控制测量学课件第12讲

第8章椭球面元素归算到高斯平面-高斯投影第12讲

第8章椭球面元素归算到高斯平面-高斯投影对于采用传统的测角、测边方法建立大地控制网，在不可忽略地球曲率时，必须将观测值归算到参考椭球面上，在椭球面上进行计算。椭球面上的计算是非常复杂的，另一方面大地坐标系统对于工程应用也十分不便，所以城市规划与建设、交通、水利等土木工程项目中，由于建设范围不大，实际工作中还是采用平面坐标系统。高等级大地测量将观测值归算到椭球面，在椭球面上计算建立全国统一的控制网，然后通过高斯投影方法，将大地坐标转换为高斯平面坐标。通过这样的步骤，高斯平面坐标和大地坐标即建立了一一对应的转换关系，即高斯平面坐标和大地坐标可以相互转换。第8章椭球面元素归算到高斯平面-高斯投影高斯平面坐标和将地面近似视为平面，所建立的独立平面坐标系统是有本质区别的。从椭球面到平面，投影变形不可避免。为控制变形，高斯平面坐标分投影带。虽然各带高斯坐标原点不同，X轴的方向也不平行，但是各带高斯平面坐标可以反算为大地坐标，这样以大地坐标为纽带，高斯平面坐标也是统一大地坐标系统下的一部分，而独立坐标系统则是孤立的，各独立坐标系统之间和与大地坐标系统之间没有联系，也不能换算。控制范围较小时，将地面视为平面，长度观测值不作归算处理，这样控制点坐标反算的水平边长与实测水平边长基本上一致。高斯平面坐标，经过了归算和投影，长度观测值存在变形，控制点坐标反算的边长和实测水平边长，理论上也不相等。8.1.1、地图数学投影变换的意义和投影方程地图数学投影是指将椭球面上元素按数学法则投影到平面上。椭球面是不可展曲面,椭球面元素投影到平面,变形不可避免。地图投影根据对变形的不同取舍,形成了不同的投影方法,研究投影问题的学科就成为地图投影学。投影数学法则可用两个方程式概括：（8－4）只是一个定义公式，其中F1

和F2

称为投影函数，它们是由“一定的数学规则”所决定的。不同的投影方法对应的F1

、F2

不同。如果F1

和F2

的形式已经确定，即可由大地坐标求得平面直角坐标。8.1地图数学投影的基本变换（8－4）8.1地图数学投影的基本变换8.1.2、地图投影的变形1.长度比不同的点长度比不同，同一点不同的方向，长度比也不同。2.主方向和变形椭圆长度比依方向不同而变化，其中最大及最小长度比方向称为主方向。在椭球面上任意点，必有一对相互垂直的方向，在平面上的投影方向也是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也称为主方向。已知主方向上长度比，可以计算任意方向上的长度比，从而构成以两个长度比极值为长短轴的椭圆，称为变形椭圆。8.1.2、地图投影的变形2.主方向和变形椭圆

8.1.2、地图投影的变形OAPBO'A'P'B'xy

椭球面ξη投影平面设椭球面上有以o点为中心的单位微分圆,两个主方向分别为ξ轴和η轴,微分圆上一点p，坐标分别为ξ和η,则单位微分圆方程为：在投影面上，设o点的投影点为o′,主方向投影为x,y.p的投影点p′坐标为x,y，已知主方向投影比分别为a,b,所以有：可见椭圆上的微分圆，投影后为微分椭圆(变形椭圆)，主方向投影后变为椭圆长轴和短轴。在变形椭圆上,某方向的向径就是该方向的长度比。主方向的长度比分别为a和b,3.投影变形1)长度变形

8.1.2、地图投影的变形2)方向变形设原方位角为α,投影后方位角为就称为方向变形，并且有：OAPBO'A'P'B'xy

椭球面ξη投影平面称为相对长度变形,简称长度变形（8－11）3)角度变形：投影前角度与投影后角度之差：

8.1.2、地图投影的变形

最大角度变形：（8－19）（8－24）4)面积变形：微分单位圆面积与投影后面积之比：,p和1的差称为面积变形相对变形，简称面积变形。8.1.3、地图投影的分类1.按投影面来分：平面投影、圆锥投影、圆柱投影等2.按变形性质来分：等角、等面积、任意投影等

3.按创始人的姓名命名的，如兰勃特、墨卡托、高斯投影等8.2.1控制测量对地图投影的要求8.2高斯投影概述控制测量对投影方法的要求是：①.计算方便，②，变形能够控制在可接受的范围内。高斯投影优点是：1.高斯投影属于正形投影，正形投影特点是投影后角度不变，传统的大地测量方法是三角测量方法，采用正形投影给计算工作带来很大方便。2.在微小范围内，等角投影能保持投影图形和原图形的相似性。3.投影长度比仅与点位置有关，而和方向无关。高斯投影能够满足控制测量和地图制图的基本要求，因而世界上许多国家都采用高斯投影方法。高斯－克吕格投影又称为等角横切椭圆柱投影。是高斯于十九世纪二十年代提出的，后经德国大地测量学家克吕格于1912年补充和完善，因而称高斯－克吕格投影，简称高斯投影。1.高斯投影原理:设想有一椭圆柱面横套在椭球体外，并与一子午线相切，椭园柱中心通过椭球中心。与椭园柱相切的子午线称为中央子午线，将中央子午线两侧一定范围内的元素投影（归算）到椭球柱面上，由于椭球柱面是可展曲面，将其纵向抛开，即展为投影平面上的元素。8.2.2高斯投影的基本概念由图8-78-8可见：①.中央子午线与椭圆柱相切，因而投影后为一直线；②.中央子午线投影后长度不变。图8-78-88.2.2高斯投影的基本概念2.高斯投影分带①.分带目的:控制长度变形②.分带方法:以子午线为界,把椭球面划分成若干个经差相等的狭长投影带,以各投影带中央的经线为中央子午线,分别进行高斯投影。3.我国采用的投影分带方法①.六度带：自零子午线起向东划分，每隔60为一带。②.三度带：每3度为一带，其中央子午线在奇数带与六度带中央子午线一致；偶数带则与六度带的分带子午线重合。③.1.5°带或任意带:

工程测量控制网也可采用1.5°带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6°或3°带建立联系。

8.2.2高斯投影的基本概念6度带自格林尼治子午线起，自西向东起，每隔6度为一带。3度带是从东经1.5度起，每个3度为1带。设6度带和3度带带号分别用n和（）表示，6度带中央子午线经度为，3度带中央子午线经度为。则：高斯投影面上中央子午线与赤道线是两条正交的直线，将其分别作为直角坐标系的纵横坐标轴，就构成高斯平面坐标系。我国位于北半球，x坐标均为正，而y坐标位于中央子午线西侧时会为负，为使y坐标不出现负值，我国规定高斯平面坐标统一在y值上加500km，并在前面冠以带号。由于当图形元素分别位于两个坐标系统时使用不便，所以规定每个投影带要有一定的重叠度，以便边缘地区控制点的位于同一坐标系统，也方便地形图的拼接、使用。Y坐标加常数的高斯平面直角坐标系

A

••

B

xyxyXY

A

••

B

8.2.2高斯投影的基本概念（a）自然坐标（b）通用坐标西移500km例：在六度带第19带中A、B两点自然坐标通用坐标8.2.2高斯投影的基本概念高斯投影3度带与6度带中央子午线对应情况

图8－98.2.3椭球面三角系化算到高斯投影面图8－19中，椭球面上有一顶点为P、K、Q、M、T的椭球面三角网被化算到高斯平面上，大地线化算（投影）到平面后，三角网边长变为凹向纵轴，长度变长的曲线。图8－198.2.3椭球面三角系化算到高斯投影面要化为平面三角形，需要用弦线来代替弧线，为此要加方向改正、距离改正。平面坐标系统采用坐标方位角，它与投影后没有变化的大地方位角相差一个微小的角度，称为子午线收敛角，将大地方位角改化为坐标方位角需要加子午线收敛角改正，曲线改为直线，需要对方向加方向改正。所以要将椭球三角网投影到平面上解算，其内容有：8.2.3椭球面三角系化算到高斯投影面1、将起算点P的大地坐标（L,B）归算为高斯平面坐标，这项工作称为高斯投影坐标正算。反过来由(x,y)计算（L,B）的工作称为高斯投影坐标反算。2、将椭球面上大地线方位角化算成高斯平面上相应直线边的坐标方位角，为此需要加子午线收敛角、方向改化两项改正。3、将椭球面上曲面三角形内角改化为高斯平面上直线三角形内角，为此各方向均要加方向改正数（曲率改正）。4、对于椭球面上的边长，归算到高斯平面上后，除中央子午线上外，长度均有不同程度的变长，所以要加距离改正8.2.3椭球面三角系化算到高斯投影面由此可见，高斯投影包括的内容为坐标、方向（曲率）、边长、子午线收敛角等几项改正计算工作。教材中同时使用“方向改正”和“曲率改正”。并且将其并列（67页（3）），实际上两者是同一个概念，这在对公式（8－３４）和前面（２）条款下的解释也可以看出．8.3正形投影的一般条件正形投影是地图投影的一种，而高斯投影又是正形投影的一种，即高斯投影是满足正形投影一般条件和其特定条件下的一种地图投影方法。正形投影区别于其他投影的特点是：“正形投影中长度比与方向无关”，这是推导正形投影定义式的基本出发点。8.3正形投影的一般条件

图（8－11）中椭球面上有一微分直角三角形

，其顶点大地坐标已标注在图上。投影到高斯平面上后为，（图8－12），高斯平面坐标也已标注在图上了。（注意:标注的顶点顺序不对应,8-12中的p3′应该是p4′.）图8－11图8－128.3正形投影的一般条件对应图8－11和8－12可得：（8－36）8.3正形投影的一般条件由此可得长度比表达式：令：，则：（8－39），称q为等量纬度，因为q只与纬度有关，所以可将dq和dl看作相互独立变量的微分。由此长度比公式表达式可写为：（8－37）8.3正形投影的一般条件（8－40）由于地图投影就是要确定平面坐标与大地坐标间的关系式，等量纬度q与大地纬度B间有（8－39）式所确定的关系，所以投影问题也可以看作建立(x,y)与(l,q)间的关系式。设有一般式：,求全微分得:（8－42）8.3正形投影的一般条件将（8－42）代入，并引入（8－43）式的符号，得到：由于正形投影的特性是长度比与方向无关，所以要设法在（8－45）中引入方向元素。根据图（8－11）,并顾及到:,

（8－44）（8－45）（8－46）就得到:

8.3正形投影的一般条件即:,将和代入（8－45）经整理得：注意:(8-40)-(8-53)之间的公式,平行圈半径r都写成了γ。根据上式可见，要使m与方向无关，必须有F=0,E=G。代入（8－43）式符号得到：（8－48）8.3正形投影的一般条件(8-50),由此整理（见70页）可以得出：

（8－51）就是椭球面到平面的正形投影一般式，是正形投影必须遵循的一般法则。该公式在微分几何中称为柯西－黎曼条件，也称为等角投影条件。

(8-51)8.3正形投影的一般条件由（8－51）式还可得出平面正形投影到椭球面的一般条件：

(8-52)相应的长度比公式又可写为：(8-53)8-51和8-52式是椭球面到平面及平面到椭球面正形投影的一般条件,是各类正形投影都必须遵守的一般法则.8.3正形投影的一般条件柯西黎曼条件的几何意义图（8－13）中，A是椭球面上一点在平面上的投影，弧长AB和AC分别是L=常数的子午微分弧段和B=常数的平行圈微分弧段在平面上的投影，γ是子午线收敛角。从相似三角形得到：图（8－13）（8－54）(8-54)实际上应用到等角投影的条件柯西黎曼条件的几何意义据椭球上微分弧长计算式，并顾及到投影长度比m与方向无关（引入正形投影一般条件，并顾及到AB、AC长度很短，投影长度比m在此范围视为常数），可得：，引用公式（8－42），并直接使用大地纬度B代替公式中等量纬度q