不等式解法探究论文

..不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值,给我们的日常生活带来了效率。不等式在高中数学中不是孤立存在的,在函数、数列、解析几何、平面向量……,几乎所有的章节都有不等式的知识,可以说不等式贯穿了整个高中数学,由此可见不等式的重要性。不等式题目呈现不同形式,包括函数定义域、解不等式、与简易逻辑相结合、与圆锥曲线相结合、与数列相结合、求取值范围、均值不等式……。本文针对各种不等式,给出一些解法供大家学习参考。关键词：不等式；解法；探究Abstract:Inequalitycanbemaximum,minimum,bringtoourdailylifeefficiency.Inequalityinthehighschoolmathdonotexistinisolation,infunctionandsequence,analyticgeometry,planevectorandsoon,almostallthechaptershavetheknowledgeoftheinequality,tosaytheinequalitythroughoutthehighschoolmathematics,theimportanceofthisinequality.Inequalitypresentdifferentforms,includingfunctiondomain,inequality,combinedwithasimplelogic,combinedwithaconic,combinedwithaprogression,scope,andthemeaninequality.Thispaperinviewofthevariouskindsofinequality,Igivesomesolutiontoconsultforeverybodytolearn.Keywords:inequation;solutio;explore引言不等式是高中数学学习中的一个重要内容,也是一大难点。论文归纳了高中不等式的类型,并以具体题目为例来分析和探究不等式的解题方法,以促进高中不等式的学习。在论文中,作者将会介绍一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、简单高次不等式、指数不等式、对数不等式、无理数不等式这七种不等式的具体解法,让读者建立起基本的不等式思维。一元二次不等式的解法1.1一元二次不等式的定义含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是或〔其中是实数域内的二次三项式。1.2一元二次不等式解法的步凑第一步、将二次项系数化为正数；第二步、判断相应的一元二次方程是否有实数根；第三步、根据根的情况写出相应的解集。1.3一元二次不等式四种解法例题讲解解法一〔十字相乘法当时,一元二次方程有两个实根,那么可分解为如的形式。这样,解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。例1、试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：得然后,分两种情况讨论。1得〔不成立2得得最终不等式的解集为：解法二〔配方法此外,亦可用配方法解一元二次不等式。如上面例题中：两边开平方,得：且且得不等式的解集为解法三〔图像法一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。通过观察图象可知,二次函数图象与X轴的两个交点,然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式,可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式,求出函数与X轴的交点,将一元二次不等式,二次函数,一元二次方程联系起来,并利用图象法进行解题,使得问题简化。解法四〔数轴穿根数轴穿根：用穿根法解高次不等式时,就是先把不等式一端化为零,再对另一端分解因式,并求出它的零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从x轴的右端上方起,依次穿过这些零点,这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合,小于零的这相反。这种方法叫做序轴穿根法,又叫"穿根法"。口诀是"从右到左,从上到下,奇穿偶不穿。"步骤:1.把二次项系数变成正的<不用是1,但是得出者为正解>；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根,奇过偶不过<即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂就跨过。后文有详细介绍>；4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为0的根。例如：不等式〔最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的>⒈分解因式:；⒉找方程的根:或；⒊画数轴,并把根所在的点标上去；⒋注意,此时从最右端开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2,继续向左绘制,类似于抛物线,再经过点1,向点1的左上方无限延伸；⒌看题求解,题中要求求小于等于0的解,那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：。

2、绝对值不等式的解法2.1绝对值不等式的性质在不等式应用中,经常涉及质量、面积、体积等,也涉及某些数学对象〔如实数、向量的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。两个重要性质：1.2.可逆推出,当且仅当时左边等号成立,时右边等号成立。2.2绝对值不等式的几何意义1.当同号时它们位于原点的同一边,此时与的距离等于它们到原点的距离之和。2.当异号时它们分别位于原点的两边,此时与的距离小于它们到原点的距离之和。<表示与原点的距离,也表示与之间的距离>2.3 绝对值不等式三种解法例题讲解表2.3绝对值不等式的三种解法同解变形不等式解法讨论法,就是令绝对值中的式子等于0,分出x的段,然后根据每段讨论得出的x值,取交集,综上所述即可数形结合法,即在数轴上将各点画出,将数转换为长度的概念求解平方法,就是在不等式左右两边同时平方同解变形或例2、解不等式.解：原不等式转化为,即,得.所以原不等式的解集为.例3、解不等式.解：原不等式转化为,则,得.所以原不等式的解集为.例4、解不等式.〔注：此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。解：分、两种情况讨论。当时,绝对值直接去掉,在原不等式两边同乘以得,解得.当时,原不等式转化为,两边同乘以得,即,解得.所以原不等式的解集为.例5、不等式组的解集是A.B.C.D.解：从各选项来看,只需解方程或.前者解得,后者解得.于是选C.〔注：绝对值不等式的解集的端点值必为方程的解。例6、解不等式.解〔方法一：原不等式等价于或.解之得或,即或.所以原不等式的解集为.解〔方法二：原不等式转化为或,解之得原不等式的解集为.分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义3.2 分式不等式解法的核心思想表3.2分式不等式的解法不等式等价转化如上表中,将分式不等式转化为整式不等式,然后运用整式不等式的方法求解。这就是分式不等式解法的核心思想。3.3分式不等式例题讲解例6、解不等式.解〔方法一：分与两种情况讨论。当时,原不等式转化为,解之得,但前提是,所以此时不等式的解为；当时,原不等式转化为,解之得,但前提是,所以此时解为.综上所述,原不等式的解集为.解〔方法二：把不等式右边的移到左边并通分得,再等价转化为,解此一元二次不等式得到原不等式的解集为.例7、解不等式.解〔方法一：原不等式等价于或或.解之得.解〔方法二：原不等式等价于,解之得.简单高次不等式的解法4.1简单高次不等式的概念解不等式是初等数学重要内容之一,高中数学常出现高次不等式,其类型通常为一元高次不等式。常用的解法有化为不等式组法、列表法和根轴法〔串根法或穿针引线法来求解。4.2简单高次不等式三种解法例题讲解方法一〔列表法解题步骤：①将不等式化为形式〔各项x的符号化"+",令,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把〔实数数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列〔由对应较小根的因式开始依次自上而下排列；③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.例9、解不等式：<x-1><x+2><x-3>>0；解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2,1,3；③列表如下：表4.2<x-1><x+2><x-3>>0各因式积各因式积④由上表可知,原不等式的解集为：方法二〔分组法此种方法的本质是分类讨论,强化了"或"与"且",进一步渗透了"交"与"并"的思想方法。方法三〔根轴法又叫穿针引线法,串根法①将不等式化为形式,并将各因式x的系数化"+"；<为了统一方便>②求根,并在数轴上表示出来；③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点〔为什么？原因为：当

时不等式左侧恒为正。；④若不等式〔的系数化"+"后是"",则找"线"在轴上方的区间；若不等式是"",则找"线"在轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例10、解不等式解：解方程得根分别为,在数轴上标根如下：图4-1数轴上标根然后穿针引线,记住穿针口诀〔从右到左、从上到下、奇穿偶回如下：图4-2数轴上穿针引线不等式大于零取数轴上方的部分,如下：图4-3数轴上取值于是原不等式的解集为例11、解不等式.解：解方程得根分别为,在数轴上标根如下：图4-4数轴上标根然后穿针引线,记住穿针口诀〔从右到左、从上到下、奇穿偶回,注意到此题与上题的区别,根为的那一项的指数为,为偶数；根为的那两项的指数均为奇数；其余根所在项的指数均为,为奇数。于是此题穿针引线的方法与上题略有不同,指数为奇数的穿过数轴,指数为偶数的不能穿过数轴,应该迂回。此题只有要迂回,具体过程如下：图4-5数轴上穿针引线不等式大于零取数轴上方的部分,如下：图4-6数轴上取值于是原不等式的解集为.例12、解不等式.解：根据分式不等式的解法,原不等式等价于,即,画数轴标根及穿针引线如下：图4-7数轴标根及穿针引线于是解得,所以原不等式的解集为指数不等式的解法5.1 指数不等式的解法归纳表5.1指数不等式的解法5.2指数不等式例题讲解例13、解不等式.解：原不等式转化为,等价于,解得.例14、解不等式.解：注意到,令,则原不等式转化为,解一元二次不等式得,即,解得6、对数不等式的解法6.1对数不等式的定义对数不等式是一种两边由对数构成的不等式.6.2对数不等式例题讲解例15、解不等式.解：原不等式即,则有,解得.例16、解不等式.解：原不等式即,则有,解得..例17、解不等式.解：原不等式即,解得无理数不等式的解法7.1 无理数不等式的解法归纳表7.1.1无理不等式的解法不等式等价转化表7.1.2无理数不等式解法的等价转化不等式等价转化7.2 无理数不等式例题讲解例18、解不等式.解：原不等式等价于,解得,即.例19、解不等式.解〔方法一：原不等式等价于,解得,即.例20、解不等式.解：原不等式等价于,解得.补充：此处提供例19与例200的另一种方法：数形结合法。该法简单又直观,宜首选。在很多解不等式的题中都能用此法。大致步骤为先识别是哪两个函数在比较函数值,再在同一个坐标系中把这两个函数的图象画出来,最后只需观察哪个函数在哪些范围内图象高,在哪些范围内图象低,图象高的说明函数值越大,图象低的说明函数值越小。比如,此题中涉及的两个函数分别是与,在同一坐标系中作出函数与的图象如下：图7-1与的图象从图象可以得知〔图象高,函数值大；图象低,函数值小：当时,；当时,；当时,.综合型不等式例题讲解例21、解不等式..解：原不等式即,可等价转化为解之得解得即.例22、解不等式.解：原不等式即,可等价转化为,整理得,即,因恒成立,所以不等式转化为,即,继续转化为,解得.9、总结在上面的论文中,我们了解到了不等式的各种解法,那么我们如何把它们运用到实际生活中去呢？这是一个实践的过程,正所谓"学以致用"。高中数学新课标的基本理念是注重高中数学的基础性,与时俱进信息时代的到来,使数学得到更广泛的应用,体现数学的文化价值,数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门学科,它是人类文化的重要组成部分之一,不仅是研究其它学科,以及人们参加社会生产和生活的必不可少的工具,还具有极高的美学价值。本论文的内容很好的实现了新课标的要求,通过与现实生活中资源利用问题相结合,不仅将基本不等式的知识再次巩固,将基础知识落实到位,还让读者通过基本不等式模型去解决实际生活中的最值问题,感受到数学之美,数学之价值,并意识运用数学知识可以帮助我们解决一些生活中的难题,在增强读者对于资源节约的使命感、责任感的同时,还帮助读者树立了资源节约意识的美德,很好的培养了让读者爱数学、爱资源、爱社会的思想情操。参考文献[1]童美亚.新疆内地高中班预科自编教材《方程与不等式》编写及实施跟踪研究[D].华东师范大学,2011.[2]杨庆华.浅谈矛盾转化观点在数学教学中的运用[J].XX师专学