结构力学 位移计算

§4.3静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如：载荷、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（3）理想联结(IdealConstraint)。位移计算的假定

(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),一、位移计算的一般公式

(GeneralFormulaofDisplacements)下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。设待求的实际广义位移为ΔK实际位移状态PABC虚设的力状态PKABC

，与ΔK对应的广义力为P。设仅在水平力PK作用下，与之平衡的轴力、剪力和弯矩分别为若结构有已知支座位移为ci实际位移状态PABC虚设的力状态PKABCdλ、dη和dθRc

，与其对应的由广义力PK

引起的支座反力为R又设与内力

对应的微段实际变形分别为dλ、dη和dθ。外力虚功W外虚=ΣRi

Ci+PKΔK由虚功方程位移计算的一般公式内力虚功令PK=1W外虚=W内虚则结构虚功方程改写为由单位载荷Pk=1引起的内力和反力实际状态中的微段变形、支座位移实际状态中拟求的位移单位载荷法——马克斯威尔-莫尔（Maxwell-Mohr）法计算结果为正，所求的位移与单位力指向一致，否则相反公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：载荷、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.

变形类型：弯曲、拉(压)、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)PK=1PK=1PK=1ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。1.、载荷作用下的位移计算对于由线弹性直杆组成的结构，由材料力学有：二、静定结构的位移计算结构在载荷作用下实际状态中微段的内力式中：E

弹性模量；G

剪切模量；A

横截面积；I

截面惯性矩；K

截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。轴向剪切弯曲内力的正负号规定如下：轴力以拉力为正；剪力使微段顺时针转动者为正；弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。几点讨论（只有荷载作用）：一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：2.对桁架：3.对组合结构：Pl/2l/2EIABx1x2求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=12）MP须分段写例：求刚架A点的竖向位移。解：构造虚设状态（实际状态）分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图）（虚拟状态）qxxqlqlx载荷内力图xxlx11单位内力图将内力方程代入公式，有：例2：求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：构造虚设的力状态如图示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理有：将内力方程代入位移计算公式,可得三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位移的贡献，也即例3：求对称桁架D点的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积A

，设

E=210GPa。FN解：构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中各杆的内力代入公式得：N2.支座移动时的结构位移计算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K实际位移状态虚拟力状态1K静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。例1：求CBAFP=1虚拟力状态解：构造虚设力状态实际位移状态CBAll解：构造虚设力状态RAyRAx例2：已知l=12m,h=8m,

,求()å=D-D--=-=rad

0075.0)211(BxByiiAhlcRj3.制造误差引起的位移制造误差

4.静定结构温度变化时的位移计算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)一般公式图示结构，设外侧温度升高，内侧温度升高，求K点的竖向位移。设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向伸长和截面转角为：线膨胀系数FP=1NN

图面积对等截面直杆

图面积将温度引起的变形代入公式，可得上式中的正、负号：若温度以升高为正，则轴力以拉为正；若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。

对梁和刚架：对桁架：几种情况：温度引起的轴向变形影响不能少。例：刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度为-30，内侧温度为-20时A点的竖向位移。已知l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度h=0.4m实际状态解：构造虚拟状态虚拟状态单位荷载内力图为：图图等于0温度支座多种因素下的位移计算一般公式例3：求实际位移状态CBAllP解：构造虚设力状态CBA虚拟力状态Pk=1同时考虑载荷、温度和支座位移的影响已有基础：1.静定结构的内力计算；2.利用位移计算公式求静定结构的位移；3.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:图乘法及其应用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)梁、刚架结构一、图乘法必须注意适用条件图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法顶点指曲线切线与杆轴重合或平行Ch三、注意事项：1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形.(1)曲-折组合例如(2)梯-梯同侧组合(3)梯-梯异侧组合ABCDabcd图图bc取负值(4)阶梯形截面杆四、应用举例例1.设EI

为常数，求和。解：作荷载内力图和单位荷载内力图BAq图CABFP=1图对吗？应分段！CAB图1（

）BAq图Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？例2.已知EI

为常数，求刚架C、D两点距离的改变。解：作荷载内力图和单位荷载内力图2p117例3.已知EI为常数，求刚架A点的竖向位移，并绘出刚架的变形曲线。FP解：作荷载内力图和单位荷载内力图在图求面积，在图取竖标，有：图EI2EI图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：

E、I、A为常数，求。ABCFPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图请对计算结果进行适当讨论！ABCFPaDABC1aD讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算？ABCkFP=1ABCFPk显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为

。因此，弹簧对位移的贡献为。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为例5.已知EI

为常数，求。ABCq解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABC图A1图一种算法：ABC结果正确否？?解法一、AqAABC图qABC解法二、A1图A例6.已知CD、BD杆的和AC杆的

为常数，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷载和单位荷载的内力图例7.已知EI

为常数，求。解：作荷载和单位荷载的内力图MPM分解P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=øöççèæ++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2M