有一一个零零点；；(2)有两个个零点点且均均比－－1大；【解析】(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅仅有一一个零零点⇔方程f(x)＝0有两个个相等等实根根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.方式的的根与与函数数的零零点已知二二次函函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＞b＞c且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零零点；(2)若对x1、x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝有有两个不不等实根，，证明必有有一实根属属于(x1，x2)．【证明】(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0.又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等等实根，所以函数f(x)有两个零点点．可将方程根根的问题转转化成函数数零点的问问题，借助助函数的图图象和性质质进行解答答．2．x1与x2分别是实系系数方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证：方程程x2＋bx＋c＝0有一个根介介于x1和x2之间．函数、方程程与不等式式之间的联联系是不可可分割的，，对函数是是否存在零零点，有多多少个零点点的判断自自然会涉及及到函数的的图象和性性质，对函函数零点问问题的考查查，涉及的的知识面之之宽、方法法之多、灵灵活性之大大都是可以以想像的．．1．(2009年山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点点，则实数数a的取值范围围是________．【解析】设函数y=ax(a＞0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有两个零点点，就是函函数y=ax(a＞0，且a≠1)与函数y=x+a有两个交交点，由由图象可可知当0＜a＜1时两函数数只有一一个交点点，不符符合；如如图所示示，当a＞1时，因为为函数y=ax(a＞1)的图象过过点(0,1)，而直线线y=x+a所过的点点一定在在点(0,1)的上方，，所以一一定