高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系

平面． 空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理

的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值

～

分．．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理必修

中学习综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法选修

－

中学习求角的大小．

独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现一般作为第一问，分值

～

分．第

课时 平面知识点一 平面概念

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的画法 ，且横边长等于邻边长的

倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来一个希腊字母：如α，β，γ

等；表示 方法 个顶点；．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．直线在平面内的概念如果直线

l

上的所有点都在平面α

内，就说直线l

在平面

α

内，或者说平面

α

经过直线

l一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示

文字语言表达

图形语言表达∈l 点

在直线

l

上∉l∈α∉α

点

在直线

l

外点

在平面

α

内点

在平面

α

外l⊂αl⊄αl∩m＝α∩β＝l

直线

l

在平面

α

内直线

l

在平面

α

外直线

l，m

相交于点β平面

α，

相交于直β线

l知识点二 平面的基本性质公理 内容 图形 符号如果一条直线上的公理

两点在一个平面内，

∈l，∈l

且

∈α，那么这条直线在此

∈α⇒l⊂α平面内过不在同一条直线 ，，

三点不共线公理

⇒存在唯一的平面α一个平面 使

，，∈α如果两个不重合的平面有一个公共点，公理 那么它们有且只有一条过该点的公共

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l

且

P∈l直线公理

的作用：①用直线检验平面常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆经常被用于立体几何的说理中．．公理

的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理

中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．．公理

的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题.公理

3

强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．小试身手．判断下列命题是否正确.

正确的打“√”，错误的打“×”空间不同三点确定一个平面． 空间两两相交的三条直线确定一个平面． 和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内． ☆答案☆：× × √．经过空间任意三点作的平面 A．只有一个 B．只有两个．有无数个 ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能作一个平面．☆答案☆：．如果⊂α，b⊂α，l∩＝，l∩b＝，那么下列关系成立的是 A．l⊂α B．l∉α．l∩α＝ ．l∩α＝解析：∵l∩＝

又

⊂α，∴∈l

且

∈α.同理

∈l

且

∈α.∴l⊂α.☆答案☆：A

、、

、

A．、、、

四点中必有三点共线B．、、、

四点中不存在三点共线．直线

与

相交．直线

与

平行解析：、、、

四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线

与

既不平行也不相交，否则

、、、

共面．☆答案☆：B类型一 平面,例

面图形都可以表示平面；③平面

的面积为

；④空间图形中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】

面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】 ②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段无端点来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练

如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是 解析：对于①，图中没有画出平面

α

与平面

β

的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：①∈α，∉α；②∈α，m∩α＝，∉l，l⊂α；③P∈l，P∉α，∈l，∈α；用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面

α，β，γ

相交于一点

P，且平面α

与平面

β

相交于

，平面

α

与平面

γ

相交于

，平面

β

与平面

γ

相交于

PC；②平面

与平面

相交于

，平面

与平面

相交于

.【解析】 ①点

在平面

α

内，点

不在平面

α

内；②直线

l

在平面

α

内，直线

m

与平面

α

相交于点

，且点

不在直线

l

上；③直线

l

经过平面

α

外一点

P

和平面

α

内一点

.图形分别如图①②③所示．①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面

∩平面

＝，平面

∩平面＝.图形表示如图⑤所示.lA∈α，

⊂α”中

A

视为平面

α(集合内的l点元素，l(集合视为平面

α(集合内的直线子集．方法归纳用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练

根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：________平面，________平面，________平面，平面

∩平面

＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ 根据符号的含义进行判断或转化

.类型三 平面性质的应用例

如图，

在平面

α

外，∩α＝P，∩α＝，∩α＝.求证：P，，

三点共线．【证明】 方法一 ∵∩α＝P，∴P∈，P∈α.又

⊂平面

，∴P∈平面

.由公理

可知点

P

在平面

与平面

α

的交线上，同理可证

，

也在平面

与平面

α

的交线上，∴P，，

三点共线．方法二 ∵∩＝，∴直线

与直线

确定平面

.又

∩α＝P，∩α＝，∴平面

∩α＝. ∴∵∈平面

，∈平面

，

⊂平面

.∵∈，∴ ∴平面

，又

∈α，∴∈，∴P，，

三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．证明点、线共面问题的理论依据是公理

和公理

，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②

α平面

β，再证平面

α

与

β

重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练

如图，三个平面

α、β、γ

两两相交，α∩β＝，β∩γ＝，γ∩α＝b，若直线

和

b

不平行，求证：，b，

三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝，∴⊂γ，b⊂γ，∵

与

b

不平行，∴与

b

必相交，设

∩b＝P，则

P∈，P∈b，∵⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又

α∩β＝，∴P∈，即交线

经过点

P.∴、b、

三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.

常结合公理

，证明该点在不重第三条直线共点.基础巩固

分钟，

分一、选择题每小题

分，共

分．若点

M

在直线

上，

在平面

α

内，则

M，，α

间的关系可记为 A．M∈，∈α B．M∈，⊂α．M⊂，⊂α ．M⊂，∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知

B

正确．☆答案☆：B．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是 A．① B．②．③ ．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于

④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：．下面空间图形画法错误的是 解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点

，，，

共面，点，，，E

共面，则点，，，，E

共面；③若直线

，b

共面，直线

，

共面，则直线

b，

共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是 A． B．． ．解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以

①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点，，，但，，，，E

不共面；③显然不正确；④可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B

，，，

上分别取

E，F，，

四点，如果

，EF

交于一点

P，则 A．P

一定在直线

上B．P

一定在直线

上．P

在直线

或

上．P

既不在直线

上，也不在

上解析：由题意知

⊂平面

.因为

，EF

交于一点

P，所以P∈平面

.同理，P∈平面

.因为平面

∩平面

＝公理

可知点

P

一定在直线

上．☆答案☆：B二、填空题每小题

分，共

分．设平面α

与平面

β

相交于直线

l，直线⊂α，直线b⊂β，∩b＝M，则点

M

与

l

的位置关系为________．解析：因为

∩b＝M，⊂α，b⊂β，所以

M∈α，M∈β.又平面

α与平面

β

相交于直线

l，所以点

M

在直线

l

上，即

M∈l.☆答案☆：M∈l②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：∉α，⊂α：________.α∩β＝，P∉α，且

P∉β：________.⊄α，∩α＝：________.α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝b，∩b∩＝：________.☆答案☆：③ ④ ① ②三、解答题每小题

分，共

分．完成下列各题：将下列文字语言转换为符号语言．①点

在平面

α

内，但不在平面

β

内；②直线

经过平面

α

外一点

M；③直线

l

在平面

α

内，又在平面

β

内即平面

α

和平面

β

相交于直线

l．将下列符号语言转换为图形语言．①⊂α，b∩α＝，∉；②α∩β＝，⊂α，b⊂β，∥，b∩＝P.解析：①∈α，∉β.②M∈，M∉α.③α∩β＝l.①同理，EF⊂同理，EF⊂平面

，∴∈平面

，又∵平面

∩平面

＝，

－

M、N、E、F

分别是棱

、、、上的点，若MN

与

EF

交于点

，求证：、、

三点共线．证明：∵MN∩EF＝，∴∈直线

MN，∈直线

EF，N∵M∈直线

，

∈直线

，⊂平面

，⊂平面

，N∴M、N∈平面

，∴MN⊂平面

，∴∈平面

. ∴∈直线

，即

，，

三点