十三章 能量方法

第十三章能量法§13–1概述§13–2应变能杆件应变能计算§13–4互等定理§13–3应变能的普遍表达式§13–5虚功原理§13–6单位荷载法莫尔积分§13–7莫尔积分的图乘法§13–1概述一、能量原理弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功：利用能量原理计算变形固体响应的方法称为能量方法。三、重要性1．原理清晰，方法统一；2．适用于线弹性、非线性等多类问题；3．可求解静定与超静定问题二、能量法一、杆件应变能的计算1.拉压杆的应变能§13–2应变能的计算应变能密度：基本公式：若内力是x的函数：2.扭转轴的应变能应变能密度基本公式：若T是x的函数：3.弯曲梁的应变能对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。纯弯曲梁段内各截面弯矩M相等，为常数。基本公式：若弯矩是x的函数，则一、杆件应变能-基本公式总结§13–2应变能的计算弯曲梁：拉压杆：扭转轴：基本杆件的变形能计算公式应用-1内力方程和内力图：应变能：如图所示，长为l的杆件，受均布拉伸载荷q作用，已知横截面性质EA，求杆件的应变能。xqlqx轴从右到左基本杆件的变形能计算公式应用-2弯矩方程和弯矩图分别为：应变能：P如图所示，杆长为l的悬臂梁，右端受集中力P作用，已知横截面性质EI，求梁的应变能。xMPlx轴从右到左4．广义力和广义位移1）广义力泛指力与力矩3）线弹性情况下，广义力与广义位移成线性关系2）广义位移是与广义力所对应的位移，如力产生线位移，力矩产生转角4．广义力和广义位移线弹性材料的变形能—三类基本杆件统一表示：非线性弹性材料的变形能：构件的应变能：F1F2F3§13–3应变能的普遍表达式1.克拉贝依隆原理等比例加载，引进参数β

(0～1)，则加载过程中广义外力的中间值对应的广义位移中间值广义力的增量

线弹性体

无刚体位移

广义力

F1,,Fn

对应广义位移

1,,

n

广义位移的增量克拉贝依隆原理：线弹性体应变能等于每一广义外力与其产生广义位移乘积二分之一的总和。外力在位移增量上做的功为外力总功由于：应变能唯一，且与加载次序无关，

所以：弹性体中的应变能一般表达式为：依据以上原理，

对于受组合变形的杆件而言，应变能的普遍表达式为：注：

1)上式中忽略了剪切变形能；

2)

扭转部分为圆截面杆件；

§13–5互等定理δ1111Fδ12δ2222F1、功的互等定理引起的位移上做功在21FF应变能为§13–5互等定理若先施加F2再施加F1，则根据应变能与加载次序无关，有功的互等定理2、位移互等定理由功的互等定理可得F1作用点沿其方向因F2引起的位移，等于F2作用点沿F2方向因F1而引起的位移，就称为位移互等定理F1F2说明：1)

位移应理解为广义位移；

2)

功的互等定理和位移互等定理只对线弹性材料和结构成立。§13–6虚功原理1实功与虚功实功是力在自身引起的位移上做的功；虚功是力在因其它因素（如温度或其它外力）所引起的位移上做的功。2弹性体虚位移结构某点处满足其约束条件（边界条件和连续条件）时所发生的微小位移。外力虚功，符号：δWe；内力虚功，符号：δWi；微小位移小变形3变形体的虚功原理：若变形体有满足变形协调及约束允许的虚位移，则满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的虚位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即变形体平衡的充要条件：对于任意的虚位移，外力虚功等于变形体积蓄的虚应变能(即内力虚功）。§13–7单位荷载（力）法莫尔积分1、单位荷载法原理求任意点沿某一方向的广义位移ΔF1F2q(x)Δ由单位载荷引起的内力，看做“实内力”

原外载荷引起的位移，看做虚位移由虚位移原理：在该点此方向施加单位载荷（广义）单位荷载法的计算位移公式F=1若材料为线弹性，由杆系结构的线弹性变形公式：非线性弹性材料可用单位荷载法的莫尔积分计算位移公式式中：加一杠的内力是单位载荷引起的内力；

未加杠的内力是原外载荷引起的内力。单位荷载法的莫尔积分计算位移公式2、说明1）实际问题中几种内力不一定同时出现，且以弯曲为主的构件常忽略轴力和剪力的影响。2）单位载荷是广义力即（集中力、集中力偶等）。3）用单位荷载法求位移结果为正时，表示位移的真实方向与所加单位力方向相同；结果为负时，表示所求的位移与所加的单位力的方向相反。4）同一积分号内的内力坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。例1用单位力法求C点的水平位移。（EI、EA已知）3

积分解：1加单位载荷2求内力方程bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CBFx2AFFaB例2

用单位力法求C点的挠度和转角。等截面直梁（EI已知）。解：1在要求位移处加单位力2分别求外载和单位力作用下的内力方程：aaACBF=1xxqaaACB例2

用单位力法求C点的挠度和转角。等截面直梁（EI已知）。3单位力法求位移aaACBF=1xxqaaACB4求转角加单位力偶并重建坐标系，写内力方程x1x2qaaACBM=1aaACB例3已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不计轴力和剪力的影响。求：A点垂直位移y及B截面的转角B

。解：1实际载荷的弯矩

AB段laCEI2BAEI1x1x2P

BC段1实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力

BC段2求y

CBAx1x21单位载荷的弯矩AB段BC段代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式

AB段

BC段在B点加单位力偶矩2求B

CBAx1x21单位载荷的弯矩AB段BC段代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式

AB段

BC段CBAx1x21负号表示与所画方向相反§10-8图形互乘法应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分外载作用下的弯矩方程单位载荷作用下的弯矩方程l1图乘法：莫尔积分的图形计算方法2计算公式：Mxxy积分因单位力为集中力，产生的弯矩图为一斜直线，有——M(x)图对y轴的静矩M(x)图形心

：M(x)图面积xCOCxdxxM(x)3图乘法计算公式及说明说明:1)2)弯矩乘积正负规定，单位载荷弯矩图与实际载荷弯矩图在坐标同侧，则结果应为正，异侧为负。莫尔积分——可用原载荷弯矩图的面积与该图形形心位置所对应的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。—M(x)图面积；—M(x)图形心对应的

值。常见图形面积和形心三角形常见图形面积和形心（续）开口向下抛物线常见图形面积和形心（续）开口向上抛物线例1：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度。CBlAPPlM1l例1用图乘法求C点的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CB段：纯弯曲CBFFaM(x)a例1用图乘法求C点的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABF=1AB段：压缩+弯曲x2AFFaBFa=aFaM(x)a1F例2

用图乘法求C点的挠度和转角。等截面直梁（EI已知）。解：1.画弯矩图aaACBF=1xxqaaACBqaqaqa2/21/21/2a/2例2

图乘法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁（EI已知）。2.图乘公式qa2/2a/24求转角加单位力偶,画弯矩图qaaACBM=1aaACBqa2/21/21/2习题补充练习图示刚架，已知两杆E=200GPa，I=3000cm。试用图乘法求D截面处的水平位移和转角。P=10kN，l=1m。4解：1）求D处水平位移，在D处加单位力，并分别作出单位力和原载荷对应的弯矩图，如图（b）、（c)，再图乘：Pll2l2PABCD(a)12l(b)2PlP2P(c)例3用单位力法求BD两点的相对位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=13变形解：1加单位力2求内力（如图所示）000-F1例3

已知:

q,a,l,

EI为常数。求：xC

及C

，轴力及剪力不计。解：用图乘法

外载荷的弯矩图laCBAqCBAMPC2C112

面积

外载荷的弯矩图CBAMPC2C112

面积

1）求xC

单位载荷的弯矩图CBA1lCBAMPC2C112

2）求C

单位载荷的弯矩图CBA111CBAMPC2C112

正负号问题CBA