高等数学基础-2017高数讲义

主讲：张宇张宇：名师，博士，著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨育《入学统一考试数学考试参考书（大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（15分钟主旨。首创“题源教学法”，对欢迎使用 TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲极 第二讲高等数学的基本概念串 第三讲高等数学的基本计算串 第四讲高等数学的基本定理串 第五讲微分方 第六讲多元函数微积分初 第一讲极限考点概述一、极限的定义lim是什么？lim是什么？ ①x”xxxxxxxxx sinxsin1 x【例】计算

xsinxsinxsin1 sinxsin1

0（|k|为充分大的正整数 x x使 在该点没有定义，故lim 不存在xsinx

xsinx极限的定义limf(xA0,0,当0

xx0时，恒有f(xA1limxa0,N0nNxan （1）0，X0xX时，恒有

f(xAe10”是“

f(x)A”“正整数N正整数K0limf(x)A”

xx0

时，恒有f(xA1 二、极限的性质唯一性xlimexlimex0（2）limsinx不存在（3）limarctanx不存在x

11 kI

karctankIx0 xex 2局部有界性f(x

|x|sin(xx(x1)(x

在下列哪个区间内有界（ (0,) 【注】函数有界性判别法总结如下理论型判别—f(x在闭区间[abf(x)在闭区间[ab]计算型判别—f(x在开区间(abxa

fxxb

f(xf(x在开区间(ab内有界x

f(x)，则局部保号性若limf(xA0xf(x0【例】设limf(x)f(0)，且 f 2，则x0 x01cos极大值点（B）极小值点（C）不是极值点（D）三、极限的计算函数极限的计算

2sinx(sinx tan3313x13x31 00

0ex2e22cos 2】求limlnxln(1第二s

2【例】求极限lim( x0sin2 41 1】求lim(x

1x2)12】求极限lim(tanxcosxsinxsinxx1x3o(x3)arcsinxx1x3o(x36tanxx1x3o(x3)arctanxx1x3o(x33cosx11x21x4o(x4 ln(1x)x1x21x3o(x3 ex1x1x21x3o(x3 (1x)1x(1)x2o(x225B11x1x

2与cxk为等价无穷小，求ckp(xabxcx2dx3x0p(xtanxx3为同阶无穷小，求a,b,c,d.数列极限的计算xn连续化，转化 61)准则，2)定积分定义 3)利用幂级数求和（仅数学一要求 【例】lim nnn nn nn 【例】设a0,x10,xn1 (2xn 2

n ，证明

}收敛并求limnx

四、连续与间断limf(x)f(x0)

f(xxx0limf(x

f 700

f(x)00

f(x)f(x0limf(x

f(x) limf(x

f(x ln(1ax3),xxarcsin【例】设f(x) ,xeaxx2ax

xsin

,x f(xx0x0f(x的可去间断点8第二讲高等数学的基本概念串讲一、一元函数微分需的概念及使用考查导数定义的基本形式

ln(12x)2xf【例】设0，f(x)在[,]上有定义，f(0)1,且满足lim 0 xf(0)f(0)考查导数定义中增量的广义化【例】设f(0)0，下列命题能确定f(0)存在的是 （A）

f(1

存

f(1ehh

f(h

存 （D）

f(2h)fh9二、一元函数积分学的概念及其使不定积分、变限积分和定积分不定积分原函数与不定积分．FxfxFxfxI上的一个原函数称f(x)dxF(x)fxI上的不定积分，其中C为任意常数fxf(x所定义的区间x1fx在[abF(xaf(t)dt在[ab上可导，Fx)fx)（本题即为变限积分函数求导的知识点）.x2fx在包含该间断点的区间内必没有原函数Fx).f(x)2xsin1cos1 x0, x其在(,x0，但是它在(,) 1x

x x

即，对于(,上任一点都Fxfx成立综合以上几点，可以得出重要结论：可导函数Fx)求导后的函数Fxfx不一定积分存在定理定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性.这里的“常数”的“反常”积分有所区别.在本讲中所谈到的可积性都是指的常义可积性.bb【例】在区间1,2上，以下四个结①f(x)

xx01,x2xsin12cos1,x②f(x)

,x

1,x③f(x)

2xcos1sin1,x④f(x)

,x

反常积分无穷区间上反常积分的概念与敛散性 xa① f(x)xa

f(x)dx

f若上述极限存在，则称反常积分 f(x)dx收敛，否则称为发散b②b

f(x)dx

f(x)dx bfbabb若上述极限存在，则称反常积分f(x)dx收敛，否则称为发散b ③f(x)dx的定 f(x)dx f(x)dxf若右边两个反常积分都收敛，则称反常积分（2）函数的反常积分的概念与敛散

f(x)dxb 若b是f(x)的唯一奇点， 函数f(x)的反常积分af(x)dx定义为 f(x)dx

f 0b若上述极限存在，则称反常积分af(x)dx收敛，否则称为发散b 若a是f(x)的唯一奇点， 函数f(x)的反常积分af(x)dx定义为 f(x)dxlim f 0

b若上述极限存在，则称反常积分af(x)dx收敛，否则称为发散b③若c(a,b)是f(x)的唯一奇点， 函数f(x)的反常积分af(x)dx定义 af(x)dxaf(x)dxcfb若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分af(x)dx收敛，否则称为发散第三讲高等数学的基本计算考点概述一、一元函数微分学的基本计算四则运算fxgxg2fxgg2

fxgfxgxfxgg g

fxgxf dfxgxdfxdfxgxgxdfxf f gxdfxf gx g2 复合函数求导sin2【例】y x，求反函数求导yf(x),f(x0xy，则ydx1

1f参数方程求导dydxx dydx设函数yy(x)由y(t)确定，t为参数，则dx dxxdx【例】设函数由ysin2隐函数求导x(1y 1【例】设yf(x)是由方程yx 所确定的，求limnf 1 n 对数求导法5【例】y 5幂指函数求导高阶导数（1）(uv)(n)u(n)v( C k(nk)(knkyf(xf(n)(x yf(x) 0(xx0yf(x)

f(n)yf(xf(n)(0),f(n)(x0yx3sinxy(6)(0参数方程确定的函数的二阶导数xyy(x由参数方程y(t确定，其中tdydxdy dydxd2

dd

(t)(t)(t) dx 反函数的二阶导数yf(xf(xyx,yxy(xy0)ydy1 d2

dy 1 1d d dxy dx yy

xyy 2

(xy F(x) 2(x f(x)(x)f(ftt 1(x

基本初等函数的导数公式c dcxxsinxcos

（实常数） dsinxcos

（实常数cosxsintanxsec2cotxcsc2

secxsecxtancscxcscxcotdcosxsinxdxdtanxsec2xdx

dcotxcsc2dsecxsecxtandcscxcscxcot

x xln

a0,a1 dlogax

a0,alnxxex

dlnx1xdaxaxlnadxa0,adexex1xarcsinx darcsinx1x11x1xarccosx1xarctanx

darccosxdarctanx

11x1x 1xarccotx 1x

darccotx 1xx dx x2a2x dx x2ax2a x2alnx

dlnx

x2a2 x2x2ax2a凑微分法（1）基本思想f[g(x)]g(x)dxf[g(x)]d[g(xfdf(u)du的形式，则凑微分f②当被积函数可分为f(x)g(x)

f(xf(x求导数（的有exxsinxcosxcos2xsin)【例】求cosx(1cosxesinx)换元法ug1(基本思想f(x)dxxg(u)fug1(

f ugug1(f[g(u)]g(u)duf[g(u)]g(u容易积分，a2 xasina2

a2 xatant,ta2 x2xasect,0x2 ax2ax2bx

(x

2(x)2(x)kk222(x)knaxaxcxaebxnaxaxcxaebx*naxlax *naxlax1 tn⑤复杂函数的直接代换——当被积函数中含有ax，ex，lnx，arcsinx，arctanx等时，可考虑直接令复杂函数t，值 的是，当lnx，arcsinx，arctanx与P(x)或eaxn(2x(2x1)34x分部积分法 udvuvvdu，一目了然，这个方法主要适用于“求udv比 11有理函数积分Q定义形如Qm

Q方法先将Qm(x)Qm

A②Q(x)的k重因式(axb)k产生k项，分别为A1 ； ax Ax

(ax

(axQm(xpxqxrpx2qxrQm(xk重二次因式px2qxrkkA1xB1 A2x Akx .px2qx

(px2qx

(px2qxx2ax关于定积分的计算x2 121【例1】设f(x)1 dt，求0xf(x)dx121e12e12

lnxdx，

12I1

2(x3sin2x)cos2xdx2, n1n 1,

【注】2sinnxdx2cosnxdx n 2

, n ,

x2三、应用f(xx0nf(x00f(nx0,(n20

f(x0)

f(n1)(x0)0f(nx0x nf(nx0x yy(xy(42y5yyecosxy(2)y(2y(2)0xf(xx0nf(x00f(nx0,(n30

(x0)

f(n1)(x)00【例】设y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4，则其拐点为 0 （C） limf(xxalimf(xbyblimyxlim(f(x)kx)4x24x2

ln(21)的渐近线 x 若给出[ab]，找三类点1）f(x0x0（驻点）f(x不存在x1（不可导点f(x0f(x1),f(a),f(b【注】若给出(a,b)，则端f(xex2sinx2by2(x)y1(x)S1r2r22 1）Vbf2 b2）Vya2xf(x)bx ye2sinxx0xDDx转一周所得旋转体体积V第四讲高等数学的基本定理涉及函数f(x)的中值定理f(x在[ab上连续，则1（有界定理

f(x)M(M2（最值定理）mf(xMmMf(x在[ab上的最小值与最大3（介值定理）mM[ab]f(4（零点定理）f(af(b0(abf(05（费马定理

(1)f(x0点处 (2)取极 6（罗尔定理(3)f(a)=f7（拉格朗日中值定理设f(x)满足两(1)[ab]上连

(abf(bf(af()(b (2)(a,

f(b)f.b8（柯西中值定理

f(b)f f((3)g(x)f(xg(x满足(2)(ab)内可导，则(abg(bg(a)(3)g(x)9（泰勒公式 f(n1)( f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

(x0)(xx0)

(n

(xx0 xx0f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)2 1f(n)(x)(xx)no((xx)n ff f(n1)(①f(x)f(0)f(0)x x2 x xn1 (n②f(x)f(0)f(0)x

f(0)x2

f(n)(0)xn

o(xn)①eu1u1u2 1uno(un).②sinuu

3

o(u2n1) 2n n ③cosu1

o(u)1④11⑤1

1uu2 uno(un)1uu2 1n1uno(un) n ⑥ln1uu

)n 1 n ⑦1u1u u

uo(u)1f(x在[ab上连续，则至少存在[ab]baf(x)dxf()(ba)bf(21f(x)dx0 3f(x在[0上的一阶导函数连续，在(0f(00 ) 第五讲微分方一、概念及其使用微分方程：F(x,y,y,y ,y(n))y1y2yp(xyq(xy1y2是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，求形如：

f(x,y)g(x)h(dy

g(x)dxh(y)ysinxdxcosxdy0 y

yf( 令u，则yux, duxu

ff(u) f(u) xdyy(lnylnx)dx3.yp(xy两边同乘积分因子epx)dxep(x)dxyp(x)yep(ep(x)dxyep(x)dxq(x)dxyep(x)dxep(x)dxq(x)dx

y

的通解 2第六讲多元函数微积分(xx)2(yy上（这样的点严格来说叫做聚点）.如果存在常数A，对于任给的正数，总存在正数，只要点P(x,y)D满足0PP0 ，恒有f(xx)2(yyy

f(xyA【例】lim(x

y 连续y

f(xy)f(x0y0f(xy在点(x0y0【注】若上式不成立(x0,y0)为不连续点，但不讨论间断类2zf(xy在点(x0y0limf(x0 x,y0)f(x0,y0 zf(xy在点(x0y0x

zxxf(xyxx0y

xxy

y

f(x,y)limf(x0 x,y0)f(x0,y0)limf(x,y0)f(x0,y0)

x xf(x,y)limf(x0,y0 y)f(x0,y0)limf(x0,y)f(x0,y0)

y

y yx2【例】设f(x,y) ，求f(0,0)，fx2 可定义3如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量zf(x x,y y)f(x,y)

(x)2z x y(x)2其中，A,B不依赖于x， y而仅与x,y有关，则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微， x y为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz x y(x2y2)f(xy

(x,y)(0,x2x2 (x,y)(0,fx(0,0)，fy(0,0)，并讨论f(x,y在点(0,0)处是否可微多元微分法 z z设zf(u,v)，u(t)，