信息光学理论与应用(第2版)

北京邮电大学出版社（最新修改版）《信息光学》课件本课件所用教材：《信息光学理论与应用》

第2版王仕璠编著北京邮电大学出版社

2009年2月该书曾被教育部评为2009年度全国精品教材信息光学北京邮电大学出版社课件系列第2章标量衍射理论第1章二维傅里叶分析第3章光学成像系统的频率特性

第4章部分相干理论

第5章光学全息照相

第7章相干光学处理

第6章空间滤波

第8章非相干光学处理

第9章信息光学在计量学中的应用

第10章信息光学在光通信中的应用

目录第一章二维傅里叶分析

自20世纪40年代后期起，由于通信理论中“系统”的观点和数学上的傅里叶分析方法被引入光学，更新了传统光学的概念，丰富了光学学科的内容，并形成现代光学的一个重要分支—傅里叶光学。傅里叶光学促进了图像科学、光电子学、光纤通信和应用光学的发展，也是信息光学在各种应用领域中的数理基础。本章的重点是介绍傅里叶光学中广泛用到的一些数学知识。本章讲授内容第一讲光学中常用的几种非初等函数第二讲卷积与相关第三讲傅里叶变换的基本概念及基本定理第四讲傅里叶-贝塞尔变换第五讲线性系统与线性空间不变系统第六讲二维采样定理习题课其他一维情形:

本讲先介绍在光学中广泛使用的一些非初等函数和函数,为以后的讨论打下基础。表示照相机快门、单缝透过率（故也称为门函数）。同时，它与某函数相乘后，可起到截取函数的作用。1.矩形函数其中

图1.1.1一维矩形函数第一讲光学中常用的几种非初等函数一.几种非初等函数●表示矩孔透过率。

其中图1.1.2二维矩形函数二维情形:●其中图1.1.3一维sinc函数函数在原点处有极大值1，而在处等于0。表示单缝夫琅和费衍射的光场振幅分布,其平方表示衍射图样。2.sinc函数1●一维情形：●图1.1.4二维sinc函数二维情形:表示矩孔夫琅和费衍射的光场振幅分布，其平方表示衍射图样。

零点位置在处。其中二维情形：

图1.1.5一维阶跃函数图1.1.6二维阶跃函数

其中

3.阶跃函数一维情形：

●开关功能：可在某点开启或关闭另一函数，或描述光学直边（或刀口）的透过率。●表示函数极性发生翻转。(位相板)其中4.符号函数图1.1.7符号函数

阶跃函数与符号函数的关系：

●

其中5.三角形函数图1.1.8(a)一维三角形函数一维情形:●1+x/a1-x/a表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数(详见第三章)。其中图1.1.8(b)二维三角形函数二维情形:●图1.1.9(a)一维高斯函数高斯函数在统计学领域中经常遇到。在光学领域中,它常用来描述激光器发出的高斯光束,有时也用于光学信息处理中的“切趾术”(详见第8章)。6.高斯函数一维情况:●其中其中高斯函数的特点:1.是光滑函数;2.其傅里叶变换也是高斯函数。图1.1.9(b)二维高斯函数二维情形:●图1.1.10圆域函数

表示圆孔透过率。7.圆域函数或●函数发生位移或常数取负值时的图示举例：图1.1.11函数发生位移后的情况

如果这些图形的位置、宽度或高度发生变化时，则可看作是前述标准图形的相应位移或相应坐标比例尺缩放。二. 函数(重点)1.定义定义1(积分表达式)定义2(函数序列表达式)表1.2.1几种表示函数的函数序列图1.2.1两种表示函数的函数序列图形随着N的增大，函数曲线变得越来越窄，峰值则越来越高，而曲线覆盖的面积始终保持等于1。图1.2.2函数表示

注意:δ函数是广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。它不能象普通函数那样全由数值对应关系确定。图示时可简单地用一个箭头表示函数。（左图中取单位长度，相应于函数的体积。）

表示一类脉冲状态的物理量:单位光通量的点光源的面发光度或平行光通过透镜后,在后焦面上的照度分布。

图1.2.3所示后焦面上的照度分布A(x,y)满足以下两个方程:定义式一致。归一化后，上式与函数图1.2.3用后焦面上的照度分布函数表示函数的物理意义2.(1)筛选特性(3)乘法性质

(5)积分形式

3.函数的性质(2)可分离变量极坐标形式(4)坐标缩放

推论：

表示光栅透过率。●一维情形：4.梳状函数

图1.2.4一维梳状函数上述积分形式表明：函数可由等振幅的所有频率的正弦波(用余弦函数表示）来合成，换言之，函数可分解成包含所有频率的等振幅的无数正弦波。4.梳状函数(续)●二维情形:表示点源面阵、针孔面阵透过率。图1.2.5二维梳状函数表示对图像函数的等间隔采样。●梳状函数与普通函数的乘积:

如何理解函数是一个“广义函数”？它与梳状函数有何关联?课后思考：下一节课内容：

卷积与相关(重点).请注意预览…请注意回顾和预习...一.卷积图1.3.1线光源的夫琅和费衍射

第二讲卷积与相关

首先考查线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射。1.卷积概念的引入卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。其运算性质在信息光学中经常用到。由基础光学知：而对处的一小段光源，相应有强度分布为，通过系统后的像处一小段光源对在近轴条件下，上式化为

其中各小段光源的像强度非相干叠加，取极限最后得处单位强度点光源对应的像强度分布。代表3.卷积的物理意义和几何意义物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积.几何意义：可采用图解分析法帮助理解卷积运算的含(1).折叠;(2).位移;(3).相乘;(4).积分一维情形：二维情形：义。其运算过程分为下列4个步骤（见下页图示）:2.卷积的定义

图1.3.2函数f(x)与h(x)卷积的几何解释●卷积运算的两个效应：(1).展宽效应.即卷积的非零值范围等于被卷积两函数的非零值范围之和。

(2).平滑效应.是以某区段内的积分值来表示卷积函数在某点的值。4.卷积的运算性质

⑴

线性特性(2)复函数的卷积(由（1）可归结为实函数的卷积)其中⑶

可分离变量

若则⑸卷积符合结合律⑷卷积符合交换律

⑹

坐标缩放性质若则⑺卷积位移不变性

若则⑻函数

与δ函数的卷积[例1].设有二函数，分别为:图1.3.3例1中的二函数图形5.卷积运算举例(难点)

求:[解]:按照前述卷积运算过程，求解步骤如下：（1）改变两函数的自变量：

（2）将函数h()翻转：（3）函数平移：（4）最后将两函数乘积、积分。采用图解分析法将有助于确定卷积运算中的积分限。同时，根据

的可能取值范围，即分别画出乘积曲线下面的面积,如图1.3.4(a)~(h)中的阴影区域(重叠面积部分)。图1.3.4例1一维卷积过程

(图d,e)

(1)x≤0，(图a,b)

(2)0＜x≤1，(图c)

(3)1＜x≤2，(4)2＜x

＜3，(图f)

(5)x≥3，(图g,h)

各分段计算结果：综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:

据此画出g(x)=f(x)*h(x)的完整曲线，如图1-3-4(i)。

[例2].求解[解]:5.卷积运算举例(续)

其中(1.3.19)(1.3.20)(a)-2≤x≤0(b)0≤x≤2图1.3.5例2卷积运算过程

;当时，有。故只有时，有由上述积分限知：。当当时，函数乘积曲线下的积分面积不等于0，而当超出上述界限时，积分面积都等于0，如图1.3.5所示。各分段运算结果如下：(1.3.21)故最后结果可表示成：

其函数图形如图1.3.6所示

图1.3.6例2卷积运算结果(1.3.22)[例3].求下列卷积：[解]:由卷积定义和梳状函数表达式，有表示Ronchi光栅的强度透过率(见教材P.18图1.3.7)。二.相关1.互相关

互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度。(1).定义

(1.4.1)或(1.4.2)相关既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。在光学图像特征识别中有重要应用。(2).互相关的运算性质(1.4.3)

(1.4.5)

（1.4.4）但有：取复共轭，但图形不需要翻转，而位移、相乘和积分三个过程是共通的。故两者之间会有一定的联系。

互相关与卷积的联系:●互相关不满足交换律:

●应相关与卷积的区别仅在于相关运算中，函数2.自相关

自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度。当两个相同函数图像完全重叠时，自相关有一个极大峰值，称为自相关峰。

(1)定义或（1.4.6a）(1.4.6b)(2)自相关函数的性质(1.4.7)

自相关函数具有厄米特对称性

(1.4.9)

当f(x,y)是实函数时，其自相关是实偶函数。可以用Schwarz不等式予以证明。自相关函数的模在原点处有最大值三.相关运算举例（仍采用图解分析法）[例1].试计算下面二函数的相关，并绘图表示所得结果

[解]:由定义式（1.4.2）有：(1.4.11)

。其中(1.4.12)

当ξ=0时有:0≤x≤2；当ξ=2时有

(1)当时,遂得：由式(1.4.11)的积分限知:,再由式(1.4.12),图1.4.1例1相关运算过程(3)当2≤x<4(图b),

(2)当0<x≤2(图a),其函数图形如图1.4.2所示。上述结果与前面的卷积运算结果相比较，相关运算后的函数图形保持不变，但图形发生了一定的位移。图1.4.2例1计算结果的函数图形(1.4.14)故可将计算结果表达成：[例2].试计算[解]:(1.4.15)其中图1.4.3例2相关运算过程再由图解分析法（见图1.4.3）由式（1.4.15）中的积分限知:,当(1.4.16)(1.4.17)有：故得：其函数图形如图1.4.4所示。图1.4.4例2计算结果

但有些函数（例如周期函数、平稳随机函数等），并不满足这一条件，却满足下述极限：此类函数称为有限功率函数。(1.4.19）（1.4.18）四.有限功率函数的相关在前述互相关定义中,函数和应是有限能量函数，即(1.4.20)当两复函数都是有限功率函数时，其互相关定义为式中，符号表示求平均。（1.4.21）定义式（1.4.21)适用于功率有限的信号，而定义式(1.4.6)适用于能量有限的信号。而有限功率函数的自相关便定义为：课后思考：

卷积与相关各表示甚么意义？彼此的联系和区别如何？在运算上有什么差异？下一节课内容：

傅里叶变换的基本概念及其基本定理，请注意预览…请注意回顾和预习...一.基本概念第三讲傅里叶变换的基本概念及基本定理1.定义式复函数的傅里叶变换定义：称为像函数（或频谱），称为原函数，两者构成傅里叶变换对：可写成：叫的振幅谱，叫位相谱。2.存在条件(充分条件)⑵函数在xoy全平面上每一个有限区域内局部连续,

仅存在有限个间断点。⑶函数没有无限大间断点。

但是常用的某些函数（如sgn(x)、(x)、step(x)、cos(2f0x)等）却不满足上述存在条件中的某一条或多条，因此有必要对上述傅里叶变换定义作推广。⑴函数在xoy全平面上绝对可积

广义傅里叶变换就是极限意义下的普通傅里叶变换。3.广义傅里叶变换设存在函数和函数序列,且有换言之，函数不存在傅里叶变换，但却是在N时的极限，则定义N时序列

的极限为

的广义傅里叶变换。则令[解]:计算过程分为三个步骤：显然有

(1)选择适当的函数序列例如(1.5.6)

广义傅里叶变换计算示例：●[例1].求(2)求函数序列的变换:(1.5.7)(3)求极限:上式就是符号函数的广义傅里叶变换.(1.5.8)(2)求函数序列的变换[例2].求[解]:(1)选择适当的函数序列显然有：例如选取令并利用积分公式：

容易求得:(3)求极限:由上式取极限最后得到

这种基元函数具有下述性质：

只不过是一个权重因子。4.傅里叶变换作为分解式的指数基元函数的线性组合，其频谱

由逆变换式，可以把函数

分解成形式为

(1).代表传播方向为的单位振幅的平面波。（2).当时，有在这些直线上位相为零或的整数倍，其法线与轴的夹角图1.5.1函数

的零位相直线族

(3).引入了空间频率的概念空间频率表示特定波形在单位间距内重复的次数，也表示透镜和照相底片等的分辨率。沿等位相线法线方向:

综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义是：物函数

可以看成是无数振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)、方向不同(cos=fx，cos=fy)的平面波线性叠加的结果。此即傅里叶分解。二.傅里叶变换基本定理(重点)1.线性定理

（对称性定理）反映了波的叠加原理。当时，有2.缩放和反演定理傅里叶变换反比定理：●3.位移定理

4.Parseval定理(能量守恒定理)5.广义帕色渥定理注意:

并不是的傅里叶变换。

6.卷积定理7.互相关定理8.自相关定理的互功率谱。称为10.迭次变换定理11.微分变换定理9.积分定理得到镜像。9、10两种变换,从光学成像系统的观点没有本质的区别。12.积分变换定理13.共轭变换定理若是非负的实函数（例如光强度），则有具有上述性质的函数称为厄米特函数。课后思考：

傅里叶变换具有哪些基本性质？下一节课内容：

傅里叶—贝塞尔变换，请注意预览…

请注意回顾和预习...化为极坐标：一.可分离变量函数的变换

函数的可分离性可使复杂的二维计算得以简化为更简单的一维计算。对于可分离变量的函数，其频谱函数在频域中也是可分离的。直角坐标系下很明显。下面只讨论极坐标系中的情况。

由第四讲傅里叶-贝塞尔变换根据贝塞尔函数关系式:

得:上式表明在极坐标系中可分离变量函数

其频谱在极坐标系中也是可分离的。

其中二.具有圆对称的函数:傅里叶—贝塞尔变换故对圆对称函数，k只能取0值。对圆对称函数

圆对称函数的傅里叶变换本身也是圆对称的。用完全同样的论证方法，可得圆对称函数的傅里叶逆变换表示式:因此对于圆对称函数，其变换和逆变换形式完全相同。这种变换称为傅里叶－贝塞尔变换。并有但应注意：[例题].求圆域函数的傅里叶-贝塞尔变换。最后得[解]:，并利用贝塞尔函数关系式:令徑向的位置是不等距的。该函数常写成一种便于应用的归一化形式：图1.7.1圆域函数的变换（贝森克函数）其变换结果如图1.7.1。中央峰值为。零点在三.常用傅里叶变换对要求掌握教材P.34表1.8.1中常用函数的傅里叶变换。示范讲解：看作周期函数,且周期T=1,因此可把

按傅里叶级数展开式中[例1].求证:[证明]:首先将梳状函数

于是类似地，对二维梳状函数有：故梳状函数的傅里叶变换仍然是梳状函数。故得[例2].求证:[证明]：函数代表一种线性调频信号或编码脉冲信号（ChirpSignal），其实部和虚部函数图形如图1.8.1所示。图1.8.1函数的实部和虚部图形

由于:令并利用积分公式：，容易求得：证毕课后思考：

哪些函数的傅里叶变换本身还是该类型函数？他们具有哪些特点？下一节课内容：

线性系统与线性空间不变系统，请注意预览…

请注意回顾和预习...第五讲线性系统与线性空间不变系统图1.9.1系统的算符表示一.系统的算符表示“系统”可以是具体的通信网络、电子线路或成像装置，也可以是光波在空间的传播过程。故可广义地把“系统”定义为一种变换或映射,把对系统的输入称为激励，而系统对此产生的输出则称为响应，并用算符S将两者联系起来：至于这个算符的性质，则要针对具体的系统而定。

线性所带来的最大好处是：系统对任意输入的响应能够用它对此输入分解成的某些基元函数的响应表示出来。则称此系统为线性系统。

如果有二.线性系统的意义设是一组任意复常数；三.脉冲响应函数与叠加积分

光学中常用的基元函数有三种：（1）函数(点基元)；（2）复指数函数(平面波基元)；（3）余弦函数。

由函数的筛选特性，输入函数可写成:现以函数为例来说明线性系统的分解和综合过程。上式可视为将表示成带有权重的无穷多个位置（输入函数的分解式）

不同的函数的线性组合。(叠加积分)（脉冲响应）其中叠加积分表明:线性系统的性质完全可由它对单位脉冲输出可写成：的响应来表征。四.线性空间不变系统传递函数则称此系统为线性空间不变系统。线性空间不变特性是理想成像系统必备的。

(1)线性空间不变系统(LSI)的定义：

图1.9.2LSI系统对一维函数的平移不变效应若且其中(2)线性空间不变系统的特性（a).脉冲响应具有比较简单的形式（等晕性）

称为系统的传递函数，表示系统对信号频谱的传递能力，与空域中用脉冲响应函数来描述等价。

（b).叠加积分具有特别形式（卷积积分）(c).傅里叶变换形式特别简单五.线性空间不变系统的本征函数本征值与本征函数方程式:

凡满足上述方程的函数f(x,y)是算符S（此处指LSI系统）的本征函数,是f(x,y)的本征值(复函数）。本征函数通过该系统时不改变其函数形式，而仅可能被衰减或放大，或产生相移，其变化量决定于相应的本征值。

基元函数正是LSI系统的本征函数。

这时，输出函数的频谱为：

其频谱为：（1）指数基元于是输出函数为：即其中传递函数即为的本征值。这时，输出函数的频谱为：其频谱为：

⑵.点基元而输出函数为：即这种基元函数常用于非相干成像系统，其脉冲响应是实函数，且其傅里叶变换具有厄米特函数特性：

⑶.余弦函数(模是偶函数)(1.9.19)(1.9.20)令则由厄米特函数性质有：（幅角是奇函数）

下面证明余弦函数也是LSI系统的本征函数:输入余弦函数的频谱为输出函数的频谱为而输出函数为

将式（1.9.19,20)代入，有：故得亦即对LSI系统的余弦输入将产生同频率的余弦输出，但可能引起衰减和相移。课后思考：

线性空间不变特性为甚么是每个成像系统必备的？如何理解线性空间不变系统的本征函数?下一节课内容：

二维采样定理，请注意预览…请注意回顾和预习...

任何一个宏观的物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。但由于物理器件的信息容量有限，在对一个实际的物理过程或图像进行观测、记录、传送和处理时，常常不能用连续的方式进行，只能用它的一些离散的采样值来表示。例如：CCD摄像机在记录运动图像时为30帧/秒；超级计算机“天河一号”峰值性能尽管达4700万亿次/秒（实测性能2507万亿次/秒），也不能以连续方式去运算。第六讲二维采样定理存在的问题：1）如何对图像或物理过程进行采样？

2）采样结果有多大的准确性？

3）如何从其中复原出真实的函数？

一.图像函数的采样表示法其频谱：

采样值函数上式表明：采样值函数的频谱由频率平面上无限重复的原函数的频谱所构成，形成排列有序的“频谱岛”，其重复间距分别为1/X,1/Y。图1.10.1采样值函数的频谱如果令m=n=0，则，即从采样值函数的周期性重复的频谱中可准确恢复出原函数的频谱。为此，必须使各重复的频谱要能彼此分得开,即原函数的频谱宽度应是有限的(带限函数)。(b)采样值函数的频谱二.奈奎斯特判据

设2Bx,2By分别表示原函数的频带宽度，而其重复间隔各为1/X,1/Y。故若

2Bx=1/X,2By=1/Y

；或X=1/2Bx,Y=1/2By

就可保证各频谱岛之间不重叠,获得临界采样(此即奈奎斯特判据)。当X<1/2Bx,Y<1/2By时,称为是过采样的,这将对探测器件提出过高的要求；而当X>1/2Bx,Y>1/2By时，称为是欠采样的，这时频谱岛间将有部分重叠。这时就有三.原始函数的复原选择矩形滤波器，其滤波函数为

相应的脉冲响应函数为取逆变换得：

上式称为商农定理：它用采样点的函数值去计算在采样点之间所不知道的非采样点的函数值。其重要意义在于表明在一定条件下,由插值准确恢复一个带限函数是可实现的。办法是在每一采样点放置以采样值为权重的sinc函数作内插函数，再线性组合起来即可。严格来说，带限函数在物理上并不存在。但其频谱值总会随着频率的提高而骤减。部分可以用多少个实数值来确定呢？四.空间—带宽积若带限函数在频域中的区间以外恒等于零，则此函数在空域上的那

根据奈奎斯特判据和采样定理，要在空域中恢复该函数，则沿两个方向上的采样点数应分别为：其中表示函数在空域中覆盖的面积，表示函数在频域中覆盖的面积。而在空域中的采样点数至少为；

空间—带宽积定义为函数在空域和频域所占面积的乘积。表示成:当是复函数时，每一个采样值都是复数，它应由两个实数值确定，即是评价系统性能的重要参数，既可用以描述图像的信息容量，又可用来描述系统的信息传递和处理能力。一幅图像的也决定了其可分辨像元的数目（称为图像的自由度）。它是一个不变量。成像系统的空间—带宽积就等效于有效视场和系统截止频率所确定的通带面积的乘积。课后思考：

超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果？欠采样的情况又如何？下一节课内容：

标量衍射中的基尔霍夫衍射理论，请注意预览请注意回顾和预习...

本章重点

1.δ函数的意义和运算特性

2.卷积与相关运算

3.傅里叶变换诸定理及常用变换对

4.线性空间不变系统的特性

习题课

主要围绕上述重点作技能训练，要求熟练掌握。

课堂示范讲解:1.2(4)(5）(6);1.5(1);1.10;1.11。

课外作业:1.2(2)(3);1.4;1.5(2);1.6;1.9第一章习题课解题示例1.2（4）试证明：[解]：由积分公式：

易得：所以故该函数符合函数的定义，可作为定义函数的原函数之一。又有而对于任一函数

有1.2(5)试证明：[解]：利用1.2(4)的结果有：故得证毕。1.2（6）试证明：[解]:利用1.2(5)的结果，并由复指数公式展开得：证毕。1.5(1)

用图解分析法计算图X1.2所示二函数的卷积。[解].（1）当时（附图1.1左图）有附图1.1习题1-5(1)卷积过程

图X1.2习题1-5(1)图示的二函数（2）当时（附图1.1右图），有1.10证明：[解].式中称为拉普拉斯算子。证毕。1.11利用Parseval定理分别计算下列积分：[解].由Parseval定理式（1.6.9）、（1.6.10）有：第二章标量衍射理论衍射的意义：“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。衍射规律是光传播的基本规律。衍射分为矢量衍射和标量衍射两类。其中心问题是计算衍射光场的分布，即用确定边界的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅分布，若边界上复振幅分布相同，即使光振动方向不同，其结果也应相同。标量衍射理论的发展(简介)：惠更斯原理惠更斯-菲涅耳原理基尔霍夫公式(几何作图法）(引入干涉的思想）(应用格林定理）本章从基尔霍夫衍射公式开始,讨论两类典型的衍射，并用空间频谱的观点来分析衍射现象。本章讲授内容第一讲基尔霍夫衍射理论第二讲衍射规律的频域表达式第三讲菲涅耳衍射与夫琅和费衍射第四讲夫琅和费衍射计算实例第五讲菲涅耳衍射计算实例习题课

1.亥姆霍兹方程：

第一讲 基尔霍夫衍射理论

U(P)称为相幅矢量,包含了光波空间结构的信息。一.预备知识

对频率为的单色光波，有u(P,t)满足标量波动方程：由此得(亥姆霍兹方程

)上式即格林定理。其中令为单色光场的复振幅，而G是一个辅助函数,称为格林函数。必须慎重选择格林函数和封闭面S,才能将该定理直接应用到衍射问题上来。

2.格林定理：设函数

单值连续可导，则有3.基尔霍夫积分定理表示从观察点指向点的矢量的长度，则必有：图2.2.1积分曲面的选择令观察点为，S代表包围点的任意封闭面。要求用封闭面上的光绕动值来表示在点的光绕动。同频率的单位振幅的球面波，即点向外扩展的与选择为由为了排除在点的不连续性，用小球面包住点。于是在体积V’内，格林定理左端有从而格林定理简化为在S面上有或(A)

代入式（A），令再通过运算、简化，最后得此即基尔霍夫积分公式。积分面选取有很大的灵活性。在面上,。遂有图2.2.2平面屏衍射的基尔霍夫理论推导二.平面屏衍射的基尔霍夫公式选择封闭面由两部分组成(右图）：

在S2面上，

（在上一致有界）显然有说明：基尔霍夫边界条件具有不自洽性,可通过选择别的格林函数予以改善。最后得:⑵在孔径阴影区内,光场分布及其导数恒等于零。则面上的整个积分随R趋于无穷大而消失。在面上的积分,应用基尔霍夫边界条件:

根据索末菲辐射条件

⑴在孔径上,光场分布U及其导数

与没有屏幕时完全相同。三.菲涅耳—基尔霍夫衍射公式

图2.2.3单色点光源照明孔径

对孔径采取具体的照明方式后,基尔霍夫衍射公式会有更具体的形式。设孔径由点的单色点光源照明从而由于，则(2.2.20）上式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。最后得代入由基尔霍夫边界条件导出的公式讨论:1).光源位置与观察点位置是对称的（互易定理）。

2).说明倒退波是不可能的。(2.2.21)如果把菲涅耳衍射公式改写成其中则可把式(2,2,21)解释为惠更斯-菲涅耳原理，其中称为倾斜因子，若点在与入射方向相同一侧，则在近轴条件下，无倒退波。四.衍射公式与叠加积分其中(2.2.25)(2.2.24)

表示脉冲响应，而(2.2.24)式则具有叠加积分的意义。光波由点传播到点的过程实际上是一个衍射过程,该过程将变换成,这等效于一个“系统”的作用，由于满足叠加积分，故此系统还是线性系统，

表征了它的全部特性。，将(2.2.20)式写成：注意到课后思考：

基尔霍夫边界条件具有不自洽性，如何改善？下一节课内容：

衍射规律的频域表达式，请注意预览…

请注意回顾和预习...

一.衍射规律的频域描述

图2.3.1计算角谱用的坐标系

第二讲 衍射规律的频域表达式上式把分解成各种空间频率指数基元的结合。令则处求值。利用亥姆霍兹方程得：

上式为二阶线性齐次常微分方程，其特征根只取+号得一基本解（另一解表示倒退波）：即

其复振幅就是在初始边界条件：

故得衍射规律的频域表示式:或

函数称为扰动的角谱。公式①表示了角谱的传播。①zz讨论：这对应于沿某一确定方向传播的平面波。（2）.（3）.其对应指数基元相当于传播方向垂直于轴的平面

波。这些隐失波并不把能量从孔徑带走。此波沿方向按指数急速衰减，称为隐失轴方向的净能流为零。波，它在z（1）.得二.传递现象作为一种线性空间滤波器由

能求出传递函数这个事实表明，与自由传播等效的系统是一个线性空间不变系统，并且该系统的传递函数相当于一个低通滤波器。其截止空间频率为

图2.3.2传递函数相当于一个低通滤波圆孔该滤波器的作用是阻止高频信息进入衍射光场。例如在分析一幅图像结构时，比波长还小的精细结构或者空间频率大于的信息，在单色光照明下不能沿z方向传播。三.衍射孔径对角谱的效应

首先引入衍射屏的屏函数或透过率函数(图2.3.3)：图2.3.3衍射屏的屏函数则有其频谱关系当时，有故当用一定大小的孔径限制入射光场时，其效果是使入射光场的频谱展宽。孔径越小，频谱展宽越显著。

显然，如果光波不通过衍射屏，则其角谱只有一个由此可见孔径限制入射光场,导致其频谱展宽了。例如对矩孔则课后思考：

如何理解孔径对频谱的展宽效应?下一节课内容：

菲涅耳衍射与夫琅和费衍射，请注意预览…

请注意回顾和预习...一.普遍公式的初步近似图2.4.1讨论衍射用的几何示意图

第三讲菲涅耳衍射与夫琅和费衍射用普遍形式下的标量衍射理论来计算具体的衍射问题时，数学上非常困难。因此有必要讨论某些近似。按照近似条件的不同，可以分其为菲涅耳近似和夫琅和费近似两种，从而有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。①

由衍射公式

初步近似的基础，是假设：②

则①式化为：的最大线度⑴.

但指数中的值不能简单换为z，而必须采用更高一级的近似。⑵.近轴近似:，上式分母中的二.菲涅耳衍射

由于

菲涅耳近似(只取前两项)：得到菲涅耳衍射公式：③讨论：1).菲涅耳衍射的卷积表示则这表明菲涅耳衍射过程可视为一个线性空间不变系统,因此，它必然存在一个相应的传递函数，也就是:

④

令2).菲涅耳衍射的傅里叶变换关系由式指数展开，并令③，则有上式可看作是傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式。稍后将看到：当照明衍射屏的是会聚球面波时，变换式中的指数因子可能被消去，而直接成为傅里叶变换形式。

④三.夫琅和费衍射则菲涅耳衍射公式便化为下式,称为夫琅和费衍射。夫琅和费衍射公式的直观形式:夫琅和费近似：令采用会聚透镜可在近距离内实现夫琅和费衍射。夫琅和费衍射区：夫琅和费衍射区包含在菲涅耳衍射区之内。但夫琅和费近似从形式上破坏了菲涅耳衍射的卷积关系(空间不变特性)，故不存在专门的传递函数。不过，由于菲涅耳衍射区包含了夫琅和费衍射区，故其衍射过程的传递函数也适用于夫琅和费衍射。四.

夫琅和费衍射与菲涅耳衍射的关系菲涅耳衍射区:图2.4.2

按传播距离划分的衍射区课后思考：

夫琅和费衍射和菲涅耳衍射有何区别与联系？下一节课内容：

夫琅和费衍射计算实例，请注意预览…

请注意回顾和预习...下面就以此约定为基础，计算各种衍射光场。第四讲夫琅和费衍射计算实例由于紧贴衍射屏前后表面的光场和屏的透过率之间满足下列关系：因此，影响衍射现象的因素主要包括照明光波的性质和孔径的特点。为了能够从衍射图样直接了解衍射物的性质,约定采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏(孔径)，则其透射光场等于透过率函数。观察屏上的光场分布：[例1].矩孔和单缝●矩孔:透过率函数：光强分布:

由此求得主瓣宽度：轴上第一个零点的位置由下列二式确定：在图2.5.1矩孔夫琅和费衍射沿轴的强度分布图2.5.2矩孔夫琅和费衍射花样显然，光束在衍射屏上的什么方向受到限制，则其衍射图样就沿着该方向扩展。●单缝单缝衍射。其衍射光场和光强度分布各为：轴上的条纹无法分辨时,就形成了当致使图2.5.3单缝夫琅和费衍射花样

透射率函数：图2.5.4多缝的透过率[例2].多缝衍射衍射光场：图2.5.5多缝的夫琅和费衍射花样(d=3a)是多光束干涉经单缝衍射调制后的结果。当干涉因子分母变为0时，由洛毕达法则求得其极大值为N2,且fx=0,1/d,2/d,…。各值fx称为多缝的傅里叶频谱。求得条纹主极大宽度又由光强度：[例3].圆孔衍射透过率函数:光场分布:其中图2.5.6圆孔的夫琅和费衍射该图中央艾里斑的半径为:或其半角宽度为:（2.5.13）（2.5.14）由此可见：由于衍射效应，截面有限而又绝对平行的光束是不可能存在的。[计算实例].He-Ne激光器沿管轴发射定向光束，其出射窗口的直徑约为,波长，求激光束的衍射发散角。[解]:由于光束受到出射窗口限制，它必然会有一定的衍射发散角，即：

半徑为!外接收此光束，则由式（2.5.13）算得光斑若在[例4].正弦振幅光栅(把孔径概念推广到一般透明物体)其中光场分布:透过率:

图2.5.10正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射花样图2.5.9正弦型振幅光栅的透过率函数当

时,即可保证三个sinc函数不重叠,故得正弦振幅光栅的色散和分辨本领：2.分辨本领—

表征分辨两个波长很靠近的谱线的能力。由瑞利判据：刚好能分辨的情况为一个波长的+1级极大值正好落在另一个波长的+1级极小值处，故有即正弦振幅光栅的分辨本领R由光栅的总条纹数决定，而与观察距离z无关。线色散1.色散—

表征光栅将不同波长的同级主极大在空间分开的程度。由+1级极大值的位置●故线色散与观察距离及光栅频率有关。透过率:(1)

[例5].正弦位相光栅由贝塞尔恒等式：光场分布:

则得

可见，全部衍射级次都有可能出现(图2.5.11)。但当m/2是对应阶贝塞尔函数(例如)的根时，则该级衍射分量消失，能量可转移到其他衍射级上。对于已确定的m值，q增大到一定程度后，总有

趋近于0，所以会限制任意高阶衍射级的使用。由，代入(1)式并令图2.5.12对于q的3个数值，Jq2(m/2)对m/2的关系

图2.5.11正弦型位相光栅的夫琅和费衍射图样的截面图(m=8)

课后思考：

正弦振幅光栅和正弦位相光栅的衍射有何异同？下一节课内容：

菲涅耳衍射计算实例，请注意预览…

请注意回顾和预习...设一维周期性物体的透过率函数为：[例1].傅里叶成像(泰保效应)则观察屏上的光场分布为(菲涅耳衍射的卷积表示)转换到频域分析会更方便：第五讲 菲涅耳衍射计算实例时，其中最后得:当满足条件图2.6.1泰保效应示意图从而，在此特殊情况下由变换公式可得：遂在的整数倍距离上可观察到物体的像。此即泰保效应。称为泰保距离。[例2].衍射屏被会聚球面波照明时的衍射

图2.6.2夫琅和费衍射像面接收装置

为求观察面上的光场分布，首先要确定衍射屏上的光场复振幅分布。按光路可逆性原理，照明光波在孔徑前表面的复振幅可视为由会聚点发出的反向球面波传播到该表面造成的。利用菲涅耳近似有在衍射屏后表面上的光场为

衍射屏前表面上的光场为是衍射屏的屏函数。其中故观察屏上的光场为故当用会聚球面波照明衍射屏时，会聚中心所在平面上的菲涅耳衍射和以平行光垂直照明衍射屏时的夫琅和费衍射一样，只是衍射花样中心在会聚波的中心。此光路系统在频谱分析和光信息处理中具有重要应用。最后结果可表示为:其中光强分布为三.衍射的巴俾涅原理1.互补屏的概念一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分对应，反之亦然。图2.7.1互补屏2.巴俾涅原理：

两个互补屏在观察点处产生的衍射光场，其复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅:1).若，则。2).若，则。即在处的那些点和的位相差，而其强度却相等。光波自由传播时通常满足几何光学定律。故巴俾涅原理为研究一些衍射问题提供了一种辅助方法。例如求解两类互补屏(圆孔和圆屏,单缝和细丝)的衍射光场。

[例1]设用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏：(1）直徑为d的圆孔；（2）直徑为d的不透明圆屏；试求出各衍射屏后表面上光场复振幅的频谱。[解]:(1).对圆孔，有：（1）、（2）显然是一对互补屏，除中心点外，两种情况的光强分布相同。且小圆屏衍射中心总是一个亮点！

(2).对不透明小圆屏，有：课后思考：

应用巴俾涅原理还可以解决哪些衍射问题？下一节课内容：

透镜的傅里叶变换性质，请注意预览…

请注意回顾和预习...

本章重点

1.空域与频域的基尔霍夫衍射公式

2.经简化后的两类典型的衍射计算公式

3.一些典型孔径的夫琅和费衍射计算实例

4.泰保效应和采用会聚球面波照明孔径时形成的衍射

习题课主要圍绕以上重点作技能训练。课堂示范讲解:2.1;2.6;2.8;2.10

课外作业:2.5;2.7;2.11;2.12;2.13幅的单色球面波给定（图X2.1）,第二章习题课解题示例2.1为消除基尔霍夫衍射公式中理论的不自恰性，索1）求G+(P1)在衍射屏上的法向导数；2）需要什么样的边界条件？3）求U(P0)的表达式。各自发出的同位相的单位振其对衍射屏的镜像对称点即图X2.1习题2.1图示施加边界条件。例如，可以选择

同时由观察点及末菲选用新的格林函数,使其不必同时对将上述结果代入式（2.2.16）得：[解]：由题设有最后得这时只需对应用边界条件。当时，则有2.6设用单位振幅的单色平面波垂直照明图X2.2所示双矩孔，求其夫琅和费衍射图样的强度分布，并画出衍射强度沿轴和

轴的截面图。设z是观察距离，是照明光波长。图X2.2双矩孔[解]:双矩孔的透过率函数为其透射光场为:观察平面上的衍射光场为其极小值位置（附图2.2）：代入，最后算得衍射强度分布:将当时，由题设条件算得附图2.2习题2.6图示之一附图2.3习题2.6图示之二及决定，即：其极小点位置（附图2.3）由又时有图X2.4习题2.8图示2.8如图X2.4所示，边长为的正方形孔徑内再放置一个边长为

的正方形掩模，其中心落在(,)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求观察面上夫琅和费衍射图样分布。光强分布[解]:图X2.4的透过率函数为观察面上光场分布为将它们按条纹方向正交密着叠放在一起（图X2.5）。当用单位振幅单色平面波垂直照明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。图X2.5密着正交光栅2.10两个正弦振幅光栅的透过率函数分别为：和[解]:由题设有：比较可知，它们分别代表九个频率的衍射波，其方向角由角谱定义知各为将这9项与在

平面上传播的平面波的表达式0级的级的级交叉项的级第三章光学成像系统的频率特性

传统的像质评价方法:鉴别率板法和星点检验法—其优点是简便易行，缺点是未量化，人为因素较大。随着空间频谱分析方法被引入光学系统成像分析中(P.M.Duffieux)，诞生了光学传递函数理论(H.H.Hopkins)，产生了像质评价新方法—频谱分析方法，使像质评价方法有了很大的改进。透镜是光学成像系统和频谱分析系统的基本元件，其傅里叶变换特性是光学信息处理的基础。本章就从讨论透镜的位相调制作用、傅里叶变换性质和成像性质开始，讨论光学系统的频率特性。本章讲授内容第一讲透镜的傅里叶变换性质第二讲光学成像系统的一般分析第三讲衍射受限相干成像系统的传递函数第四讲衍射受限非相干成像系统的传递函数第五讲相干成像与非相干成像系统的比较习题课

图3.1.1透镜对入射光波面的作用一.薄透镜的位相调制作用

第一讲透镜的傅里叶变换性质（球面波二次曲面近似）称为透镜作用因子。透镜的透过率函数为应用光路可逆原理其中P(x,y)称为孔徑函数或光瞳函数，定义为图３.1.3正透镜和负透镜对垂直入射平面波的位相调制其对入射平面波的位相调制作用如图3.1.3所示。称为透镜的位相变换函数，而二.透镜的傅里叶变换性质

根据光的传播过程产生的菲涅耳衍射，可把全过程

图3.1.4透镜的一般变换关系分为3个部分：最后得：产生了位相弯曲。综合：暂令Ｐ(x,y)=1,并设，简化得（习题3.2）(多了一个位相因子)(准确的傅里叶变换)

(1)物置于透镜前焦面时：

(2）物紧贴透镜前表面时：讨论几种特殊情况：

而其中P(x’,y’)是物所在平面处的光斑孔径。(3)物置于透镜后：这时按光路可逆原理有(仍以L的口径为准）由于图3.1.5物置于透镜后的变换（物面被照明部分的孔徑函数）

从物的后表面传播到后焦面的过程可视为菲涅耳衍射，故后焦面上的光场分布为：其积分表达式为：可见，在透镜Ｌ后焦面上总是获得输入函数的频谱。后一种方法还具有一定的灵活性。综合：暂令，则经简化得：

由于透镜孔径的限制，沿某些方向传播的物空间频率不能完全通过透镜，后焦面上不能得到准确的物频谱。这给傅里叶变换带来误差。频率越高，误差就越大。这种现象称为渐晕效应。三.透镜孔径的影响渐晕效应

图3.1.6透镜的孔径效应

图3.1.7渐晕效应图示

[例1]设物函数中含有从低频息，物被直徑为d=2cm的圆孔所示，将它放在直径D=4cm、焦

前焦面上。今用波长=600nm的单色光垂直照射该物，并测量透镜后焦面上的光强分布。问①物函数中什么频率范围内的频谱可以通过测量得到准确值？②什么频率范围内的信息被截止？y到高频的各种结构信限制。如图3.1.7所距

的透镜

[解]:①由于渐晕效应，仅当某一方向上的平面波分量完全通过透镜时，在后焦面上相应会聚点测得的强度才可以准确代表物相应空间频率的傅里叶谱的模的平方。由图3.1.6(a)可知其相应空间频率为：故可准确测量的最高空间频率为：②当沿某一方向传播的平面波分量完全被透镜边框阻挡时，在后焦面上就没有该空间频率成分，测得其频谱为零。由图3.1.6(b)可知，此时相应的截止空间频率为：

课后思考：

透镜的傅里叶变换是如何实现的？下一节课内容：

光学成像系统的一般分析，请注意预览…

请注意回顾和预习...一.成像系统的普遍模型

图3.2.1成像系统的普遍模型

第二讲 光学成像系统的一般分析3.光束限制的共轭原理。4.成像系统的普遍模型。1.孔徑光阑、入射光瞳和出射光瞳的意义。2.入射光瞳、孔徑光阑和出射光瞳三者相互共轭。二.衍射受限系统的点扩展函数

成像系统分为两大类，即衍射受限系统和有像差系统。前者不考虑像差的影响。由叠加积分：其中（脉冲响应）任意的物函数都可视为由许多面元组成。因此，只要能够确定成像系统对点光源（面元）的脉冲响应函数，就能完备地描述该成像系统的性质。下面将单透镜光学系统推广到复合成像系统。。在上讲推导透镜的一般变换(图3.1.3)对应的关系式中令即单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应就是系统光瞳函数的傅里叶变换，其中心在则经与上讲类似推导可得P(x,y)视为出射光瞳函数,代表出瞳至像面的距离,

现作坐标变换：则有：表明该系统是线性空间不变系统。

即当不考虑出瞳的有限大小时，系统对物体成理想的像，该像与原物准确相似。讨论:(1).若

(孔徑充分大),则(几何光学的点像)代入叠加积分式,在几何光学近似下,可得像函数为即像面上光场的复振幅分布等于几何光学的理想像与系统脉冲响应函数的卷积。换言之，当考虑了衍射效应后，像不再是物体的准确复现了，而是物体的平滑变形。这将使物体中细微结构的空间频率信息受到强烈衰减甚至损失，从而使所生成的像产生相应失真。(2).若考虑光瞳的有限大小，则由叠加积分得(1)

(3)

3.最后求逆变换：分析步骤（如图3.2.2）：准单色光条件这时三.准单色光照明时物像关系分析(2)

2.再应用叠加积分：求关于变量t的傅里叶变换：1.先对图3.2.2准单色光照明时物像关系框图

最后求光强度分布:其中这样，就把叠加积分公式推广到了准单色光情形。将式（2）代入式（3）便得输出像函数：2.非相干照明(如漫射扩展光源)：光扰动统计无关。

按照明方式，可分为相干照明和非相干照明两类：1.相干照明(如激光,点光源)：物平面上任意两点光扰动之间的位相差恒定，可令其平均值等于1。遂得即相干系统对光场复振幅是线性空间不变系统。即非相干系统对光强度的变换是空间不变的。课后思考：

相干光照明与非相干光照明的两种成像系统有何差异？下一节课内容：

衍射受限相干成像系统的传递函数，请注意预览…

请注意回顾和预习...称为相干传递函数（CTF）。一.相干传递函数的定义相干成像系统是光场复振幅变换的线性空间不变系统。故有第三讲衍射受限相干成像系统的传递函数其中其频谱关系为二.相干传递函数与系统物理性质的联系:由此得：截止频率：考虑到光瞳的圆对称性，可写成：质量优劣的重要参数之一。由此可见，截止频率是检验光学成像系统显然,对衍射受限相干成像系统,存在一个有限通频带,在此通频带内,系统允许每一频率分量无畸变地通过;在通频带外,频率响应突然变为零,即通带以外的所有频率分量统统都被衰减掉（相当于一个低通滤波器）。图3.3.1光瞳对高级衍射分量的限制

像差将引起波面变形（产生波像差）。可设想在出瞳内有一块虚拟的移相板。于是得广义光瞳函数：像差的存在并不影响相干传递函数的通频带宽度，仅在其内引入了位相畸变,影响成像系统的保真度。三.像差对系统传递函数的影响图3.3.2出瞳为正方形时系统的CTF

[例1].有一出射光瞳为正方形的衍射受限系统，正方形的边长为，试计算该系统的相干传递函数。四.相干传递函数计算举例

对于衍射受限系统，相干传递函数直接由光瞳函数的形状、大小和位置确定。故光瞳的选择对成像过程有重大影响，也是计算的关键。系统的相干传递函数是：[解]:该系统出瞳的透过率函数可以用一个二维矩形函数来描述，如图3.3.2（a）所示。系统的最大截止频率在与x轴成角方向，即其函数图形如图3.3.2(b)。显然，沿

轴和y轴方向的空间截止频率都是：

[例2].设衍射受限系统的出射光瞳为一圆孔，其直径为D，试计算该系统的相干传递函数。[解]:圆孔的光瞳函数为：相应的相干传递函数为：图3.3.3出瞳为圆形时系统的CTF其函数图形如图3.3.3所示。显然，根据出瞳的圆对称性，该系统在一切方向的截止频率均为：例如，当D=1cm,时，其截止空间频率线对/mm。

相干传递函数和光瞳函数课后思考：下一节课内容：

衍射受限非相干成像系统的传递函数，请注意预览…

请注意回顾和预习...是如何联系起来的？且

一、光学传递函数的定义第四讲衍射受限非相干成像系统的传递函数衍射受限非相干成像系统遵从光强度卷积积分：其频谱关系为令（1）则由式（1）有：（2）（3）；（取其中对应的正频率项与负频率项相加）对式（2）取逆傅里叶变换：由于光强度不可能是负的，余弦分量的负值必然截止在零频率分量A(0,0）上，故总和仍然是正的值。令是一个正值实数。则有表示零频无位相因子。通常可将OTF表示成：人眼或仪器对图像的视觉效果取决于像所携带的信息与直流背景的相对比值。故对零频分量归一化得最后得：H0(fx,fy)称为系统的光学传递函数(OTF),反映非相干成像系统传递信息的频率特性。

其模称为调制传递函数，幅角称为位相传递函数。二.OTF与CTF的关系而故得：即光学传递函数等于相干传递函数的归一化自相关。由于三.光学传递函数的一般性质和意义2.3.令注意：虽然OTF在零频下其值恒为1，但这并不意味着像和物的本底绝对强度水平相同。OTF定义中所用的归一化已经消除了关于绝对强度水平的一切信息。1.（对零频分量总是百分之百地传递)4.(也相当于低通滤波器)其中OTF的一般意义：

●，则：令时，必有仅当Vi>Vc时，像的结构才能被分辨。与此对比度阈值Vc相对应的空间频率，就是成像系统的分辨极限。

因此系统存在一截止频率，相应地存在一个对比度阈值

Vc。

。这MTF描述系统对各种频率分量对比度的传递能力,而PTF体现了像强度相对于物强度分布所产生的位移。当就意味着，只要空间频率大于系统的截止频率，不论物强度频谱的对比度有多大，像强度频谱的对比度总是等于零。四.衍射受限系统OTF的计算由于故有遂有令；则上式化为：；。只取图3.4.1衍射受限系统的OTF计算显然,光学传递函数也是光瞳函数的归一化自相关。上式给出了OTF的一种几何解释：由于0和1两个实数值，故其分母代表光瞳的总面积而分子表示两个错开光瞳的相互重叠的面积故可对OTF作出如下几何解释：（非负实数）据此，光学传递函数的计算步骤可归纳为：1.计算出瞳总面积：2.计算出瞳面至像平面间距离：3.计算两出瞳的重叠面积：4.最终计算得到：对于形状复杂的出瞳，可以用计算机或面积仪求出H0(fx,fy)在一系列分立频率上的值。图3.4.2出瞳为正方形的系统的OTF计算

[例1].出瞳为正方形

OTF计算举例：●[例2].出瞳为圆形截止频率:图3.4.3出瞳为圆形的系统的OTF计算

最后算得：弓形ABC的面积=

像差的存在会使光学系统的调制传递函数下降，像面光强度分布的各个空间频率分量的对比度降低。但其截止频率相同（在同样光瞳下）。

五.像差对OTF的影响总可归结为波面对理想球面波的偏离。其广义光瞳为故得可以证明：在光瞳内在光瞳外[例1].试计算存在聚焦误差时的OTF。[解]为求得，应先确定波像差如图

图3.4.4光学系统聚焦误差方形光瞳边缘上的最大光程差为

其中表征离焦的程度：在出瞳内或在出瞳外由于而故广义光瞳函数可写为上式中的指数因子可化为：而两个错开光瞳的重叠面积为：所以遂由傅里叶变换相似性定理得到代入上式，经整理化简后得：将上式就表示调焦不准对OTF的影响。图3.4.5（a)画出时的曲线。当时，其对成像质量影响不大，从而可把作为离焦的容限。当时，OTF在某些区域出现负值，对应频率成分产生相移，这表明该区域的对比度发生了翻转（如图3.4.5(b)所示)。这种现象称为伪分辨。

图3.4.5正方形光瞳系统有离焦像差时的OTF课后思考：

光学传递函数具有哪些性质？如何理解光学传递函数的物理意义？下一节课内容：

相干成像与非相干成像系统的比较，请注意预览…

请注意回顾和预习...1.两个物点间的分辨率

就