2023年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题训练（附答案）1．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG＝DE；（2）若点G为CD的中点，求的值；（3）在（2）的条件下，求的值．2．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，D是边AC上一动点（不与点A、C重合），CE⊥BD，垂足为E，交边AB于点F．（1）当点D是边AC中点时，求DE，EC的值；（2）设CD＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△EFD与△EFB相似时，求线段CD的长．3．如图△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，射线AD平行于BC，点P、Q分别是射线AD与边AB上的两个动点，且保持AP＝BQ，过点P作AC平行线分别交AB、BC于点E、F（1）设AP＝x，AE＝y，试求y关于x的函数关系式；（2）当△APQ为直角三角形时，求AP的长；（3）联结FQ，问：是否可能使△APQ与△BQF相似？若能．请求出此时AP的长；若不能，请说明理由．4．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝15cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒（1）当t＝4时，求线段PQ的长度（2）当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？（3）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？（4）当t为何值时，△PCQ∽△ACB．6．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）（1）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．（2）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝8，CE＝6，则DE的长为．7．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上的一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为，求x的值（可利用①的结论）8．在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD．（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，若∠BCD＝60°，∠ABC＝90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF＝60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；（3）如图3，在（2）的条件下，若EF⊥CD，直接写出的值．9．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EFGH；（填“＞”“＝”或“＜”）（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．10．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．11．在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．（1）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCH是菱形；（2）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．12．（1）问题解决如图（1），AD是等边三角形△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，交边AB于点M，交射线AC于点N，试证明：△AMN∽△DMA；（2）问题变式如图（2），AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM＝xAB，AN＝yAC（x，y≠0）．求证：x+y＝2xy；（3）问题拓展如图（3），AD是△ABC的中线，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG＝nAD，AM′＝x′AB，AN′＝y′AC（x′，y′≠0），试探究x′、y′之间的数量关系？并说明理由．13．已知AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α．（1）如图1，α＝60°，探究线段CE与AD的数量关系，并加以证明；（2）如图2，α＝120°，探究线段CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，结合上面的活动经验探究线段CE与AD的数量关系为．（直接写出答案）．14．在平行四边形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于F点．（1）如图1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的长；（2）如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求证：；（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，CC′交BD于点M，对角线AC、BD交于点O，连接OC'交AD于点G，求AG的长．15．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点P．（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE＝2，CE＝3，求线段PM的长度；（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．16．（1）【问题发现】如图1．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，易知△ACF∽△BCE，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE、CE、AF、请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为2时，当正方形CDEF旋转到B、E、F点共线时，直接写出线段AF的长．17．阅读下面材料：数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB＝AD，E为对角线AC上一点，∠BEC＝∠BAD＝2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB＝∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”；…老师：“保留原题条件，如图2，AC上存在点F，使DF＝CF＝kAE，连接DF并延长交BC于点G，就可以求的值”．（1）求证：∠ACB＝∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF＝CF＝kAE，求的值（用含k的代数表示）．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P为边BC上的一动点（不与点B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，联结MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图1，连接BN，当点P为边BC的中点时，求∠MBN的大小及的值；（2）联结FP，设CP＝x，S△MPF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域：（3）联结AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．19．阅读下列材料，并按要求解答．[模型介绍]如图①，C是线段AB上一点，E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K”，我们称图①为“K”型图．[性质探究]性质1：如图①，△ACE∽△BFC；[模型应用]应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．（1）请你完成性质1的证明过程；（2）请解答模型应用提出的问题．20．定义：如图1，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点P为△ABC内一点，若∠ABP＝∠PCB（或∠PBC＝∠ACP），则称点P为等腰△ABC的底角准卡点．（1）如图2，△ABC中，若∠BAC＝90°，AB＝AC，连接AP，∠BPA＝90°．（Ⅰ）若P是底角准卡点．求证：△BPC∽△CPA；（Ⅱ）若AP：BP＝1：2，求证：点P是底角准卡点．（2）如图3，点P是等腰△ABC底角准卡点，AB＝AC．过点A作AD∥BC交BP延长线于点D，连接CD，M是BC的中点，连接PM．求证：∠BPM＝∠ADC．

参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DF，∴∠BFD＝90°＝∠BCD，∴∠CBG＝∠CDE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG＝DE；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴点G是CD中点，∴AB＝CD＝2CG，∵AB∥CD，∴△CHG∽△AHB，∴＝，∴；（3）设CG＝DG＝a，则BC＝2a，BG＝a，∵∠BCG＝∠DFG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴△BCG∽△DFG，∴，∴，GF＝a，由（2）知，HG＝BG＝a，∴＝．2．解：（1）如图1，∵AC＝4，D是AC的中点，∴DC＝AC＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∴BD＝＝，∵BD⊥CF，∴S△BCD＝CD•BC＝BD•CE，2×3＝CE，CE＝，由勾股定理得：DE＝＝＝；（2）如图2，过F作FN⊥AC于N，由勾股定理得：AB＝5，∵FN∥BC，∴△ANF∽△ACB，∴＝，∴，∴FN＝，同理AN＝，∵∠NCF＝∠CBD，∠FNC＝∠DCB＝90°，∴△FNC∽△DCB，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜4）；（3）∵∠DEF＝∠BEF＝90°∴△EFD与△EFB相似，要分两种情况：①当△DEF∽△BEF时，如图3，∴∠FDE＝∠FBE，∴BF＝DF，∴DE＝BE＝CE，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∴DC＝BC＝3，②当△DEF∽△FEB时，如图4，∴∠FDE＝∠BFE，∠DFE＝∠FBE，∵∠FDE+∠DFE＝90°，∴∠DFB＝90°，∴∠DFA＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AFD∽△ACB，∴，∴，5y＝16﹣4x①，由（2）知：y＝②，由①②得：，2x2+9x﹣18＝0，（2x﹣3）（x+6）＝0，x1＝，x2＝﹣6（舍），∴CD＝，综上所述，当△EFD与△EFB相似时，线段CD的长是或3．3．解：（1）∵AC∥PF，AP∥CF，∴四边形ACFP是平行四边形，∴AP＝CF＝x，BF＝6﹣x，∵AE＝y，AB＝5，∴BE＝5﹣y，∵AP∥BF，∴＝，∴＝，∴y＝x．（2）作AH⊥BC于H．∵AC＝AB，AH⊥CB，∴CH＝BH＝3，∴AH＝＝4，∴cos∠B＝，①当∠APQ＝90°时，∵AP∥BC，∴∠PAQ＝∠B，∴cos∠PAQ＝cos∠B＝＝，∴＝，解得x＝．②当∠AQP＝90°，易知cos∠PAQ＝＝，∴＝，解得x＝，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长为或．（3）连接FQ．∵AP∥BC，∴∠PAQ＝∠FBQ，∴当＝，△APQ与△BQF相似∴＝，方程无解，此种情形不存在．当＝，△APQ与△BQF相似∴＝，解得x＝，∴当PA＝时，△APQ与△BQF相似．4．（1）证明：∵ED＝BD，∴∠B＝∠2，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°．∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠A＝∠1，∵∠EGF＝∠AGE，∴△EFG∽△AEG；（2）解：作EH⊥AF于点H，如图1，在Rt△ABC中，AB＝＝2，∵△EFG∽△AEG，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴Rt△AEF∽Rt△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴＝＝＝，∴EG＝2x，AG＝4x，∴AF＝AG﹣FG＝3x，∴EF＝x，AE＝x，∵EH∥BC，∴＝＝，即＝＝，∴EH＝x，AH＝x，∴y＝FG•EH＝•x•x＝x2（0＜x≤），（3）解：CG＝AG﹣AC＝4x﹣4，GH＝AG﹣AH＝4x﹣x＝x，当ED＝EF＝x时，如图1，则BD＝DE＝x，∴DC＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；当DE＝DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM＝EF＝x，∵∠DEM＝∠A，∴△DEM∽△BAC，∴＝，即＝，解得DE＝x，∴BD＝DE＝x，∴CD＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；当FE＝FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN＝DN，∵∠NEF＝∠A，∴△NEF∽△CAB，∴＝，即＝，解得EN＝x，∴DE＝2EN＝x，∴BD＝DE＝x，∴CD＝2﹣x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；综上所述，FG的长为或或．5．解：（1）当t＝4时，由运动知，AP＝4cm，PC＝AC﹣AP＝6cm、CQ＝2×4＝8cm，∴PQ＝＝10cm；（2）由运动知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∵△PCQ是等腰三角形，∴PC＝CQ，∴10﹣t＝2t，∴t＝；（3）由运动知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∴S△PQC＝PC×CQ＝t（10﹣t）＝16，∴t1＝2，t2＝8，当t＝8时，CQ＝2t＝16＞15，∴舍去，∴当t＝2时，△PQC的面积等于16cm2；（4）由运动知，AP＝t，PC＝AC﹣AP＝10﹣t、CQ＝2t，∵△PCQ∽△ACB，∴，∵AC＝10，BC＝15，∴，∴t＝．6．解：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△DCP．（1）探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD，（2）拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，∴，∵点P是边BC的中点，∴BP＝CP＝4∵CE＝6，∴，∴BD＝，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥BC且AC＝BC＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣＝，AE＝AC﹣CE＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝．故答案是：．7．解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）存在．理由如下：如图1，连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE＝∠BCE＝90°，∴KD＝KB＝KE＝KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBE＝∠DCE，∠EDC＝∠EBC，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°．①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DBE＝∠DCE＝∠EDC＝∠EBC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①证明：由（2）可知，当E在线段CO上或在OC的延长线上时，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBE＝∠DCO＝30°，∴tan∠DBE＝，∴＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x（0＜x＜4），∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为[]2＝（x2﹣6x+12），∴当矩形BDEF的面积为时，有（x2﹣6x+12）＝，解得x1＝2，x2＝4（不合题意），∴x的值为2．8．（1）证明：如图1中，连接BD、AC．∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC是线段BD的垂直平分线，即AC垂直平分线段BD．（2）如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADM．连接AC交BD于O．∵B、D关于AC对称，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAM＝60°，∴∠FAE＝∠FAM，∵∠ADM＝∠ABE＝90°＝∠ADF，∴F、D、M共线，∵FA＝FA，AE＝AM，∴△FAE≌△FAM，∴∠AFE＝∠AFM，∵∠CAD＝∠CAB＝60°＝∠EAF，∴∠GAO＝∠DAF，∵∠AGO+∠GAO＝90°，∠AFD+∠FAD＝90°，∴∠AGO＝∠ADF，∴∠AGH＝∠AFE，∵∠GAH＝∠FAE，∴△AGH∽△AFE．（3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°，由（2）可知∠AFD＝∠AFE＝∠AGO＝45°，∵∠ADF＝90°，∴AD＝DF，设HM＝AM＝a，则DH＝2a，DM＝a，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，AD＝（1+）a，∴CD＝BD＝AD＝（3+）a，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，AD＝（1+）a，∴AO＝OG＝AD＝a，OD＝OA＝a，∴OH＝OD﹣DH＝a﹣2a＝a，∴GH＝OG+OH＝a，∴＝＝．9．解：（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AD∥BC．AB＝BC，∠ABP＝∠C＝90°∴四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，∴AP＝GH，EF＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠PBT+∠ABT＝90°，∠ABT+∠BAT＝90°，∴∠CBQ＝∠BAT，在△ABP和△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∴EF＝GH，故答案为＝．（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴＝，∴＝；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得＝，设SC＝x，则AR＝BS＝3+x，∵∠ADC＝∠R＝∠S＝90°，∴∠ADR+∠RAD＝90°，∠ADR+∠SDC＝90°，∴∠RAD＝∠CDS，∴△ARD∽△DSC，∴＝＝＝＝，∴DR＝x，DS＝（x+3），在Rt△ARD中，AD2＝AR2+DR2，∴7.52＝（x+3）2+（x）2，整理得13x2+24x﹣189＝0，解得x＝3或﹣，∴AR＝6，AB＝RS＝，∴＝＝．10．解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，∴AB＝6，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t＝；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC，∴，∴∴t＝1（3）不存在，理由：由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ＝BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t＝，PQ＝，∴BP＝2t＝3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．11．（1）证明：∵CG∥AD，AH∥CD，∴四边形ADCH是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD，∴四边形ADCH是菱形；（2）解：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠FCD，∴△ABC∽△FCD；（3）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵AD＝AC，∴DM＝CM，∴BD：BM＝2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AM，∴△BDE∽△BMA，∴ED：AM＝BD：BM＝2：3，∵DE＝3，∴AM＝4.5，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝（）2＝．∵S△ABC＝×BC×AM＝×8×4.5＝18，∴S△FCD＝S△ABC＝．12．证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，AD是等边三角形△ABC的中线，∴∠MAD＝30°，∠ACD＝60°，∵将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，∴∠CDN＝30°，DCN＝120°，∴∠ANM＝30°，∵∠AMD＝∠NMA，∴△AMN∽△DMA；（2）如图2，作CF∥AB交MN于点F，∴△CFN∽△AMN，∴＝，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵CF∥AB，∴∠DBM＝∠DCF，∠DMB＝∠DFC，在△CFD和△BMD中，，∴△CFD≌△BMD（AAS），∴BM＝CF．∴＝＝，∴＝，即＝，∴x+y＝2xy；（3）x′、y′之间的数量关系为：nx′+ny′＝2x′y′．理由如下：如图3，过点D作M′N′的平行线，交直线AB于点M，交直线AC于点N，则＝＝，设AM＝xAB，AN＝yAC，∴＝n＝，即x＝，y＝，由（2）知x+y＝2xy；∴+＝．即nx′+ny′＝2x′y′．13．（1）CE＝AD，理由为：证明：连接BC，BE，如图1所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α＝60°，∴△ABC与△BDE都为等边三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，DB＝BE，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD；（2）CE＝AD，理由为：连接BC、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，如图2所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α＝120°，∴△ABC与△DBE为相似的等腰三角形，即∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，且＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝，在Rt△ABF中，由∠ABF＝30°，得到∠BAF＝60°，∴＝＝2sin60°＝，∴＝，即CE＝AD；（3）CE＝2ADsin．理由为：连接BC、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，如图3所示，∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α，∴△ABC与△DBE为相似的等腰三角形，即∠ABC＝∠DBE＝＝90°﹣，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，且＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝，在Rt△ABF中，由∠ABF＝＝90°﹣，得到∠BAF＝，∴＝＝2sin，∴＝2sin，即CE＝2ADsin．故答案为：CE＝2ADsin．14．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，∵BE＝5，∴EC＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，∵∠DEF＝90°，∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠BEF＝∠EDC，∴△EBF∽△DCE，∴＝，∴＝，∴BF＝．（2）证明：如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，则△BEG为等边三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝60°，∴∠EGF＝180°﹣∠BGE＝120°．∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，∴∠C＝120°＝∠EGF，∴∠CED+∠CDE＝60°．∵∠DEF＝60°，∠BEG＝60°，∴∠GEF+∠CED＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠CDE＝∠GEF，∴△CDE∽△GEF，∴＝，∵BE＝GE，∴＝．（3）解：如图3中，由题意得，BD为线段CC'的垂直平分线，设CC'与BD交点为M，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，∴BD＝＝10，OC＝AC＝BD＝5，CM＝＝，∴OM＝＝，∵点O为AC的中点，点M为CC'的中点，∴AC′＝2OM＝，且AC'∥BD，∴△AGC'∽△DGO，∴＝＝＝，∴AG＝•AD＝．15．解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABP+∠CBF＝90°∴∠BAE+∠ABP＝90°∴∠APB＝90°，∴AE⊥BF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC＝AD，由（1）知，AE＝BF，∵BE＝2，CE＝3，BE＝CF，∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝3，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝5，在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF＝＝＝，在Rt△APF中，∠APF＝90°，点M是AF中点，∴；（3）∵CQ⊥BF，∴∠BQC＝∠BCF＝90°，又∠CBQ＝∠FBC，∴△CBQ∽△FBC，∴，∵AB＝BC，BE＝CF，∴，∵△QAB∽△QEC，∴，∴，∴，∴BE＝CE，∴点E是BC中点．16．解：（1）BE＝AF，理由是：在Rt△ABC中，AB＝AC，根据勾股定理得，BC＝AB，又∵点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AB＝AD，∵四边形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD，∴AB＝AF，即BE＝AF，故答案为：BE＝AF；（2）BE＝AF．证明：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF；（3）∵S△ABC＝＝2，∴AB＝2，分两种情况：①当点E在线段BF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，②当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝，∴BE＝AF，∴AF＝+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点在同一直线上时，线段AF的长为﹣1或．17．（1）证明：∵∠BEC＝∠BAD，∠BAD＝∠BAE+∠DAE，∠BEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠DAE＝∠ABE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABE；（2）解：BC＝2AB，理由如下：证明：在BE上取点H，使BH＝AE，∵AB＝AD，∠HBA＝∠EAD，BH＝AE，∴△ABH≌△DAE（SAS），∴∠AHB＝∠AED，∵∠AHB+∠AHE＝180°，∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AHE＝∠DEC，∵∠BEC＝2∠DEC，∴∠BEC＝2∠AHE，∵∠BEC＝∠AEH+∠AHE，∴∠AEH＝∠AHE，∴AE＝EH，∴AE＝EH＝BH，∴BE＝2AE，∵∠ABE＝∠ACB，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝＝，∴BC＝2AB；（3）解：如图2，连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K，∵AD＝AB，∴DK＝BD，∠AKD＝90°，∵AD＝AB＝BC，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADK＝∠CBD，∴△ADK∽△CBD，∴∠BDC＝∠DKA＝90°，∵DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵∠BDC＝90°，∴∠FDC+∠QDF＝90°，∠DQF+∠FCD＝90°，∴∠QDF＝∠DQF，∴DF＝FQ，设AE＝a，则DF＝CF＝QF＝ka，∵AD∥BC，∴△DAQ∽△BCQ，∴＝＝，∴AQ＝CQ＝CF＝QF＝ka，∴AC＝3ka，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB＝＝a，同理：△AFD∽△CFG，∴＝＝2，∴FG＝DF＝ka，∴＝．18．解：（1）如图（1），连接BN，∵点P为边BC的中点，∴CP＝BP＝BC＝1，∵点P与点M关于AC对称，∴CM＝CP＝1∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵点P与点N关于AB对称，∴BP＝BN＝1，∠ABN＝∠ABC＝45°，∴∠MBN＝90°，BM＝CM+BC＝3∴＝；（2）如图（2），过点F作FG⊥BC，设PG＝m，∴BG＝BP﹣PG＝2﹣x﹣m，MG＝MP+PG＝2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG＝45°，∴FG＝BG＝2﹣x﹣m，在Rt△FMG中，tanM＝＝，在Rt△MNB中，tanM＝＝，∴，∴m＝，∴FG＝2﹣x﹣∴y＝S△MPF＝MP•FG＝×2x×[2﹣x﹣]＝（0＜x＜2）；（3）△AEF∽△BAM，理由：如图（3），连接AM，AP，AN，BN，∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，∴AM＝AP＝AN．∠MAC＝∠PAC，∠PAB＝∠NAB，∵∠BAC＝∠PAC+∠PAB＝45°，∴∠MAN＝∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB＝2（∠PAC+∠PAB）＝90°，∴∠AMN＝45°＝∠ABC，∵∠AFE＝∠ABC+∠BMF，∠AMB＝∠AMN+∠BMF，∴∠AFE＝∠AMB，∵∠EAF＝∠ABM＝45°，∴△AEF∽△BAM．19．（1）证明：如图①中，∵∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠F+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠F，∴△ACE∽△BFC；（2）解