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文档简介
2022-2023学年九年级数学中考复习《勾股定理的应用》解答综合练习题(附答案)1.生态兴则文明兴,生态衰则文明衰.“十三五”以来,青岛市坚持生态优先、绿色发展理念,持续改善生态环境.如图现有施工遗留的一处空地,计划改造成绿地公园,已知∠A=90°,AB=AD=3米,BC=10米,CD=8米,已知每平方米的改造费用为200元,请问改造该区域需要花费多少元?2.小亮用11块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD木板,截面如图所示.两木墙高分别为AE与CF,点B在EF上,求正方形ABCD木板的面积.3.如图,一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上,这时AO=3m,∠OAB=30°,梯子顶端A沿墙下滑至点C,使∠OCD=60°,同时,梯子底端B也外移至点D.求BD的长度.(结果保留根号)[补充:直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半]4.如图,四边形ABCD为某街心公园的平面图,经测量AC=BC=AD=80米,BD=80米,且∠C=90°.(1)求∠DAC的度数;(2)若直线CA为公园的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路CA的车辆通行情况,已知摄像头能监控的最大距离为80米,求被监控到的道路长度为多少米?5.为了提高人民群众的防疫意识,很多地方的宣讲车开起来了,大喇叭响起来了,宣传横幅挂上了,电子屏亮起来了,电视、广播、微信、短信齐上阵,防疫标语、宣传金句频出,这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心.如图,在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄,村庄A到公路MN的距离(AB的长)为800米,若在宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传,宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶.(1)请问村庄能否听到宣传?请说明理由;(2)如果能听到,已知宣讲车的速度是300米/分钟,那么村庄总共能听到多长时间的宣传?6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子拉直后,下端刚好接触地面,被拉直的绳子下端拉开5m(绳子下端与旗杆根部的距离),请你帮小明计算旗杆的高.7.《九章算术》中“勾股”一章有记载:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问葭长几何.其大意为:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,求芦苇的长度.(1丈=10尺)解决下列问题:(1)示意图中,线段AF的长为尺,线段EF的长为尺;(2)求芦苇的长度.8.《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”(注:1步=5尺)译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,问绳索有多长.”9.如图,一游船在水面上,河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸,开始时绳子的长BC为13m,工作人员以0.5m/s的速度拉绳子,10s后船移动到D点的位置(B,D,A三点在同一直线上),请你计算船向岸边移动的距离.(假设绳子是直的,结果保留根号)10.育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本,第一组的步行速度为30m/min,第二组的步行速度为40m/min,半时后,两组同学同时停下来,这时两组同学相距1500m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角;(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?11.一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛,再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛,A港到航线BM的最短距离是60km.(1)若轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3小时,求轮船速度.(2)C岛在A港的什么方向?12.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在图中AB所在的直线上建一图书馆,本社区有两所学校,分别在点C和点D处,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B.已知AB=25km,CA=15km,DB=10km.问:图书室E应建在距点A多少米处,才能使它到两所学校的距离相等?13.一棵高12m的大树被折断,折断处A距地面4.5m(点B为大树顶端着地处).在大树倒下的方向停着一辆小轿车,小轿车距大树底部C的距离为6.5m,倒下的大树会砸到小轿车吗?通过计算说明理由.14.学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC,其中AB=13米,BC=14米,AC=15米,AD⊥BC于点D,若BD的长度为x米.(1)在Rt△ABD中,AD2=,在Rt△ACD中,AD2=(用含x的代数式表示);(2)学校计划将这块空地建成一个花园,以美化校园环境,预计花园每平方米造价为60元,学校修建这个花园需要投资多少元?15.如图,北泉路OM和长春路ON相交成30°角;沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处坐落着向阳桥中学,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁100米内受到噪声影响,已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶,速度为5米秒.(1)向阳桥中学是否受到噪声的影响,并说明理由;(2)若向阳桥中学要受到噪声的影响,则这台拖拉机沿ON方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是多少?16.甲同学在拼图探索活动中发现;用4个形状大小完全相同的直角三角形(直角边长分别为a,b,斜边长为c,可以拼成像图1那样的正方形,并由此得出了关于a2,b2,c2.的一个等式.(1)请你写出这一结论:,并给出验证过程;(2)试用上述结论解决问题:如图2如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,分别以四边向外作正方形甲、乙,丙、丁,若甲的面积为30,乙的面积为16,丙的面积为17,求“丁”的面积.17.我市《道路交通管理条例》规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处,2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处.请问这辆小汽车超速了吗?若超速,请求出超速了多少?18.八(1)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测得下图风筝CE的高度,他们进行了如下操作:①测得BD的长度为24米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米;③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米.(1)求风筝的高度CE;(2)若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M(即CM=8米),则他往回收线多少米?19.如图,一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动,距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区,当轮船到A处时,测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处,且AB=40海里.若轮船以原方向、原速度继续航行,求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间.20.有一种落地晾衣架如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆低端的距离或者∠1的大小来调整晾杆的高度,图2是晾衣架的侧面的平面示意图,AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆,AO=70cm,BO=DO=80cm.(1)当BD=120cm,求交叉点O离地面的高度;(2)当∠1=90°时,较高支撑杆的高AE多高?
参考答案1.解:如图,连接BD,在Rt△ABD中,由勾股定理得,BD=(米),∵BD2+CD2=62+82=100,CB2=100,∴BD2+CD2=CB2,∴∠BDC=90°,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=+=9+24=33(平方米),∴200×33=6600(元),∴改造该区域需要花费6600元.2.解:∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEB=∠BFC=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°.∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBF=90°.∴∠EAB=∠CBF,∵AB=BC,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF(AAS),∴AE=BF=2×5=10(cm),∵CF=2×6=12(cm).在Rt△BCF中,BC2=BF2+CF2=102+122=244,∴S正方形ABCD=BC2=244cm2,即正方形ABCD木板的面积为244cm2.3.解:在Rt△ABO中,∵AO=3m,∠OAB=30°,∴OB==m,∴AB=2m,根据勾股定理知BO=,∵∠OCD=60°,∴∠ODC=30°,在△AOB和△DOC中,,∴△AOB≌△DOC(AAS),∴OA=OD,OC=OB,∴BD=OD﹣OB=3﹣.4.解:(1)∵AC=BC=AD=80米,BD=80米,∠C=90°.∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB===80(米),∠CAB=∠ABC=45°,∵BD=80米,在△ABD中,有AD2+AB2=802+(80)2=(80)2=BD2,∴△ABD是直角三角形,∴∠BAD=90°,∴∠DAC=90°+45°=135°;(2)过点D作DE⊥AC,交CA的延长线于E,作点A关于DE的对称点F,连接DF,如图:由轴对称的性质,得:DF=DA=80,AE=EF,由(1)知,∠CAD=135°,∴∠DAE=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,即AE=DE,在Rt△ADE中,有AE2+DE2=802,解得:AE=40(米),∴AF=80(米),∴被监控到的道路长度为80米.5.解:(1)村庄能听到宣传,理由:∵村庄A到公路MN的距离为800米<1000米,∴村庄能听到宣传;(2)如图:假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄,行驶QD点结束对村庄的影响,则AP=AQ=1000米,AB=800米,∴BP=BQ==600(米),∴PQ=1200米,∴影响村庄的时间为:1200÷300=4(分钟),∴村庄总共能听到4分钟的宣传.6.解:如图,AB表示旗杆,AC表示拉展的绳子,设AB的长是xm,则AC的长是(x+1)m,在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2,∴x2+52=(x+1)2,整理得:x2+52=x2+2x+1,解得:x=12,答:旗杆的高是12m.7.解:(1)由题意可得:AF=AB=5尺,EF=1尺,故答案为:5,1;(2)设芦苇长EG=AG=x尺,则水深FG=(x﹣1)尺,在Rt△AFG中,52+(x﹣1)2=x2,解得:x=13,则EG=13(尺),答:芦苇长13尺.8.解:设绳索有x尺长,由题意得:102+(x+1﹣5)2=x2,解得:x=14.5,即绳索长14.5尺.9.解:在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=13m,AC=5m,∴AB==12(m),∵此人以0.5m/s的速度收绳,10s后船移动到点D的位置,∴CD=13﹣0.5×10=8(m),∴AD===(m),∴BD=AB﹣AD=(12﹣)(m).答:船向岸边移动了(12﹣)m.10.解:(1)半小时以后,第一组的路程:30×30=900(m),第二组的路程:40×30=1200(m),∵9002+12002=15002,∴两组同学行走的夹角成直角;(2)设xmin后两组相遇,根据题意得30x+40x=1500,解得:x=(min).答:经过min后才能相遇.11.解:(1)由题意AD=60km,Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,得602+BD2=1002.∴BD=80(km).∴CD=BC﹣BD=125﹣80=45(km).∴AC==75(km).75÷3=25(km/h).答:轮船速度为25km/h;(2)∵AB2+AC2=1002+752=15625,BC2=1252=15625,∴AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°.∴∠NAC=180°﹣90°﹣48°=42°.∴C岛在A港的北偏西42°.12.解:设AE=xkm,则BE=(25﹣x)km;在Rt△ACE中,由勾股定理得:CE2=AE2+AC2=x2+152;同理可得:DE2=(25﹣x)2+102;若CE=DE,则x2+152=(25﹣x)2+102;解得:x=10.答:图书室E应该建在距A点10km处,才能使它到两所学校的距离相等.13.解:倒下的大树不会砸到小轿车,理由是:在Rt△ABC中,∵AC=4.5m,AB=12﹣4.5=7.5(m),∴BC===6(m).又∵6<6.5,∴倒下的大树不会砸到小轿车.14.解:(1)∵BC=14米,BD=x米,∴CD=(14﹣x)米,∴在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2=169﹣x2,在Rt△ACD中,AD2=AC2﹣CD2=152﹣(14﹣x)2=29﹣x2+28x,故答案为:169﹣x2,29﹣x2+28x;(2)在Rt△ABD与Rt△ACD中,∵AD2=AB2﹣BD2,AD2=AC2﹣CD2,∴169﹣x2=29﹣x2+28x,解得x=5,∴AD2=AB2﹣BD2=132﹣52=144,∴AD=12(米),∴学校修建这个花园的费用为:×14×12×60=5040(元).答:学校修建这个花园需要投资5040元.15.解:(1)向阳桥中学会受到噪声影响,理由:如图所示,过点A作AC⊥ON于点C,∵∠MON=30°,OA=160米,∴AC=OA=80米,∵80m<100m,∴向阳桥中学会受到噪声影响;(2)以A为圆心,半径长为100m画圆与ON交B,D两点,连接AB,AD,在B到D范围内,向阳桥中学都会受到影响,∴AB=AD=100米,由勾股定理得:BC===60(米),∴BD=2BC=120米,∴影响的时间应是:t==24(秒);答:拖拉机沿ON方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是24秒.16.解:(1)结论:a2+b2=c2.验证:∵阴影部分的面积=4×ab=2ab,阴影部分的面积=(a+b)2﹣c2,∴(a+b)2﹣c2=2ab,即a2+b2=c2.故答案为:a2+b2=c2.(2)连接AC,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,AD2+CD2=AC2,∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积,∵甲的面积为30,乙的面积为16,丙的面积为17,∴丁的面积为30+16﹣17=29.17.解:这辆小汽车
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