第三章(多自由度系统的振动)

上次课内容回顾1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式

系统不存在粘性阻尼时

系统存在粘性阻尼时上次课内容回顾2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤①判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;②以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；⑤将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.③对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；上次课内容回顾在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著《振动理论及应用》4.微振动假设下的注意事项3.用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法；即可用于线性系统，也可用于非线性系统。多自由度系统的振动第三章与单自由度系统相比，多自由度振动系统带来的一些变化有：系统的固有频率不是一个，而是多个；引入了固有振型的概念；固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性是线性振动理论的精髓；在研究方法上大量使用线性代数和矩阵理论方面的知识；第三章：多自由度系统的振动分析1.预备知识——线性代数与矩阵理论2.多自由度系统的固有振动第一讲：第三章：多自由度系统的振动分析预备知识－线性代数与矩阵理论【代数余子式】已知为一矩阵,则的余子式定义为:划掉所在的第行和第列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,计作代数余子式则的代数余子式=已知:余子式预备知识－线性代数与矩阵理论【矩阵的行列式的计算】定理：任意方阵的行列式等于它的任一行或任意列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。已知：则：已知：则：预备知识－线性代数与矩阵理论【矩阵转置】将矩阵的行、列互换所得到的矩阵就是的转置矩阵，用表示。矩阵的转置满足以下规律：【矩阵的逆】预备知识－线性代数与矩阵理论如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。【奇异矩阵】的伴随矩阵的各个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置预备知识－线性代数与矩阵理论【分块矩阵的乘积】【半正定矩阵】【正定矩阵】对任意有则为正定矩阵。有对任意则为半正定矩阵。预备知识－线性代数与矩阵理论【线性相关与线性无关】定义

向量线性相关指的是：存在不全为零的数使定义

向量线性无关指的是：仅当才使也就是说，若则必有预备知识－线性代数与矩阵理论【线性代数方程组的解】奇次线性方程组有非零解的充要条件是定义

奇次方程组（1）的一组解称为（1）的一个基础解系，如果1.(1)的任一个解都能表示成的线性组合；2.线性无关。定理在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的个数等于。是系数矩阵的秩。也是自由未知量的个数。预备知识－线性代数与矩阵理论【特征值与特征向量】定义：设是阶矩阵，如果对于数，存在非零列向量，使得则称是的一个特征值，是的属于特征值的特征向量。剪切变换前后的蒙娜丽莎图像红色箭头是剪切变换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量推论：如果向量是的属于特征值的特征向量，则（为任意常数）也是的属于特征值的特征向量。如何求特征值和特征向量？求方程的根得到特征值；求线性方程组的基础解系；预备知识－线性代数与矩阵理论【内积】如果则与的内积定义为【正交】预备知识－线性代数与矩阵理论如果则与正交或垂直【二次型】一个元多项式称为元二次型。它可以表示为如下矩阵相乘的形式返回1.同步振动是否存在？假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:多自由度系统的固有振动系统是否存在这样一种特殊的运动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不同之外，随时间的变化规律都相同的同步运动？运动规律系统各个自由度上的振动幅值系统存在形如形式的同步振动。结论：多自由度系统的固有振动对任意时间都成立特征方程特征值特征向量广义特征值问题2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动第一阶固有频率第二阶固有频率第N阶固有频率第一阶固有振型第二阶固有振型第N阶固有振型固有频率（模态频率）固有振型（模态振型）多自由度系统的固有振动第一阶固有振动第二阶固有振动第N阶固有振动固有振动只是系统可能发生的一种运动形式。当系统作固有振动时，系统各个自由度都作幅值不同(一般情况下),但频率却相同的简谐运动,各个自由度的简谐运动之间的相位差不是0度就是180度.固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动周边固支鼓膜的各阶固有振动从物理上看：第i阶固有振型向量中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独立的?结论:当不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见<<振动力学>>刘延柱第74页).多自由度系统的固有振动【例】设图中二自由度系统的物理参为,,,确定系统的固有振动.系统运动方程：多自由度系统的固有振动固有振动：节点STOP多自由度系统的固有振动固有频率和固有振型固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动。固有频率，固有振型内容回顾1.理解固有振型第二讲：2.固有振型的正交性3.固有频率为零的情况第三章：多自由度系统的振动分析1st水平弯曲2nd水平弯曲1st扭转2nd扭转1st垂直弯曲2nd垂直弯曲从物理上看：第i阶固有振型向量中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；理解固有振型图膜的各阶固有振型理解固有振型【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独立的?结论:当不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见<<振动力学>>刘延柱第74页).图一杯热咖啡的某阶固有振动（大约20Hz）理解固有振型【题】

：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和固有振型。解:系统的运动方程为:其中:理解固有振型广义特征值问题:特征方程:固有频率:理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型理解固有振型返回理解固有振型1.固有振型的归一化固有振型的正交性按某一自由度的幅值归一化都是固有振型向量按模态质量归一化特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位特点：理论推导，分析方便按自由度中最大幅值归一化：固有振型的正交性固有振型的正交性2.固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性※固有振型关于刚度矩阵加权正交固有振型关于质量矩阵加权正交(1)(2)(1)减(2)，得固有振型的正交性固有振型关于质量矩阵的加权正交性固有振型关于刚度矩阵加权正交性当时当时第r阶模态质量当时当时第r阶模态刚度

固有振型的正交性加权正交性的简洁表示固有振型的正交性试证：固有振型按模态质量归一化后，固有振型的加权正交条件变为：固有振型的正交性证：固有振型按模态质量归一化之前，固有振型的加权正交条件为：3.固有振型的线性无关性证：上式两边左乘所以，诸线性无关。只要证明满足上式的必全为零就可以了返回固有振型的正交性4.固有频率为零的情况固有频率为零的情况零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。零固有频率的固有振动为刚体运动,不产生弹性势能。刚度矩阵奇异非零

举例图无约束三自由度系统模态1横向（颠簸）刚体模态模态2转动（滚动）刚体模态模态3弯曲模态图用三质量飞机模型说明刚体模态固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况STOP固有频率为零的情况上次课内容回顾从物理上看：第i阶固有振型向量中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；1st水平弯曲2nd水平弯曲1st扭转2nd扭转1st垂直弯曲2nd垂直弯曲固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性

【特征向量的计算】当不是特征方程的重根时,上述N个方程中，只有N-1个方程是独立的上次课内容回顾第三讲：1.运动耦合无阻尼系统的自由振动（三）3.无阻尼系统的自由振动2.展开定理与模态坐标变换4.课堂练习运动耦合1.运动耦合弹性耦合弹性耦合惯性耦合运动耦合返回能不能找到一种坐标,使得在这种坐标下的运动微分方程既不存在弹性耦合也不存在惯性耦合?展开定理与模态坐标变换1.展开定理自由度系统的个模态振型向量构成了维线性空间的正交基。维空间中的任何一个向量都可以表示成这组基的线性组合，即系数反映了各阶模态振型向量在构成向量时的参与程度。2.模态坐标变换模态坐标物理坐标模态矩阵返回无阻尼系统的自由振动1.两个重要公式令模态矩阵为则：模态坐标变换＝？＝？2.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动模态坐标系下的运动方程将物理坐标系下的运动方程变换到模态坐标系下后，可得到解耦的运动方程。无阻尼系统的自由振动实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态质量归一化的固有振型矩阵，此时有。自由振动：无阻尼系统的自由振动解:固有频率：固有振型：例:

设图中卡车—拖车系统在时静止，时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量作用，试确定后卡车—拖车系统的响应。刚体模态振型弹性模态振型无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动回到物理坐标系无阻尼系统的自由振动1.模态坐标变换模态坐标物理坐标2.求解多自由度无阻尼系统的自由振动的步骤（模态叠加法）(1)求系统的固有频率和固有振型(3)求各模态位移响应(4)返回到物理坐标系(2)物理坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程模态坐标变换无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）物理空间耦合模态空间解耦模态叠加法返回课堂练习运动方程：根据已知条件有：STOP广义特征值问题:特征方程:展开后，得:课堂练习第四讲：习题课第三章：多自由度系统的振动分析1.模态的概念模态——mode是指一种运动模式。模态参数有：模态频率、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。

上次课内容回顾2.运动耦合物理坐标系下多自由度系统的运动方程肯定是存在耦合的。3.模态坐标变换物理空间耦合模态空间解耦模态叠加法上次课内容回顾4.无阻尼系统的自由振动——模态叠加法第五讲：1.无阻尼系统的受迫振动——频域分析2.无阻尼系统的受迫振动——时域分析第三章：多自由度系统的振动分析是简谐激励是任意激励频域分析时域分析1.系统在简谐激励下的响应无阻尼系统的受迫振动——频域分析动刚度矩阵系统在简谐激励下的响应:频响函数（动柔度矩阵）无阻尼系统的受迫振动——频域分析位移频响函数矩阵激振点所对应的自由度标号响应点所对应的自由度标号2.频响函数矩阵的模态展开式无阻尼系统的受迫振动——频域分析频响函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数与模态参数之间的关系，从而为模态参数识别提供了一种有效的途径。3.反共振反共振的定义：无阻尼系统的受迫振动——频域分析图

跨点频响函数示意图【定义】所谓反共振指的是弹性系统在某些特定频率的简谐激励作用下,系统某些部位出现响应等于零的情形。换句话说,反共振情形也就是指在某些频率上系统某些部位的动柔度为零。

无阻尼系统的受迫振动——频域分析反共振频率的确定:频响函数的零点所对应的频率无阻尼系统的受迫振动——频域分析反共振频率的计算：例：确定图示系统频响函数和的反共振频率。解:(a)确定的反共振频率无阻尼系统的受迫振动——频域分析进一步分析质量块1,3的运动:无阻尼系统的受迫振动——频域分析进一步分析质量块2,3的运动:(b)确定的反共振频率无阻尼系统的受迫振动——频域分析[练习]

设刚度系数为的弹簧支承的物体上受到简谐力的激励.此物体上安装由小物体和刚度系数为的弹簧组成的吸振器.试证明:在一定条件下吸振器能消除物体的受迫振动.无阻尼系统的受迫振动——频域分析无阻尼系统的受迫振动——时域分析基本思路：1.利用模态叠加法求系统的零初始状态下的单位脉冲响应矩阵任意激励1.系统在任意激励下的响应2.系统对任意激励下的响应用Duhamel积分求得(1)利用模态叠加法求零初始状态下的单位脉冲响应矩阵第一步:物理坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程无阻尼系统的受迫振动——时域分析解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移第二步:无阻尼系统的受迫振动——时域分析回到物理坐标系中，得到物理坐标系下的位移第三步:单位脉冲响应函数矩阵无阻尼系统的受迫振动——时域分析（初始条件为零）（2）

系统对一般激励下的响应用Duhamel积分求得（初始条件不为零）无阻尼系统的受迫振动——时域分析STOP习题课第六讲：第三章：多自由度系统的振动分析上次课内容回顾1.动刚度矩阵2.动柔度(频响函数)矩阵激振点所对应的自由度标号响应点所对应的自由度标号3.反共振所谓反共振指的是弹性系统在某些特定频率的简谐激励作用下,系统某些部位出现响应等于零的情形。4.系统在任意激励下的响应2.多自由度系统的阻尼第七讲：3.比例阻尼系统的自由振动4.比例阻尼系统的受迫振动第三章：多自由度系统的振动分析1.模态截断模态变换：如果系统有10000个自由度,则N=100001.占用资源：内存，计算时间2.高阶模态的计算误差也大1.模态截断的必要性模态截断较大如果激励频带覆盖系统的前阶固有频率，那么由模态方程可见，只有前个方程是主要的(近似的)。很小模态变换：2.高阶模态对响应的贡献由于外激励能量往往集中在低频范围内，因此高阶模态对响应的贡献就很小。模态截断其中模态坐标变换变为：3.模态截断的实施如只保留系统的前6阶模态，则固有振型矩阵为模态截断返回模态截断：为保留模态的数目多自由度系统的阻尼在线性振动理论中，一般采用线性黏性阻尼假设，认为阻尼和速度的一次方成正比，阻尼矩阵一般为非对角矩阵。阻尼矩阵为对角矩阵对角矩阵一般为非对角矩阵阻尼影响系数的物理意义：使系统仅在第个自由度上产生单位速度需要在第个自由度上施加的力。非对角阵多自由度系统的阻尼固有振型矩阵（实矩阵）的求取只涉及质量和刚度矩阵，不涉及阻尼矩阵怎么能指望为对角矩阵呢？如何使变为对角阵呢?工程上对阻尼矩阵做了近一步的假设:(1)采用Rayleigh阻尼假设模态坐标系下的第i个方程写为第i阶模态阻尼比（振型阻尼比）(2)

由实验测定各阶模态阻尼比是常数。英国科学家Rayleigh（1842-1919）多自由度系统的阻尼(3)忽略模态阻尼矩阵中的非对角元素称为第

i

阶模态阻尼系数多自由度系统的阻尼比例阻尼的定义在固有振型矩阵的变换下可对角化的阻尼矩阵叫比例阻尼。Rayleigh阻尼是比例阻尼比例阻尼不一定是Rayleigh阻尼因为满足下列条件之一的阻尼矩阵在固有振型矩阵的变换下仍可对角化：多自由度系统的阻尼返回运动方程模态坐标变换模态坐标系下解耦的运动方程求解无耦合的运动方程反回到物理坐标系1.求解步骤比例阻尼系统的自由振动③.得到模态坐标系下解耦的运动方程①.列写物理坐标系下的运动方程②.进行模态坐标变换比例阻尼系统的自由振动④.求解无耦合运动方程⑤.返回到物理坐标系比例阻尼系统的自由振动例

图中系统的左右阻尼器参数有小差异()，两质量在正向单位静位移条件下释放，求其自由振动响应。解：比例阻尼系统的自由振动模态坐标变换:运动方程化为:系统初始条件化为:非比例阻尼系统比例阻尼系统的自由振动阻尼差异是小量。忽略模态阻尼矩阵中的非对角元素，将上式解耦为:代回变换得系统振动物理响应:根据初始条件可解出:比例阻尼系统的自由振动返回动刚度矩阵频响函数矩阵比例阻尼系统的受迫振动1.频域分析频响函数矩阵的一般元素是复数，其幅值的物理意义是：在系统的第j个自由度上施加单位幅值正弦激励后系统第i个自由度上的稳态响应幅值；而辐角的物理意义是上述响应滞后（超前）激励的相位角。比例阻尼系统的受迫振动2.频响函数的模态展开式频响函数矩阵的模态展开式3.时域分析Fourier逆变换公式:比例阻尼系统的受迫振动任意激励下的响应：STOP比例阻尼系统的受迫振动习题课第八讲：第三章：多自由度系统的振动分析作业情况一些毛病：12物理坐标系下的位移为：应改成：应改成：作业情况3应改成：4没有按照模态叠加法的标准步骤来，而是直接用教材61页,62页的方法来求系统的自由振动响应，作业中未见到模态坐标系下的运动方程。其中1.模态截断模态截断：为保留模态的数目内容回顾内容回顾2.

Rayleigh阻尼是常数。3.某一阶模态阻尼比在比例阻尼假设下，模态坐标系下的各个方程为近一步表示为：(4)实际中对阻尼的一种处理方法基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制内容回顾在比例阻尼假设下，模态坐标系下的各个方程为1.一般粘性阻尼系统的振动第九讲：第三章：多自由度系统的振动分析对于比例阻尼系统，在固有振型矩阵的变换