2019年育才高中选修12数学应用练习题222反证法练习

2．2.2反证法1．认识间接证明的一种基本方法——反证法，认识反证法的思虑过程、特点．2．掌握反证法证题的步骤以及哪些种类的题目宜用反证法证明．基础梳理反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假设错误，从而证了然原命题成立，这样的证明方法称为反证法．基础自测1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有独一解”的结论的否定是(D)A．无解B．两解C．最少两解D．无解或最少两解分析：易知此命题结论的否定是：无解或最少两解．应选D.2．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则(B)A．a，b都与l订交B．a，b最少有一条与l订交C．a，b至多有一条与l订交D．a，b都与l不订交分析：若a，b都与l不订交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b最少有一条与l订交．应选B.3．用反证法证明“已知a3＋b3＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．分析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．答案：a＋b＞26(b－1)2＜04．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是________________________________________________________________________．分析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c中都是奇数或最少有两个偶数．答案：a，b，c中都是奇数或最少有两个偶数(一)用反证法证明数学命题的一般步骤反设——即先弄清命题的条件和结论，而后假设命题的结论不成立；归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；断言——由矛盾得出反设不成立，从而判定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的要点是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：1与已知条件矛盾；与假设矛盾；与数学公义、定理、公式或已被证了然的结论矛盾；与简单的、明显的事实矛盾．（三）注意事项一定先否定结论，即一定结论的反面，同时注意反设的正确性，特别当出现两种以上状况时应特别认真，一定排列出各种状况，缺乏任何一种可能，反证法都是不完整的．一定从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，而且一定依照这一条件进行推证，不然，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．反证法常用于直接证明比较困难的命题，比方某些初始命题(包含部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、独一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“最少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，正确地做出反设是正确运用反证法的前提，常有“反设词”以下：原?x?x最少至多最少至多p或p＝＞＜不行且词成立一个一个n个n个q立q反?x0?x0一个最少至多最少綈p且綈p或设≠≤≥不行都n－1n＋1成立两个綈q綈q)词立没有个个1．反证法属逻辑方法范围，它的慎重表此刻它的原理上，即“否定之否定等于一定”，此中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适适用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)独一性命题；(3)至多、最少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常有的“结论词”与“反设词”列表以下：2常有的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公义、定理、公式、定义或已被证了然的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把以下哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不可以有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：A＋∠B＋∠C＝°＋°＋∠C＞°，这与三角形内角和为°①∠9090180180矛盾，所以∠A＝∠B＝°不成立；②所以一个三角形中不可以有两个直角；③假90设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不如设∠A＝∠B＝90°.此中序次正确的选项是(C)A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①分析：依据反证法的步骤，简单知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，假如原命题的否定项不只一个时，一定将结论的否定状况逐个辩驳，才能一定原命题的结论是正确的．比方：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．分析：由于小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAPBAP＞∠CAP．求证：假如ab，那么nanbn∈，且n．4>>0>(N>1)nnnnb，或nn证明：假设a不大于b，则a＝a＜bn当a＝b时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．3n当a＜b时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．n所以a＞b.1．“实数a，b，c不全为0”的意思为(D)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中最少有一个为0D．a，b，c中最少有一个不为02．以下命题中错误的选项是(D)A．三角形中最少有一个内角不小于60°B．四周体的三组对棱都是异面直线C．区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中为奇数的一个也没有3．用反证法证明命题“假如a＞b，则3a＞3b”时，假设内容应是(D)A.3a3b3a＜3b＝B.C.3333bD.3333a＝b且a＜a＝b或a＜b分析：简单知道，“3333b或33a＞b”的否定是“a＜a＝b”，所以选D.4．假如两个实数之和为正数，则这两个数(A)A．最少有一个是正数B．两个都是正数C．一个是正数，一个是负数D．两个都是负数分析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.1115．a＞0，b＞0，c＞0，则三个数a＋b，b＋c，c＋a(D)A．都大于2B．都小于2C．最少有一个数不大于2D．最少有一个数不小于21111＋b＋1＋c＋1≥＋＋＝若三个数分析：6.bcaabc222111D.2bca6x2y2a＞b＞的离心率为1Fc，，方程ax6．设椭圆a＋b＝1(0)2，x2(0)2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点Px1()(C)422A．必在圆x＋y＝2上22B．必在圆x＋y＝2外22C．必在圆x＋y＝2内D．以上三种情况都有可能1分析：∵e＝a＝2，∴a＝2c.∴b2＝a2－c2＝3c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，22222b2则x1＋x2≥2，但x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－a＋盾．∴假设不成立．

2c3c22c7＝4c2＋2c＝4＜2，矛∴点P必在圆x2＋y2＝2内．应选C.7．命题“在△ABC中，A＞B则a＞b”，用反证法证明是，假设是________．分析：命题的结论是a＞b，假设应是“a≤b”．答案：a≤b8．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中最少有一个能被5整除．”那么假设的内容是____________________．分析：“最少有n个”的否定是“最多有n－1个”．答案：a，b中没有一个能被5整除9．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．答案：a≠1，或b≠110．若以下方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0最少有一个方程实根，务实数a的取值范围．分析：设三个方程均无实根，则有16a2－4（－4a＋3）＜0，＝（a－1）2－4a2＜0，4a2－4（－2a）＜0，1－2＜a＜2，解得a＜－1，或a＞1，3－2＜a＜0，3所以－2＜a＜－1.3所以当a≥－1，或a≤－2时，三个方程最少有一个方程有实根．11．假如非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，211证明：b＝a＋c不成立．52112a＋c2b证明：假设b＝a＋c成立，则b＝ac＋ac，∴b2＝ac.b＝a＋c＋2＝ac，即a2＋c2＝ac，又∵222即(a－c)2＝0.∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾．211∴b＝a＋c不成立．xx－212．已知f(x)＝a＋x＋1(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0＜0且x0≠－1且axo＝－x0－2，x0－2x0＋1∴＜axo＜＜－1x0＜，这与x0＜0矛盾，故方程fx)01?0x0＋1＜1，解得2＜2(＝0没有负数根．?品尝高考1．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0最少有一个实根”时，要做的假设是(A)A．方程B．方程C．方程D．方程

x3＋ax＋b＝0没有实根3x＋ax＋b＝0至多有一个实根3x＋ax＋b＝0至多有两个实根3x＋ax＋b＝0恰有两个实根分析：由于“方程x3＋ax＋b＝0最少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b0的实根大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．以以下图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．分析：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，