结构力学第7章位移法

P位移法是计算超静定结构的基本方法之一.力法计算,9个基本未知量位移法计算,1个基本未知量第七章位移法7.1位移法的基本概念7.2等截面杆件的刚度方程7.3无侧移刚架的计算7.4有侧移刚架的计算7.5位移法的基本体系7.6对称结构的计算主要内容位移法的产生背景位移法的两种思路§7-1位移法的基本概念先拆后搭（位移法基本方程为平衡方程）先锁后松（位移法基本方程为典型方程）P12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平衡条件变形条件位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡方程；（3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得内力与位移的关系式；整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。ABABCPCPA关于刚架的计算思路第一种位移法的基本思路：将结构拆成杆件，推导各杆件的内力和位移的关系；再把杆件组装成结构，通过各杆件在结点处的受力平衡列基本方程。§7-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩MABMBAlMABMBA杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角β＝都以顺时针为正。②杆端弯矩对杆端以顺时针为正,对结点或支座以逆时针为正。EI1MABMBA1利用单位荷载法可求得设同理可得（1）由杆端弯矩

MABMBAi=EI/l----线刚度（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIMABlEI二、由荷载求固端弯矩EIq

»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：llEIq§7-3无侧移刚架的计算如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设16.7215.8511.573.214、位移法基本方程（平衡条件）5、各杆端弯矩及弯矩图M图ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mB例1、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）杆端弯矩Mi

j计算线性刚度i，设EI0=1，则柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图小

结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、杆件分析、建立各杆件刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC§7-４有侧移刚架的计算基本未知量的确定基本未知量角位移（结点转角）：其数目等于刚结点的数目线位移（独立的结点线位移）：其数目等于铰结体系自由度的数目。ABCDiiqqQBAQDC其中绘制弯矩图的方法：（1）直接由外荷载及剪力计算；（2）由角变位移方程计算。ABCDPh1h2h3I1I2I3例：作图示排架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量：ΔΔΔ2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：FQ1=J1Δ，FQ2=J2Δ，FQ3=J3ΔFQ1+FQ2+FQ3=PJ1Δ+J2Δ+J3Δ=PPFQ1FQ2FQ3iihJPJM=FQihiå=iiJPJFQå=P柱顶剪力：柱底弯矩：åJhPJ11åJhPJ33åJhPJ223）位移法方程∑X=0M结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。其中lABCDiii1=qq绘制弯矩图……………..M（ql2）QDCQBAMABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDC例1.用位移法分析图示刚架。[解]（1）基本未知量B、（2）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/mMABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程FQBA+FQCD=0…………...(2a)FQBAFQCD（4）解位移法方程（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mFQBA=-1.42kNFQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）ABCDEFmq例2.用位移法分析图示刚架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量为：PABCDEFpQCEQCAQCB基本未知量为：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE§7-5位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移力平衡条件？单跨超静定梁组合体8m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)建立基本方程1.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k21=1k12k22=0………..(1)=0………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5ik11F1PABCDF2P4kN`·m4kN·mMPF2P040F1P-6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计算结点位移k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

kij=kji具有n个独立结点位移的超静定结构：例1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ

1Δ2Δ3Δ

1、

Δ2、Δ3Δ

1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k111+k122+

k133+F1P=0

k211+k222+

k233+F2P=0

k311+k322+

k333+F3P=0

（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ

2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?Δ

3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13=–9/8k32=k23=–1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=0（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图ABCDFEM图（kN•m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。§7-6对称结构的计算PPMMFQFN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。FNFQ一、奇数跨(1)对称荷载Δ1(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反弯点ABEl/2q二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=FQ=0PP