空间直角坐标系与空间几何体

一、空间直角坐标系知识诠释思维发散§9.5空间直角坐标系与空间几何体1.如图所示,在空间取一点O,以点O为原点作三条互相垂直的且有相同单位长度的数轴,分别称为x轴,y轴,z轴,统称为坐标轴.这三个坐标轴中每两条确定一个平面.分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面,这样的三条坐标轴就组成了空间坐标系.2.在空间坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y

轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右

手直角坐标系.3.在给定的空间直角坐标系中,空间点M与有序数组(x,y,z)建

立了一一对应关系,因此,有序数组(x,y,z)叫做点M在此空间

直角坐标系的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y

叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.4.空间任意两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之间的距离|M1M2|=

.5.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标是(

,

,

).二、立体几何的综合应用1.平行与垂直.2.几何体的表面积和体积.3.三视图与直观图中的平行与垂直.4.球的有关问题.5.立体几何与函数、导数.1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是

(

)(A)

.

(B)|a|.

(C)|b|.

(D)|c|.【解析】作PP1⊥xOy平面,则P1(a,b,0),|PP1|=|c|为所求.【答案】D2.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为

(

)(A)19.

(B)-

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵|AB|=

=

,∴当x=-

=

时,|AB|取最小值.【答案】C3.如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=

2,M是OB1与BO1的交点,则M点的坐标是

.【解析】因为|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,∴A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,3,0),B1(2,3,2).所以M点的坐标为(

,

,

),即(1,

,1).【答案】(1,

,1)

核心突围技能聚合题型1空间直角坐标系的基本问题

例1

(1)在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)关于下列叙述:①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z);②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z);③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z);④点P关于原点对称点的坐标是P4(-x,-y,-z).其中叙述正确的个数是

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.(2)已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则|AB|的最小值是

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【分析】(1)点P的对称点关键要抓住对称平面和对称轴;(2)

建立关于含有t的距离表达式.【解析】(1)点P(x,y,z)关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,-z),故

①错误;点P(x,y,z)关于yOz平面对称点的坐标是P2(-x,y,z),故

②错误;点P(x,y,z)关于y轴对称点的坐标是P3(-x,y,-z),故③错

误;点P(x,y,z)关于原点对称点的坐标是P4(-x,-y,-z),故④正确,

所以应选A.(2)|AB|=

=

=

≥

.【答案】(1)A

(2)C【点评】(1)点P(x,y,z)关于坐标轴x轴(y轴或z轴)的对称点坐

标为x值不变(y值或z值不变),其余两坐标值变为原来的相反

数,点P(x,y,z)关于坐标平面yOz(平面xOy或平面xOz)对称点

的坐标为x值变为原值的相反数(z值变为原值的相反数或y

值变为原值的相反数),其余两坐标值不变.(2)本题体现了学科间的综合问题,最终转化成了求函数的最

值问题,特别是二次函数的最值问题在高中数学各章节中的

渗透无处不在,应该把二次函数的知识灵活应用.变式训练1

(1)已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,

1),C(3,7,-5),则点D的坐标为

(

)(A)(-3,1,5).

(B)(2,3,1).(C)(5,13,-3).

(D)(

,4,-1).(2)若A、B两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),

其中α、β∈R,则|AB|的取值范围是

(

)(A)[0,5].

(B)[1,5].(C)(1,5).

(D)[1,25].【解析】(1)AC的中点与BD的中点重合,AC的中点为(

,4,-1),则2×

=2+x,2×4=-5+y,2×(-1)=1+z,则点D的坐标为(5,13,-3).(2)|AB|=

=

=

.∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|AB|∈[1,5].【答案】(1)C

(2)B题型2空间直角坐标系的应用如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的等边三角形,平面SAC⊥平面ABC,|SA|=|SC|=2

,D为线段AB的中点,求证:|SA|=|SD|.

例2

【分析】本题一方面可运用立体几何知识求解,但需要添加

一些辅助线;另一方面也可根据图形特征建立空间直角坐标

系,将几何证明问题转化为代数计算问题.【解析】取AC的中点为O,连接OS,OB.∵|SA|=|SC|,|AB|=|BC|,∴AC⊥SO,且AC⊥OB.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC.∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥OB.如图,以O为原点,OA、OB、OS所在的直线分别为x轴、y轴

、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则易得A(2,0,0),B(0,2

,0),S(0,0,2

),∴D(1,

,0).|SD|=

=2

.又|SA|=2

,∴|SA|=|SD|.【点评】依据面面垂直建立空间直角坐标系,将几何证明化归为代数计算,是解决此类问题的关键.变式训练2

如图,正方形ABCD、正方形ABEF的边长都是

1,且平面ABCD、平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N

在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<

).(1)求线段MN的长;(2)当a为何值时,线段MN的长最小,最小值为多少?【解析】(1)如图,以点B为原点,BA、BE、BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.易得M(

a,0,1-

a),N(

a,

a,0).|MN|=

=

.故线段MN的长为

(0<a<

).(2)由(1),知MN=

.∴当a=

时,|MN|取得最小值

,即M、N分别移动到AC,BF的中点时,线段MN的长最小,最小值为

.题型3探索性问题

例3在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问:(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试

求出点M的坐标.【分析】设出点M的坐标,根据相等关系列出方程(组).求出

点M的坐标.【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.∵M在y轴上,可设M(0,y,0).由|MA|=|MB|,可得

=

.显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说y轴上所有点都满足

关系|MA|=|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知,y轴上任一点都有|MA|=|MB|,∴只要|MA|=|AB|,就可以使得△MAB为等边三角形.|MA|=

=

,|AB|=

=2

,由

=2

,解得y=±

.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,

,0)或(0,-

,0).【点评】由此可见,利用空间两点间的距离公式可以探索点的坐标是否存在的问题,而且方法简捷.变式训练3如图所示,正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧

棱长也为a,E为线段SC的中点,AC与BD交于点O,问在线段

BD上是否存在一点F,使得|EF|=

a?若存在,找出点F的位置;若不存在,请说明理由.【解析】以O为原点,线段AB、BC的中垂线所在直线为x轴

、y轴,OS所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-

xyz,则A(

,-

,0),B(

,

,0),C(-

,

,0),D(-

,-

,0).∵|SO|=

=

=

a,∴点S的坐标为(0,0,

a).∵E为线段SC的中点,点E的坐标为(-

,

,

a).假设在BD上存在一点F(x,x,0),x∈[-

,

],使得|EF|=

a.由空间两点间的距离公式,得

=

a.整理,得2x2+

=

,∴x=±

a∈[-

,

].故在线段BD上存在点F(

a,

a,0)或(-

a,-

a,0)满足题意.本知识点主要包括空间直角坐标系和空间两点间的距离公

式.空间直角坐标系和平面直角坐标系有很多相似的地方,平面直角坐标系中的一些结论可以类似地在空间直角坐标系

中得到.空间两点间的距离公式可以用来求两点间的距离,也

可以由距离求点的坐标;结合具体图形建立适当的空间直角

坐标系,可以求图形中一些特殊点之间的距离,与在平面直角

坐标系中一样,在空间直角坐标系中,也可以求满足一定条件

的点的轨迹方程.

例已知A-BCD为正四面体,且A(0,0,0),B(0,2,0),C(

,1,0),求点D的坐标.【错解】A-BCD为正四面体,设D(x,y,z),则|AD|=|BD|=|CD|=|AB|,即x2+y2+z2=x2+(y-2)2+z2

=(x-

)2+(y-1)2+z2=4.

解得x=

,y=1,z=

.从而D点的坐标为(

,1,

).【剖析】正四面体的三个点确定后,第四个顶点的位置有两

种可能,故本题有两解.解题绝不能想当然,凭主观臆断,而应

多想想为什么?譬如这里的点D位置是一个还是两个呢?如

果多想一想,本题就不会解错了.【正解】同错解,得x=

,y=1,z=±

.从而点D的坐标为(

,1,

)或(

,1,-

).1.(基础再现)点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵B点坐标为(0,2,3),∴|OB|=

=

.【答案】B一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础·角度·思路2.(基础再现)在空间直角坐标系中,已知点P(1,

,

),过P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为

(

)(A)(0,

,0).

(B)(0,

,

).(C)(1,0,

).

(D)(1,

,0).【解析】根据空间直角坐标系的概念知,yOz平面上点Q的x

坐标为0,y坐标、z坐标与点P的y坐标

、z坐标

分别相等,∴Q(0,

,

).【答案】B3.(基础再现)三棱锥P-ABC中,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0),P(0,0,

3),此棱锥的体积为

(

)(A)1.

(B)3.

(C)6.

(D)2.【解析】VP-ABC=

·S△ABC·PA=

×

×2×1×3=1.【答案】A4.(视角拓展)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的

形状是

(

)(A)等腰三角形.

(B)等边三角形.(C)直角三角形.

(D)等腰直角三角形.【解析】|AB|=

=

,|BC|=

=

,|AC|=

=

,∵|BC|2+|AC|2=|AB|2,∴△ABC为直角三角形.【答案】C5.(视角拓展)设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为

(

)(A)垂直于xOz平面的一条直线.(B)平行于xOz平面的一条直线.(C)垂直于y轴的一个平面.(D)平行于y轴的一个平面.如图,y变化时,点P的x坐标为1,z坐标为2保持不变,点P在xOz平面上射影为P'(1,0,2),∴P点的集合为直线PP',它垂直于xOz平面.【答案】A【解析】二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(基础再现)已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,

0,2),则过点A的中线长为

.【解析】BC的中点为(-1,1,-2),故过点A的中线长为

=7.【答案】77.(视角拓展)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的

顶点A(3,-1,2),其中心M(0,1,2),则正方体的棱长为

.【解析】设正方体的棱长为a,则对角线的长|AC1|=

a=2|AM|,∴a=

=

=

.【答案】

8.(高度提升)实数x、y、z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2

的最小值是

.【解析】(x-3)2+(y-4)2+z2=2表示以C(3,4,0)为球心,半径为

的球面,u=x2+y2+z2表示球面上的点(x,y,z)到原点O(0,0,0)距离

的平方,∵|CO|=5>

,∴原点O在球面外,故O到球面上点的最小距离d=|CO|-

,∴u=d2=(5-

)2=27-10

.【答案】27-10

9.(高度提升)已知空间三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在

直线OP上运动(O为原点).当

·

取最小值时,点Q的坐标为

.【解析】设Q(x,y,z),则有

=λ

,即(x,y,z)=(λ,λ,2λ),于是

=(1-λ,2-λ,3-2λ),

=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴

·

=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10,显然当λ=

时取最小值,此时Q(

,

,

).【答案】(

,

,

)三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)10.(视角拓展)在空间直角坐标系中,点A在x轴上,它到点B(0,

,3)的距离是到点C(0,1,-1)的距离的2倍,求A点坐标.【解析】∵A点在x轴上,∴可设A(m,0,0).∵|AB|=2|AC|,∴

=2

,∴m2+2+9=4(m2+1+1),∴3m2=3,∴m=±1,∴A(1,0,0)或A(-1,0,0).11.(高度提升)正三棱锥P-