高等数学第一章教案

《高等数学》Ⅱ—Ⅰ一 课程名称：高等数学ii\Calculus二 学时与学分：72学 4学 四 课 《高等数学，重庆大学主编，高等教育 胡 等译《微积分》高等教育 和方法培养学生学习数学的帮助学生养成数学和其它数学知识的能六、教学方式（主要采用讲授新课的方一、教学目标与基

1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法。第一节微积分的一些基本问题第二节映射与函数 第三节数列的极限 第四节函数的极限第五节函数极限与连续数列的极限、函数的极限的概念闭区间上连续函数的性质。四、教学内容的深化和拓宽连续的实质，闭区间上连续函数的性质，用介值定理推证一些简单命题。六、教学方式（第一节微积分的一些基圆的面首先，正nA1lhl—正nh 2n 其次，圆的面积可看成是正多边的面积近。当正多边的边数n无限增大时，圆的lim lh 2rrr n n2n yy为了简单起见，将[0,1]区间n i 为用小矩形的面积

(i1,"n近似代替对应 n 12 22 n2 1S " (1222"n2) n(n1)(2n n

n

n Slim

1n 变速直线运的瞬时速度问题（这两个问题在给出导数定义时讲第二节映射与集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.二、教学讲稿内全校、的学生均构成集合，商店的所有电视机或所有冰箱或所有衣服等也都构成集1。集合一般用大写字母A,B,C,"来表示中的元素用小写字母a,b,c,"表示。如果A中的元素，记为aA，否则记为aA集合的表列举法：把集合的元素一一列举出来，表成a,bcd描述法：把集合的特性描述出来，表成xx具有某种性质Bxx23x20B(xyx2y21,xyRC能被3整除的数集合的分空集：不含任何元素的集合，记为。如xx210,x2子包含于B或B包含xAxBA①AA，②A，③AB,BCAC，④AB,BAA并A并xA,或xBxABxxA,或x①A∪BB∪A，②(A∪B)∪CA∪(B∪C)，③A∪A，④A∪A⑤若AB则ABB交语言文字描述：由同时属于A和B的所有元素所组成的集合，称为A与B的交集，记ABAB（读作A交xA,且xBxABxxA,且x①A∩BB∩A，②(A∩B)∩CA∩(B∩C)A∩B∩C，③A∩④AAA，⑤若AB,则ABA，⑥ABCAC(BC)A(BC)ABAC差集、余ABA\B（读作A差。xA且xBxABxxA,且xABC（读作B关于A的余集。若所考虑的集合均是集合I的子集，则A关于I的余集简记为B,或BC，此时I称为全集ABA则xABx①I,I②AA,A∪AI,A∩A③若AB,则AB;若AB,则A④AA,AI⑤ABA∩BAA∩⑥A∪BA∩B,A∩BA∪Ax1x2BxxABxx1ABx0x Bxx0，(B 3为了应用方便，我们区间来表示数集。abxaxbabxax半闭半开区间：[a,bxax(,b],(,邻域x到定点a的距离小于定长的一切点的集合。记为U(a,U(a,xxa，其中定点a称为邻域的中心，定长称为邻域的半径。邻域实际上是以a为中心的开区间，因有U(a,)xxa(aa。该邻域的概念可以推广到的情形D去心邻域U

)x0

x

(a,

∪(a,a)U(a,)二、映映射的概定义X,YfxXf，总有唯一yY与之对应，则称fX到Y的映射，记为f:XY.其中，y称为元素x在映射f下的像，记 X Yyf像f(x),即yf(xx称为元素yf下的原像。XfDfyf像X中所有像所组成的集合称为f的值域，记为Rf或fXRffXyyf(xxX。RffRf

1,1,f(xsinx22fX到YRfYfX到Yx1x2f(x1f(x2fX到YfX到Y一一映射（或双射非空集合X到数集Y映射称为X上的泛函。X到自身的映射称为X上的变换。X到实数集YX上的函数逆映射fX到Y的单射，则对yRf存在唯一xX使f(x)y定义一个新的映射g:RfX,g(y)x，称映射g为f的逆映射，记为 DfXRgf

1,1f(xsinx

22f1xarcsinxx复合映射gXY1fY2Z,Y1Y2fDgXZgffDgfDg(xf(g三、函y是xyf(xyx3Rfyyf(xxXY。在实际意义下的定义域为[0,R，只考虑抽象数学表达式时其定义域为(,。若xXfyYy是x的单yx2yexr2x如关系式x2y2r2确定一个多值函数，x[r,r]，总r2xr2xr2x如x2y2r2且y0，则y 为单值函数，称为x2y2r2的一单值支r2xy x2y2r2x（1）yx，Df[,),Rf（2）y2,DfR,Rfx3f(x)sgnx0,x1,x

R,R

xy x（1）f(x)x,g(x) ，f(x)g（2）f(x) ,g(x) 1,fx(1 1f(x)sin2xcos2x,g(x)1,fyf(xuf(t（1）y ,Df0∪[1,3)∪(3,x（2）f(x的定义域为[0,1]f(x2f(sinx),f(x1)f(x1)例f(x1)x23x2,求f(x),f(x例已知f(x1)x2 ,求f(x)x,函数的表如f(x)2

0x1xyf(xxD1yf(x)与xx,y有序数对就定出一个点M(x,y)xM(x,y)

f(x例 例函数的特f(xD（定义域的子集）内有定义，若xK1f(xK1f(xDK1f(xDK2f(xK2f(xDK2f(xDM0，使f(x)M，则称f(x)在D上有界，否则称f(x)在D上，即M0,x0Df(x0f(xD上有界f(xDf(x1在(0,1)上有11f(x1在(0,1)上有下界，无上界。 f(x1在(1,5)上有111f(x1在(1,5)上既有界，也有上界。 注意：①函数的界只要存在就不唯一②sinxcosxarcsinxarccosxarctanxarccotx为有界函数（在其整个定义域内有界减少，则称f(x)在(ab)上是单调增加的；f(x)在(ab)的函数值随自变量x的增大而减小或随x的减小而增大，则称f(x)在(abf(x1f(x1

f(x2f(x)在(abf(x2f(x)在(ab例f(x)x2在(0,单增。f(xf(x)x2x2(xx)(xx)0f(x)f(x f(x)f(x)f(xf(x)f(xf(xf(xf(x不非奇非偶函数。例讨论函数f(x)xn的奇偶性。f(x)(x)nxnf(x),当nxnf(x),当n所以，当nf(x为奇函数，当nf(x为偶函数。这正是奇偶例3f(x)loga(x1x2f(x)

(x1x2) log(x1x2)fx1x1xf(x) 1ax 因：若点(x,f(x在图形上，则(x,f(x))(x,f(x也在图形上，而点(x,f(x与点(x,fx))关于原点对称，故图形关于原点对称。奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶奇奇=偶，奇偶=奇，偶偶=偶奇奇=偶，奇偶=奇，偶偶=f(xD，存在T0，使xDf(Tx)f(xf(x是以如sinxcosx以2等为周期,tanxcotx以等为周期D(x)以任何有理数rD(rx)

f(xTf(ax是以Ta①f(x)sinxsin2xsin3x,T2，②g(x)sinxsinx

x

yf(xxyxyf(xyf(xxyy(xf1例y2x1x1y1)y1(x 3例yx3的反函数为y3yyyyfyx对称。设M(abyf(x上的一点，即bf(a，由反函数的定义a(b成立，即M(bay(x)上的一M(abM(bayx对称（须证MMyx垂直平分关于yx对称。yf(u),u(x)且(x)的函数值全f(uy是x的函数，称这个函数是由yf(u)及u(x)复合而成的函数简称复合函数，记为yf((x))u称为中间变量。例f(x)

x,x

g(x)

xx

,f(g(x))解 f(g(x)) g(x) g(x)

x x函数的延定义：如果Dg 且当xDg时f(x)g(x)则称函数f是函数g的延拓1：将函数f(x)xx[0,12的偶函数（1-解：fg(x) 0x 1xG(x)x2n,2nx2n n[x2n],2n1x或h(x) 0x1，G(x) x2n,2nx2n2 1x 2(x2n)[x2(n1)],2n1x2(n 初等函yx3yyx3yx2yy yxD随的改变有所不同，但在(0,)上总有定义。1当 ,1的图形为2 0时，x

第一章函数极限与连续 0yx②图形恒过yax(a0,a①定义域(,)，②值域④图形x轴上方，恒过(0,1)1yax与y

a对数函数（指数函数的反函数）ylogax(a0,a①定义域(0,)，②值域③图形为：与指数函数的图形关于直线yx④图形y轴右方，恒过(1,0)，a1时,ylogax单增，a1时,ylogax单减当ae时，记logaxlnx，称为自然对数。y ysin①定义域(,)，②值域[1,1]

2k,2k2k,2k3 ⑥周期Tycos

2 2y①定义域(,)，②值域[1,1] 2k,2k2

11o2x2k,2k单减，⑥周期Tytanxk2

⑥周期Toxytan ycotoxycot①定义域xk，②值域(,) ⑥周期Tysecxk2

，②值域(,1]∪[1,) ，④偶函数，⑥周期Tytanycsc

ycsc①定义域xk，②值域(,1]∪[1,) ，④奇函数，⑥周期TyArcsinxD1,1R(,)yArccosxD[1,1R(,)yArctanxD,yk2yArccotxD(,y22yarcsin yarccos yarctan yarccoty[2

yArcsinxyarcsin2y[0,yArccosxyarccosy2

yArctanxyarctan2y0.yArccotxyarccotyshxychx

exe2exe2

shxexe双曲正切：ythx

exexy1yyyyy12y1yoxyoxysh(xy)shxchychxshy，特别地sh2xch(xy)chxchyshxshy，特别地ch2xsh2ych2xch2xsh2y反双曲正弦：yarshxln(x x21)，奇函数，单

yarthx1ln1x，定义域(1,1) 1第三节数列的一、内容二、教学数列:研究其变化规律数列极限:极限思想、精确定义、几何意义收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性讲稿内序的数x1x2"xn,"叫数列，数列中的每个数叫数列的项，第n项叫数列的一般项。例①,,", xn②1,2,3 n x 23 n n③1 ③1 2

43

nnA1,A2,"An只要取定n，An终究只是正多边形的面积，而不是圆的面积。如果我们设想n不取定，

nn

11n11，当nx1 因此我们讨论的主要问题是：当n无限增大时，xn是否趋于一个确定的数，如果是，n n 4 x11 xn10xn1你给出的数()还要小。事实上，

xn1取

11n

取

11n

取1

11

1N

1x当n无限增大的极限，记为limx n定义如果数列xn与常数a，总存在正整Nn使得对于nNxnxna都成立，则称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a，记为limxna,或xna(n。如果数列xnnxn是发散的极限的定义即0,N0,当nN时xa,则limxn

n①N与NN，使得当nNxna成立就行了，不要求满足不等式xnaN，因此不等式可以适当放大。 又由于它的相对固定才能找到数列xn从那一项N开始，才④xn趋于a

xna0,N0,当n)N时xa)M,则limxaMnn

n例已知xn ，证limxnn

11n只须nN1则当nNx1，所以limx例

n，证limx

n10

x0 (n 只须n11N

则当nNx0，所以limx n证2：0，要使x0 11n只须n1N1

(n

n 则当nNx0，所以limx n例证 nn83n

0（必须放大从上面的例子可以看到：在利用数列极限定义来验证常数a是xn的极限时，只须NNxnaNxna整，因为N表示的是数列的项。例q1,

qn1，limxn0xn0qn1只须n1 1ln ln

1

lnlnq 则当nNx0，所以limxnn例证 n

n证：不妨设a1，当0a1nn0，要 1 1，只须n nnln(1nn取N ，则当nN时， 1，所以 nn ln(1)

证明数列0.,0.1,0.11,",0,"的极限为9证：0xn19

1nn

n10nn10n只须nlg

N

19则当nN

1，所以limxn n n二、收敛数列的1（极限的唯一性）若数列xn收敛，则它的极限唯一。 a

a

只要使ab,即ba就可导 2证：反证法，设limxnalimxnb，且aba1 1因lim

a，所以对ba

0,当nN时

aban

3ab

a2n因limn

b，所以对同样的ba

0,当n

2时

bba2ab

3b2NmaxN1N2，则当nN例xn1)n1n证（反证法：设limn

a，则对1N0,当nN时

a即a

a1亦即当nN

1的开区间(a5

1,a

1xn1与-15定理2（收敛数列的有界性）如果xn收敛，则xn必有界x1x2xn"称数列xn是单减的；若x1x2xn"，称数列xn是单增的。证：设limxa，则对1,N0,当nN时xan 从而当nN

xnaa

xnaa1而当nN时，取M1maxxx,

，令MmaxM,1a 则对xn推论xn

M，所以xn，则xn必发散3limxnAlimynBN，当nN时，有xnyn AB1的分析一样，只需取AB21（收敛数列的保号性）如果limxa且a0(或a0)N0n当nNxn0(或xn3y0设a0，取a xaxa 2：如果xnxn0(或xn0，且limxna，则a0(或a0)证（反证法3：若limxnAlimynBABN，当nNxnyn成立

定理4（夹挤定理、定理、两边夹法则若（1）ynxnznnN（2）limynalimznalimxn 用定理来做题时，主要将xn适当的放大、缩小，且放大缩小后的数列n2n2n2n2n2n2

33n2sin3n2sin3n2sinn!n1

n

3 n n

n3 131nn定理5（收敛数列与其子列间的关系）如果limn

a，则xn的一切子列x敛，且limn

a xn的子列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列x称为原数列x的子数列，简 xn:x1,x2,x3,x4,"x20,"x30,"x50xn:xn子列x

xxn是第k项，而 在原数列x中是第n项，显 nnnn

有nkk证明：由于limxa，所以0,N0,当nN时xan KN，则当kK时nknKnNNxna，所以limxnkkK时nkkK

k 推论：若数列的两个子列收敛于不同的极限，则该数列一定发例证明xn 是发散证：取数列的两个子列yk1,zk1,显然limk

1,limkk

定理6：若数列{xn}的所有奇数项构成的子数列{x2n1}与所有偶数项构成的子数{x2n都收敛，且limx2n1limx2nA，则数列{xnA 板书：已知xn，若limx2n1limx2nA，则lim 证：limx2n1A,0,N1，当nN1，即2n12N11n又limx2nA对上N2，当nN2，即2n2N2x2nAn

x2n1ANmax2N11,2N2nNxA，所以limA. 三．数列极限的四则定理 设limxnA,limynB都存在， lim(xnyn)存在，且lim(xnyn)limxnlimynA lim(xnyn存在，且lim(xnyn)(limxn)(limyn) lim 当limyB0时， 也存在，且 n n

n

lim n问：yn0B0N，当nNyn0（保号性证（2）因limxnAlimynB，故0,N及M0，当nN xnA,ynBynxnynABxnynAynAynABxnAynAynBMA证（3）因limxnAlimynB，故0,NnN BxA,yByB BxnAynBxnAynBxnABABBBxnAynBB2

)ABBAB四．收敛准则单调有界数列必有极限从数轴上看：单调数列对应的点向一个方向移动，只有两种可能①无限远移，n②无限接近于某一个固定点。因准则假设有界，故只第②成立。例证明当n时，xn n的极限n

，显然xx ,0

存在为1（为什么nn nn

nn例证明 2 2"22"2,"的极限存在证明：单调性：显然；有界性：x2x3

22 22 2 2xn2如何求该数列的极限呢？nlimxn2由已知得：xn x22xn12na22aa2,a1（舍去例求数列a,a a "0)的极限na证：显然单增（也可用数学归纳法证明）xnxna有界性：所给数列一般项为

n1

a

xn（为什么会想到变形这一式子？）a a

a

a,且

1

1，有界性得证其极限求与上例类似，其极限为12

14例：A0,x0,x1(xA),x1(xA," 1(xA"n 讨论数列{xn}的收敛性，若收敛求出其极限解： 由

1

A)AxA

知数列

A

xA xA(b)又xn1xn (xn )xn

n故数列{xn}单调下降由 知数列{xn}单调下降且有下界，所以数列{xn}收敛.设limxn) 1(xA)两边取极限n得a1(a)A A即a2A但因

}有下界0，所以limnn

a例：设数列

1 1

(n0,2,) 证明数列{xn(2)求其极限

1 1xn

故

下证数列{xn}单调增加，即xn1 显然x1x0，即当n0时（A）假设当nk时（A）xk1xk；当nk

xk1)(1 )

xk

xk

k k 1

k

1

1

k

1

(1

k

)(1xk即当nk1时（A）式成立，故数列{xn单调增加有上界，所以它收敛n设limn

A，在等

1 1两边取极限n，得A1A1

A2A1解得

1 525

,

12

50（A0。故limn

A1 525另证

xA n1n

A)1

xn1xn1

)(1A)

" x1x1xn1问题思考xnnxn1xn1，设limxnAAA10限.lim(11)ne8" x11)n

的极限存在，只须证

单调、有界。x(11)n1n1n(n1)1n(n1)(nn1) 1! n 111(11)1(11)(12)(1n (11)n1111(1

1)1(1

1)(1

)(1n

n

n

n n 1

n) n(n n

n

n从第二项开始，xn的每一项都小于xn1的对应项，且xn1还多最后一正值项。xnxn1.即单增。xn的有界性：n!2n11 )x111(11)1(11)(12)(1n11111) 111

1

11(111

3(1)n2x的极限存在。记lim(11)ne8"n或利用1 n(n n

x111111111" 1111 1 2 (n 注：1 1，这一式子在数学上也经常使用k k(k k 练用定义证明limn2n2

x0

()，只需n3

ln ln2ln 取Nmax ln ln2ln 设anan，证明：数列an收敛，并且

na0，其中aRn nn证明：（1）a0时，显然an收敛，且lima

na

（2）a0

n1

1，当na1时。且注意n (n n

n 即an单调减小有下界，故an收敛。设limank，因an1 (n n故klim0 lim a alima0k nn1 nnaa

naaa0时，则由不等式

与准则知lim 0 n讨论设x2,x21" 2讨论

，求limx.（注意该数列没有单调性 1

n n解：先求出极限A 2，后用极限定义验证xn1x1xn1xA21(21)xn1x1xn1n 一、内容

第四 函数的极讲稿内当自变量n取自然数，对应的函数值f(n)a（如果撇开n取自然数这一特性，将nx取实数）x取实数，对应的函数值f(x)ax取实数x0f(x)f(x)x(x

),f(x)1(x),f(x)x2x2)x一、自变x趋于有限值x0时函数f(x)的极f(x)Af(xAxx0xx0来描述。这样我们得到limf(x)A的定义。定义f(xx00,f(xA，则称limf(x)A

0，当0xx0 xx0x0(x0x0)时A注

f(x)A

x

0,即xx0f(xx0f(xx0有定义无关。如limf(x)limx212,limsinx x1x x与x0接近程度的量，与x0x③并不要求最大的f(xA f(x0,0，当0xx0f(xAMM0 例证limCC 例limxx例lim(2x1)1

xx211，lim(1x2)1，limx2 x12(x x3 x1x从上面的例子我们知道：验证函数极限的题，关键在于找 ，如何找 呢？假f(xAxx0当作未知数求解出来。由于不要求最大的且例

f(xAlimxsin1 证明：0，要使f(x)0x x，只须x，取xf(x0，所以limxsin1 例当x00时，limxxxxx 证：0，要使f(x)

x

x

xx0x0，取 x0,x0例limx3 证0x31,即2xxxx要使f(x)0 ，只须x32，取minxxx2x则称A为f(x)的左极限或右极限。用""可定义为极限定limf(x)A0,

0，当0

x

f(xA左极限定义xx0右极限定义

f(x)A：0,xx0f(x)A：xx0

x0x00x0xx0f(xA

f(xAf(xx0处的极限存在f(xx0或limf(x)A

xx0

f(x)xx0

f(x)A[f(x0)f(x0)Ax1,x例f(x)0xx1,x

，求limflimf(x)limx1)1,limf(x)limx1)1，故limf(x 2自变量趋于无穷大时函数的定义0,X0xX时，有f(xA，则limf(x)yA

0xX,或xXyf

f(x)A，

f(x)也有limf(x)A例证lim1x

f(x)

f(x)xX

f(xA1xxf(x)，所以lim1x

x1

1一般地，若limf(x)CyCyy0是y1x

f(xlimarctanx,limarctanx(注意limarctanx不存在 2 y2

yarctanx二、函数极限的性1（极限的唯一性）若limf(x2（极限的局部有界性）若limf(x)AM0和

00xx0f(x)证：因limf(x)A，所以对1

0 0，当0x 时 fA故f

f(x)AAf(x)AA1 3（极限的局部保号性）limf(xAA0(或A0)，则存在常数0使得当0xx0f(x)0(或f(x)A0,取A2推论x0的某个去心邻域内，f(x)g(xlimf(x)Alimg(x)B，则 AB定理4（复合函数极限运算法则D设limg(x)u0limf(u)A但在U(x00)内g(x)u0 则limf(g(x))Alimf 证：要证0,0，当0xx0时，有f(g(xA因limf(u)A，所以0,0，当0u

时

f(uA又因limg(x)u0，对上面0,10，当0

x

1

g(x)

取min1,0，则当0

x

g(x)

g(x)

0即0g(xu0，从而f(g(xAf(uAlimf(g(x))令g(x)ulimf(u) limf(xg(x)

limgx)其中limf(x)0,limf(x)x x x5Heine海涅定理n有limf(x)An

limf(x)Ax0为极限的数列{xnxnx0设limxnx0(xnx0

xx0f(xA则对于上述的0N，当nN时，有0xnx0f(xn)}，当nN

f(x)A，故limf(x) 于任意的0，都存在满足0

xx0的x，使得f(x) 取一系列的

1，则存在满足0n

xn

1x f(xn)A 0x

1lim

x，数列{x}(

x)

为极限，但从（8） n

nlimf(x)A，这样就得到.（充分性的证明可用定理4n注x0x0的极限存在没有什么意义x0的极限不存在却很有效事实上，以下两种情形都能说明函数f(x)x0的极限不存在：

为极限的数列{xn}，使得limf(xnf(xx0为极限的两个数列{xn与{yn，使得limf(xn与limfyn在，但limf(xn)limfynf(xx0 12证明极限limcos1不存在

证f(xcos1x

1n,2,,"y n,2,"， 2n 2limf(xn)limcos2n limf(y)limcos(2n) 故limcos1不存在 D6若（1）在U(x0,（xM内）g(x)f(x)（2）(

g(x)limh(x)(x(

f(x)例证明limcosx证：只须证lim(1cosx2 x x0xx

时,01cosx22

2() 而 0，所以lim(1cosx)0，即limcosxx0 利用该准则，我们可以证明一个重要极限limsinx OOBAOBxx SAOBS扇AOBSAOD即有1sinx1x1tanxsinxxtanx1 cosxsinx sin cos 上面不等式对(x也成立，即当x,0)时，上式也成立。2lim 由于limcosx1，所 sinxlim 因为在求极限的过程中可以作代换，所以limsinu1,utan 例 例 x0sin例limsinmxmmn x0sin 1cos

2sin2

sinx例 2

2 例lim

xsin

xsin(x2sin(x2nx

x2x0 x x或令x2ntlimxsint例limarctanx

t 利用该定理，我们可以证明另一个重要极限lim(11x的极限存在， lim(1)x 证明分三步：xnlim(11)ne x时，有lim1

1)x x时，有lim11x②证明lim1

1xe，用准则Ⅰ可以证明

xR，必有nxn1

1 1

1 n n n )n(1 )x(11)x(1 )x(11n n 1)nlim(1 1)n1(1 1)1e,lim(11)n1lim(11)n(11) n n n lim11x ③证明lim1

1xex(1y，则

1 lim(1

)xlim(11(1y lim lim( )(1y)lim(1)(1y) 1

1 y11

1

综上所述lim(1 )xe，作代换x可得lim(1x)xe lim(11)x1 lim(13lnx)ln lim(1tan2x)3cot2x

x )2)xx lim(11)xlim(11)x(11) x 2x 5)xx2x 0lnx0lnx，只须exee1x1e 取 e1,e ，则当0x1时，lnx0，所以limlnx

lnx0lnx

x1穷小与无二、教学要求和理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系教学：无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数，零是唯一的无穷小的数一、无穷若limf(x)0(limf(x)0)f(xxx0(x 或定义0,0(X0)0xx0xX)时有f(x)，则limf(x)0(limf(x)0)

。无穷小不是数，任何数（0以外）例证 x01x1x1证：0，要使f(x) (x1)，只须x x1x11取min 1 1则当x时，有f(x)0，所以 x01定理（极限与无穷小的关系）limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。证：设limf(x)A，则0,

0，当0xx0时，有f(xA令f(xA，则xx0f(x)Af(x)A知f(xA，且xx0所以0,0，当0xx0f(xA，故limf(x)A二、无穷若limf(x)(limf(x)f(xxx0(x 或定义为M0,0(或X0),当0xx0(xX)时f(x)M，则 f(xxx0(x当limf(x)(limf(x))f(x) 例证 x11证：M0，要使f(x) M，只须x11,取xx则0x1，有f(x)M，所以 x11

1Mlimf(x)xx0是ylimtanx,limtanx

f(xxx xx 极限运算法二、教学要求和熟练掌握无穷小的运算法则,极限的四则运算法则及其推论,复合函数的极限运算教学：讲稿内定理1有限个无穷小的和仍为无穷小。)如lim12n1lim11n(n1)1)nn n n nn2 3若limf(x)Alimg(x)Blim[f(xg(x)]ABlimf(xlimg(x)（可推广到有限多函数的和limf(x)g(x)ABlimf(xlimg(x)（可推广到有限多函数的积）limCf(x)Climf(x)②limf2(x)limf③limfn(x)limflimf(x)Alimf(x),B lim证（2）f(xAg(xB,均为同一自变量过程中的无穷小，f(x)g(x)ABABlimf(x)g(x)AB（3）f(x)Ag(x)B,程中的无穷小，要证f程中的无穷小，要证fAfA，即证fABBBf(xAAA (BA，其中(BA B B(B B(B

D

)时,有g(x) B1Blimg(x)B0,U(x0),当xUB1BB(B11B B(B11B B另

),有 B(B

2121B(BB121B(BB

B

B

B(B) 2

B例f(xa0xnaxn1a求limf xF(xP(x其中PQ 当Q(x Q(x limF(x)lim

)0,P(x0) xx0 去掉零

)0,

)例limx31x3x2 例lim4x32x2x1 3x2 例limxn11x21x2例

例

x2p2p(P0,q0)qx2q2 例

2.（利用代换求极限3x3xx例lima0xma1xm1ama0,bxbxnbxn1"

,,

当m m a " mxb0xb1

"

当m例limxsin1，limsinx，limarctanx，limsinxarctan1，limlnx 1 x第五 函数的连一、内容二、教学要求和无穷小的比较，反映了同一过程中, 无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小; 等价无穷小的代换:求极限的又法, 一、无穷小的比x0xx2sinxsin2xxsin10xlimxlimx

0，limsinx1，limsin2xxsin x

x0x x0 x x"x 定义设,都是无穷小，若lim若lim

limlim

c0,k0是关于k1与是等价无穷小，记为~定理（等价无穷小的性质（1）反身性~（2）对称性~，则~（3）传递性~~，则~~0，则~~~，且limc，若c1，则~

若c1，则~11证：lim 1 1 1c1111 11 11~1~1，则~~，则f(x~f ~~，且lim(1)1存在，则lim(1)lim(1

0,0

,00

定理设~,~,lim 存在，则lim 证明：lim

lim

lim

有下面一些常用的等价无穷小（u0①f(u)~f②sinu~u，arcsinu~u，tanu~u，arctanu~③ln(1u)~④eu1~⑤1⑤1 cosu 2

(1u)1~u（已知证明该等价无穷小证③：因u

1lne证④：limeu1令eu1t u0ln(11lim(1x)1limeln(1x)1limln(1x)limln(1x)1

1limtanxsinxlimsinx(1cosx) sin2 sin3 limtanxsinxlimxx sin3 x0sin3limtanxsinxlimxsinx limtanxsinxlimtanxx 如tanx~x

x3,sinx~x

x3，则limtanxsin

limx1x3(x1x3)

1x1x 例limsin3mx例limx

1)limx2

2x 例lim3x25sin1lim3x251lim3x253x2x x2x x2x2 1tanx1tanx1tan

ex

1tan1tanx1tan2tan(1tanx1tanx)(ex ex (1(1tanx1tanx3x22x例：当x1时 lnx是3x22x3x22x解： lnx 3x1 ln[1(x1)]，而3x22xln[1x1~(x1)3x3x22x1ln (x1)

3x1 x3x1 x1ln[1(x3x22x lnx3x22x

阶无穷小2exe例

limex(e()x1)limex()x

.(

或因limex1x limexe

lim(ex1)(ex1)limxx

二 函数的连续与间函数在一点连续必须满足的三个条件区间上的连续函数间断点的分类与判别;讲稿内容一、函数连的续自然界的许多变化都是连续的，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化的，这种变化在函数关系上表现为当自变量有一个微小变化时，其函数值也只发生微小变化。为了描述自变量和函数值的变化，我们先引入自变量增量和函数增量的概念。自变量增量、函数增量的概念给定yf(x，自变量从初值x1终值x2，则终值与初值之差x2x1称为自变量的增量，记为xx2x1y

相应地函数值从f(x1f(x2)f(x1

f(x2)，则f(x2f(x1)也可这样描述增量（改变量xx0x0x，自变量增量为f(x):f(x0)f(x0x),yf(x0x)f(x0或者这样描述增量：x:x0x,xxf(x):f(x0)f(x),yf(x)f(x0后两种是我们常用的增量形式。yx2x0Dx0一个增量x，则函数的增量为：y(xx)2x22xxx 从上式可以看到，当x发生微小变化时，y也只发生微小变化，x0时，y0连续的定 定义 设yf(xx0的某个邻域内有定义，若limylim[f(x0x)f(x0)] yf(xx0处连续。定义2yf(xx0的某个邻域内有定义，若

f(x0x)f(x0)limf(x)

f(x0yf(xx0处连续。limf(x)f(x0 (2)limf(x存在 x(3)limf(x)存在且与f(x0相等 续。

0,0,当x

时f(xf(x0)yf(xx0处连单侧连续的概念连续是用极限来定义的，极限有左右极限之分，相应地，连续也有左右之分。左连续：f(xx0的左邻域内有定义，若右连续：f(x)x0

xx0xx0

f(x)f(x)

f(x0f(xx0左连续。f(x0f(xx0右连续。进一步地，由极限存在的充要条件得连续的充要条件。f(xx0连续的充要条件是f(xx0左右连续。limf(x)

f(x0)xx0

f(x)xx0

f(x)f(x0定义了点的连续后，我们可以定义区间连续。f(x)在(ab连续：f(x)在(ab内每点均连续。f(x)在[ab连续：f(x)在(ab连续，且f(x)在a右连续，在b左连续。由前面知：多项式Px)(,)连续，有理分式P(x在Q(x)0的点连续，y x在(0,) 证ysinx在(,)内连续x,，要证lim[f(xxf(xlim[sin(xxsin(x 准则0sin(xx)sinx2sinxcos(xx)2 lim[sin(xxsin(x0，所以ysinx在(,内连续。三、函数的间断定义（

f(xx0不连续，则称f(xx0处间断。即f(x有下列情形之一f(xx0无定义limf(x不存在limf(x)

f(x0则称f(xx0不连续，而x0称为f(x的不连续点或间断点。间断点的分类： :f(x)及f(x f(x0)f(x0),x0为可去间断 00

)f

),x0第二类:f(x)及f(x 为无穷的不存在,x0为无穷型间断

不为无穷的不存在,x 例判断f(x)

x2x

间断点的类型。解：f(xx1无定义，x1为间断点。

f(x)limf(x)2，所以x1为可去间断点。x2“可去”的含义是可心补充f(1)2，即定义f(x)x1 x xf(xx1连续例f(x) x12

xx1为可去间断点，这里“可去”意思是可重新定义f(1)1，使f(x连续。x x例f(x) xx x例f(x)sin1x0为振荡型间断间点。x例f(x)tanxxk2

为无穷型间断点。例f(x)

x2x23xx2x1sin例f(x) x1sinx0,1k(k1,2,"f(x因

x2

xx(x1) sin

x0为f(x)的因

x2 =x1x1sin

(x1)x

1

，

x2 =x1x1sin

(x1)x(x1)sinx

x

x2 =x1x1sin

，所以k(k

")

f

例：f(x)limln(enxn（x0）在定义域内是否连续 ln(enxn ln

x[1(e)[1

解：0xe时，f(