第一专题：数学认知结构

数学认知结构内容纲要

一、什么是数学认知结构二、数学认知结构的基本形态三、数学认知结构的元素四、数学认知结构的作用五、数学认知结构的优化一、什么是数学认知结构[2]1.数学知识结构：指的是由数学的概念、公式、法则、定理和性质等知识内容构成的结构系统，它反映了现实世界中事物在数量关系和空间形式以及在此基础之上形成的结构等方面的内部联系和规律，是客观存在的东西，不以我们的意志为转移.

2.数学认知结构：

数学认知结构，是学习者头脑里的数学知识结构，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的主观经验系统，它反映了学习者对数学的理解和看法.

认知结构的另一名称——图式

John.Best：图式（schema）是指贮存于长时记忆中的那些组织良好的（关于自然界、事件、人物和行动的）知识组快。它标明类别成员的实质并隐含着可用于接收或组织新刺激的计划或预期的一个术语.

认知结构的另一名称——图式Piaget:图式指相对稳定的以动作为主的认知结构组织.（物理动作、思想动作）图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式.

可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构.

图式是认知结构的起点和核心，或者说是人类认识事物的基础。图式的形成和变化是认知发展的实质。

认知结构的另一名称——图式

RobertM.Gagne:图式是以适当方式组织起来的言语信息，以便于学习者能表征问题.

实际上，图式是一些观念及其关系的集合，并形成学习者“可用来理解”的类别。

图式有简单和复杂、抽象和具体、高级和低级之分。简单的图式可以只是一个字符,复杂的图式可以由几个子图式构成。

3.数学认知结构与数学知识结构的区别：(1)表达形式不同数学知识结构是以数学符号语言为载体来表达和记载的；数学认知结构则是数学知识结构在学习者脑中的反映，它以概念言语信息和与之相对应的数学表象信息两种方式贮存于长时记忆中.(2)形成的过程不同数学知识结构是人类数学历史发展的产物，是数学成果的积累、概括与总结，其过程往往需要数百年甚至更长的时间；数学认知结构则主要是学习者在学习数学知识结构的过程中逐步积累起来的,可以在较短的时间内完成.（3）数学知识结构是对客观世界在数学方面的反映，具有准确的科学性、严谨的逻辑性和完备的系统性,它是客观的,不以个人的意志为转移；数学认知结构则是学习者对数学知识结构的主观反映，有鲜明的个人特色.二、数学认知结构的基本形态

1.概念图式

2.原理图式

3.认知策略图式1.概念图式

概念图式由一些反映概念属性的观念组成.

概念图式中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。

1.概念图式

概念的层次结构：按抽象程度和类别将概念划分为一级一级的层次。概念的语义网络结构：以语义联系或语义相似性将概念组织起来。良好的概念图式是由一系列反映概念本质属性的观念组成。比如，的教学本质是帮助学生建构起认知图式：“是一个数；它不会是负的；它的平方等于；在数轴上它可能是原点也可能在原点的右边；和都是表示一个数的符号，他们没有什么不同；……”“

是一个数；它可正可负；……”字母的图式是……2.原理图式

原理图式由一些反映原理属性的观念组成。

原理图式中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映原理理解水平的重要因素。勾股定理的各种图式……勾股定理的各种图式：低级的图式：言语图式……

符号图式……

图形图式……高级的图式：产生式……

结构图式……3.认知策略图式

（1）一般认知策略（2）元认知策略3.认知策略图式（1）一般认知策略

①复述策略

②精加工策略：给学习内容赋予意义，构建联系.如：人为联想、做摘录、划线、列提纲与标题、提问、记笔记.③组织策略.如形成概念图、分类、类推、叙事、概括.④解决问题的策略如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的观念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观念、动静之转化的观念

心理学家将人们头脑中对外界事物的描述称为表征[1]，

[1]约翰.安德森．认知心理学及其启示[M]．秦裕林等译．人民邮电出版社，145．3.认知策略图式（2）元认知策略

①制定认知计划②实际控制认知过程③及时检查认知结果

④及时调整认知计划⑤在认知活动偏离目标时采取补救措施，对自己的注意力或行为进行自我管理.

什么是元认知？元认知（metacognition)：关于认知的认知.是主体对自身认知活动的认知。它包括

1.元认知知识：有关认知的知识，即个体关于自己的认知能力、认知策略的知识.2.元认知体验：伴随着认知活动的认知体验或情感体验。包括意识到的、能表达的和模糊的、表达不清的体验.3.元认知监控：个体对自身学习过程的有效监视、控制和调节.

元认知和认知的区别：

1.认知活动的内容是对认知对象进行某种智力操作；元认知活动的内容是对认知活动进行监控与调节.2.认知活动的对象较具体；元认知活动的对象是抽象的认知过程.3.认知的目的是取得认知活动的进展；而元认知是监控认知活动的进展并间接地促进这种进展.（检查一遍，验算）三、数学认知结构的元素

数学认知结构中的基本元素称为节点，它可能是言语信息，也可能是表象信息。我们把主体在数学活动中的心象叫做数学表象（mathematicalimage）。数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。它是通过逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象。数学表象与数学的外部表征密切相关1.数学的外部表征数学的外部表征是指传递知识、思想而使用的外部交流工具。例如，在教师讲解时，使用了口头语言，并写下文字、符号，画出图形、图象，还可能展示实物或数学模型。这些东西对于学生来说，就是数学的外部表征。Bruner认为，数学对象的表征有三类：动作表征、映像表征、符号表征，并且它们是按这样的前后顺序出现和发展的。（1）动作表征是通过适当的活动反应，表示过去的事件的表征方式，它具有具体性、物质性的特点。

动作表征是通过动作操作来认识事物。

（2）映象表征，是指通过心理表象来认知事物,即使用心理表象作为某些客体的替代物.它是比动作表征高一级的认知方式.

映象表征是在动作表征的基础之上经过内化、记忆的作用而发展形成的.

映象表征是比动作表征更复杂的认知形式.在动作表征中，一个刺激只产生一个反应（认识）.但在映象表征中，对一个刺激可以对它所具有的两个侧面同时作出反应.（三）符号表征是依靠语言符号来表现的认知.

客观对象经过人知觉后就形成心理映象（知觉形象或表象），通过刺激反应学习，就在表象和语言符号之间建立联结，也即是说将表象同主体相分离，物化为语言符号，于是就在客观对象和语言符号之间建立了刺激反应联结.

它具有抽象性、概括性、间接性和任意性的特点.布鲁纳将其视为认知发展的第三阶段或知识掌握的最高水平.Lesh在Bruner的理论基础上将表征方法发展为五种，分别是书面符号、口头语言、操作性模型、图形和实物。他认为，这5种表征方法之间不一定存在先后的发展次序，主要应重视它们之间的转换和相互影响，因为这种转换和影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义.（如图2－9）知识的这些外部表征及其转换和联系，将共同参与学生的思考活动，被他们选取、改造和适应，转变为心理上的表征。2.数学思维的媒介——心理表象现代认知理论认为，长期记忆中的信息形态是一种“语义象征”。对应于“输入信息一长期记忆一输出信息”的过程，在大多数情况下，它的内容经历了“输入词语一语义象征一输出词语”的过程。当学习发生的时候，学生实际上是在对书本和教师传达的信息进行各自的加工和编码，形成自己的有关该概念的语义象征，并且利用它进行记忆和思考，也就是说，描述概念时要用语言，但想象时使用的是语义象征。Davis认为，记忆中存贮的信息的形式有三种既不排斥、也不包含的可能性：（1）信息以语言文字、命题的方式存贮；（2）信息以图画的方式存贮；（3）信息的存贮既不是词句形式，也不是图画形式。Poincare（1988）认为存在两种思维类型：“逻辑主义者”的思维方式和“直觉主义者”的思维方式。在学生中也有类似的差别，一种人偏爱用“解析学”方式处理问题，另一类人偏爱用“几何学”方式来处理。Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的两种不同的思维方式或习惯：语言－逻辑方式和视觉－图形方式。他把倾向于语言－逻辑思考方式的学生称为“分析型”，把倾向于视觉－图形思考方式的学生称为“几何型”。还有一些学生并不偏爱某一种方式，他称之为“协调型”。分析型的学生的言语系统比较发达几何型的学生的表象系统比较发达数学家反省报告表明：数学思维是借助于言语符号激活表象而进行的。言语符号图形是外部表征，而表象则是内部表征。表象是数学思维的核心元素。Hadamard的调查表明：几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其它的固定符号。总是运用模糊的表象进行思考.学生学习时是如何表征的？英国数学家Griffiths在讨论数学中的直觉和领悟时曾提出，数学中最常用的思维媒介是数学结构的模型和实例。他认为，对初学者来说，几何图形比代数符号更容易掌握接受。他的结论是：“领悟数学理论看来涉及认识该理论在物理、几何及数学的一些更熟悉、更容易理解的那些部分中的一个模型。例如，利用数轴来认识不等式的解。学生学习时是如何表征的？1993年Brown等（PME17）对学生进行数学推理时所利用的意象问题报告了研究结果，归纳出学生常用的五种意象：

具体意象记忆意象动觉意象动态意象模型意象具体意象是指思维中的图像（视觉形象）记忆意象就是静态视觉意象。学生利用强记能力，在思维中以视觉再现公式、框图、算法等。动觉意象表现为一种肌肉活动。动作操作动态意象是在心理上出现移动的视觉意象。如图形的平移，旋转等。模式意象则是抽象的意象，不需利用具体工具.(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)

形式运算表象：（外积+内积，尾积）

(a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三种记忆方式[6]：示意编码（先用a去乘，再用b去乘……）图形编码（大小矩形的面积关系）标签编码（前前+后后+里里+外外）

从数学的立场上看，思维表象与数学对象本身存在着一定的差距，但是，表象并不像某些人认为的是“表面现象”。心理学方面的深入研究认为，表象并不只是思考时借用的“思维图象”，或只是从记忆恢复出来的直观东西，它还具有更深刻的意义。Piaget曾将表象划分为不同层次的三种类型：第一种是由内化的模仿活动形成的表象。第二种是通过基本的思想实验来建立的表象，这时它不仅起代表对象的作用，而且表示了心理上操作活动的发展的阶段或结果。第三种是思维运算的动态的符号，利用它能够支持和推进思想实验和推理。数学表象：主体在数学活动中的心象。它是数学形象思维的心理元素。[2]对数学表象的分类有以下几种：（1）按材料内容的不同来分：图形表象:人脑对几何图形感知而形成的表象.图式表象:对数学式子，结构，关系，模型感知而形成的表象。（2）从创造的角度来看，分成记忆表象：对客体的一种主观经验（视觉的，听觉的等等）这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域中。（如“父亲”）创造表象：对一个客体的主观经验，而这个客体对于经历过这种经验的人来说，从来没作为一种刺激存在过，它是一种想象出来的客体。如“美人鱼”。（3）从数学表象的构成来分单象：单个的表象，它也是最简单的表象。例如，点，线，面在人脑中反映出的表象就是单象.

复合象：两个或两个以上的单象的组合。单象和复合象的划分是相对而言的。从整体上看，复合象也可以被视为单象，而单象有时还可以看成是由另外的单象组合而成的。（4）依照数学表象的层次结构分,数学表象可以相对地分为低级表象和高级表象。如变换的思想，化归的观念等就属于高层次的数学表象.2.2心理表象的特点（1）表象是相对形象的、具体的（2）表象具有综合性和整体性（3）表象常常有不全面、不精确、不深刻的弱点（……？）（4）表象有一个发展过程（5）表象因人而异、因事而异3.表象与定义的关系3.1表象是最活跃的心理因素概念表象——描述的是与概念有关的认知结构，它包括了所有的心理图形和有关的性质和过程。(Vinner和Hershkowitz，1980）概念表象在心理上有着概念定义无法替代的独特的功效，学习中概念名称的出现是对我们记忆的一个外部动因，它唤起了记忆中的某些东西。在通常情况下，这些东西不是概念的定义，而是概念表象，是人们头脑中与概念名称有关的非语言的东西，它可以是视觉表象，思维图形，或是一个印象或经验。例如一个模型，一条曲线，一个符号，一组变化的动作.这类表象可以转换成文字的形式，但是，这些文字形式不是我们记忆中最早唤起的东西，它们只是在稍后的阶段出现。记忆中的信息通常不是逐字逐句的形式，而是“语义象征”，它将帮助人们提取和捕获信息的意义。在思想中无法出现词语，或是词语不正确的情况下，语义象征却能不被混淆地显现出来，发挥作用。数学学习中的情况是类似的。例如，在提到“中位线”时，脑子中出现的不是逐字逐句的定义，而是三角形或梯形中的那么一条线段。得益于表象的具体、形象的特点，我们的思维将可以运转得迅速灵活，表象是我们心理上的最活跃的因素。无论是普通人还是数学家都会利用表象；不论是好学生还是差学生都适宜利用表象。3.2定义是概念建构的脚手架Vinner认为“：获得概念就是形成概念表象，用心学习定义不保证理解。”定义会帮助形成概念的表象，但在表象形成的时候，定义就不是必要的了。因而可将定义称为概念形成的脚手架，概念大厦建成以后，脚手架就没有保留的必要了。定义与概念是不同的，学生要掌握的是概念，定义则是概念的一种外部表达方式，是认识概念实体的工具之一.3.2定义是概念建构的脚手架著名的数学教育学家Freudenthal于1987年在华东师范大学讲学时，指出：实际生活中，许多概念并不是通过定义学到的，而是接触了大量实例，经反复观察、对比体会后归纳出来的。但是，在“学术”场合中，一些概念如果缺少了明白、准确的定义，就有被混淆的可能。如空间、函数、群的概念，是在数学研究中构造出来的思维对象，不是现实对象，学生缺乏感受，就要利用定义来表达。所以，学校中数学教学仍然不能脱离定义。3.2定义是概念建构的脚手架定义在逻辑上是正确的，然而它并未因此显示出对象真正的实在性，为了掌握和评价概念，必定需要实在的直觉。数学教师不同于数学家的一个方面在于，我们不是要创造新的概念，而是要创造理解。善于将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象，帮助学生灵活地掌握概念。四、数学认知结构的作用

Shemp(1971)提出，在数学学习中，图式的基本认知作用有两个：（1）使已学的知识得到完整的组织；（2）学习新知识的智力工具。DriscollM.P.指出[5]，图式的作用有三个：（1）理解文本（言语陈述）；（2）理解事件并指导行动；（3）解决问题.而Piaget（1979）则从哲学的高度对一般性的结构作了较完整的分析。他认为，结构是由多种转换关系构成的整体，整体综合了全体元素的特性，并在转换关系的支配下获得自我调节，成为内部协调的、具有一定整体意义的系统，所以，结构的特征是整体性、转换性和自我调节性。五、数学认知结构的优化[2]1.评价数学认知结构的标准数学教育的目的是提高学生的数学问题解决能力.而数学问题解决能力的高低则取决于数学认知结构的优劣。良好的数学认知结构的特征包括：（1）足够多的观念；（2）具备稳定而又灵活的产生式；（3）层次分明的观念网络结构；（4）一定的问题解决策略的观念.2.建构良好数学认知结构的教学策略